Тригонометрический квест

Слайд 1. Тригонометрический квест: от 0° до 180°

Определения и формулы приведения в геометрии 9 класса

Слайд 2. Часть 1: Единичная полуокружность

Слайд 3. Новое определение функций

В 8 классе мы работали только с острыми углами в прямоугольном треугольнике. Теперь мы выходим в «открытый космос» координат!

Пусть у нас есть полуокружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат. Каждому углу $\alpha$ от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ соответствует точка $M(x;y)$ на этой дуге.

Запомните главное: координаты этой точки и есть значения наших функций.

Слайд 4. Кто есть кто в координатах?

Косинус — это абсцисса ($x$)

Синус — это ордината ($y$)

Тангенс — отношение ординаты к абсциссе ($y/x$)

Формулы:

$\cos \alpha =x$

$\sin \alpha =y$

$\text{tg }\alpha =\frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Слайд 5. Острые vs Тупые углы

Точка $M$ находится справа от оси $y$.

$\sin \alpha >0$ (положительный)

$\cos \alpha >0$ (положительный)

$\text{tg }\alpha >0$ (положительный)

Точка $M$ находится слева от оси $y$.

$\sin \alpha >0$ (остается положительным!)

$\cos \alpha <0$ (становится отрицательным)

$\text{tg }\alpha <0$ (становится отрицательным)

Слайд 6. Часть 2: Магия формул приведения

Слайд 7. Зачем нужны формулы приведения?

Представьте, что вам нужно найти $\sin 150^{\circ }$. Таблицу мы учили только до $90^{\circ }$!

Формулы приведения позволяют «привести» функции тупых углов ($90^{\circ }<\alpha \le 180^{\circ }$) к функциям острых углов. Это как переводчик с языка сложных углов на язык простых.

Слайд 8. Основные «заклинания» (формулы)

Для угла $(180^{\circ }-\alpha )$:

$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

$\text{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\text{tg }\alpha$

Например: $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }$

Слайд 9. Таблица значений «супер-углов»

Слайд 10. Алгоритм вычисления за 3 шага

Представьте тупой угол как $(180^{\circ }-\text{острый угол})$. Например, $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$.

Отбросьте $180^{\circ }$ и оставьте только острый угол. Функция остается той же (синус в синус).

Проверьте знак! Если это косинус или тангенс тупого угла, не забудьте поставить «минус» перед результатом.

Слайд 11. Геометрический секрет синуса

Слайд 12. Блиц-опрос: Проверь себя!

Чему равен $\cos 120^{\circ }$? Ответ: $-\cos 60^{\circ }=-0,5$

Чему равен $\sin 135^{\circ }$? Ответ: $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Верно ли, что $\text{tg }150^{\circ }$ положителен? Ответ: Нет, он отрицательный.

Чему равен $\cos 180^{\circ }$? Ответ: $-1$ (крайняя левая точка).

Слайд 13. Зачем нам это в геометрии?

Эти формулы — ключ к решению любых треугольников!

1. Теорема синусов и теорема косинусов работают для любых треугольников (и с тупыми углами тоже).

2. Площадь треугольника $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ теперь можно считать, даже если угол $C$ тупой.

Например, $\sin 150^{\circ }$ даст ту же площадь, что и $\sin 30^{\circ }$ при тех же сторонах!

Слайд 14. Главные итоги урока

Синус — это $y$, косинус — это $x$ на единичной полуокружности.

Для тупых углов $\sin$ положителен, а $\cos$ и $\text{tg}$ отрицательны.

$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (знак не меняется).

$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (появляется минус).

Эти знания помогут нам вычислять площади и стороны в любых треугольниках.

Слайд 15. Теперь тригонометрия в ваших руках! Спасибо за внимание!