Теорема косинусов

Слайд 1. Теорема косинусов

Геометрия, 9 класс. Урок открытия нового знания

Слайд 2. Проблема: Расстояние между катерами

Два катера вышли из одной точки под углом $60^{\circ }$ друг к другу.

Первый катер прошел 5 км, второй — 8 км. Как найти расстояние между ними?

Для решения этой задачи нам недостаточно теоремы Пифагора, так как треугольник не является прямоугольным. Нам нужен универсальный закон для любых треугольников.

Слайд 3. Актуализация: Координаты и тригонометрия

Вспомним опорные факты:

• $\cos 60^{\circ }=1/2$, $\cos 90^{\circ }=0$, $\cos 120^{\circ }=-1/2$

• Точка $A$ в начале координат: $A(0;0)$

• Вершина $B$ на оси $OX$: $B(c;0)$

• Вершина $C$ через синус и косинус: $C(b\cdot \cos A;b\cdot \sin A)$

Слайд 4. Вывод формулы теоремы косинусов

1. Найдем квадрат расстояния $BC$ (сторона $a$) по координатам точек $B(c;0)$ и $C(b\cos A;b\sin A)$:

$a^2=(b\cdot \cos A-c{)}^2+(b\cdot \sin A-0{)}^2$

2. Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$a^2=b^2\cdot {\cos }^{2}A-2bc\cdot \cos A+c^2+b^2\cdot {\sin }^{2}A$

3. Сгруппируем слагаемые и используем тождество ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$:

$a^2=b^2({\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A)+c^2-2bc\cdot \cos A$

Итоговая формула:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A$

Слайд 5. Проверяем решение: Задача о катерах

Вернемся к нашей задаче. Подставим данные в полученную формулу:

• $a^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }$

• $a^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot 0,5$

• $a^2=25+64-40=49$

• $a=\sqrt{49}=7$

Ответ: расстояние между катерами равно 7 км.

Слайд 6. Задача ОГЭ №15: Поиск угла

Условие задачи:

Даны стороны треугольника: 3, 5 и 7.

1. Найдите косинус угла, лежащего против большей стороны.

2. Укажите вид этого угла (острый, прямой или тупой).

*Подсказка: Большая сторона лежит против большего угла.*

Слайд 7. Проверяем решение: Задача ОГЭ №15

Пусть стороны $a=3$, $b=5$, тогда большая сторона $c=7$. Ищем $\cos C$.

1. Запишем уравнение по теореме косинусов:

$7^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos C$

2. Выполним преобразования:

$49=9+25-30\cdot \cos C$

$49=34-30\cdot \cos C$

$15=-30\cdot \cos C$

3. Результат:

$\cos C=15/(-30)=-0,5$

Так как косинус отрицательный, угол $C=120^{\circ }$, значит, треугольник тупоугольный.

Слайд 8. Самостоятельная работа

Выберите уровень сложности и решите задачу:

Уровень 1: Найти сторону $c$, если известны стороны $a=4$, $b=6$ и угол между ними $C=60^{\circ }$.

Уровень 2: Найти $\cos A$ в треугольнике со сторонами 5, 6 и 7.

Уровень 3: Определите вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), если его стороны равны 4, 5 и 8.

Слайд 9. Эталон ответов и критерии

1. $c=\sqrt{28}$ (или $2\sqrt{7}$)

2. $\cos A=0,2$

3. Тупоугольный ($8^2>4^2+5^2$)

Критерии:

• 3 задачи — «5»

• 2 задачи — «4»

Типичные ошибки:

• Забыли минус у косинуса тупого угла

• Ошибки в формуле квадрата разности

• Ошибки в порядке действий (сначала умножение!)

Слайд 10. Итоги урока и домашнее задание

Домашнее задание:

• Базовый: 3 задачи на нахождение стороны (углы $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$)

• Средний: Определение вида треугольника по трем заданным сторонам

• Продвинутый: Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон

Рефлексия:

В чем главное отличие теоремы косинусов от теоремы Пифагора?

Какой этап решения задачи на поиск угла был самым сложным?