Теорема Пифагора и основы тригонометрии

Слайд 1. Теорема Пифагора и основы тригонометрии

Геометрия, 9 класс: от сторон треугольника к функциям углов

Слайд 2. Фундамент геометрии: Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2+b^2=c^2$.

Это утверждение связывает длины сторон и позволяет находить неизвестную сторону, если известны две другие. Важно помнить, что теорема применима только для треугольников с прямым углом ($90^{\circ }$).

Слайд 3. Геометрическая интерпретация

Слайд 4. Пифагоровы тройки

Египетский треугольник: стороны $3,4,5$

Тройка со сторонами $5,12,13$

Тройка со сторонами $8,15,17$

Тройка со сторонами $7,24,25$

Любые числа вида $(ka,kb,kc)$ также образуют прямоугольный треугольник

Слайд 5. Определения тригонометрических функций

$\sin \alpha$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\cos \alpha$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\mathrm{tg}\alpha$ — отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\mathrm{ctg}\alpha$ — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Слайд 6. Связь углов и сторон

$\sin A=\frac{a}{c}$

$\cos A=\frac{b}{c}$

$\mathrm{tg}A=\frac{a}{b}$

$\mathrm{ctg}A=\frac{b}{a}$

Слайд 7. Основное тригонометрическое тождество

Разделим обе части равенства $a^2+b^2=c^2$ на $c^2$:

$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\Rightarrow {\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=1$

Так как $\frac{a}{c}=\sin \alpha$ и $\frac{b}{c}=\cos \alpha$, получаем фундаментальную формулу:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Слайд 8. Таблица значений функций для острых углов

Слайд 9. Алгоритм решения задач

Убедиться, что треугольник прямоугольный или построить высоту.

Определить, какие элементы известны (стороны или углы).

Выбрать формулу: теорему Пифагора или тригонометрическую функцию.

Выразить искомую величину и провести вычисления.

Слайд 10. Итоги урока

Теорема Пифагора $a^2+b^2=c^2$ — база для работы с прямоугольным треугольником.

Тригонометрические функции связывают линейные размеры сторон с градусной мерой углов.

Основное тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ позволяет находить одну функцию через другую.

Знание табличных значений углов $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$ необходимо для быстрого решения задач.