Подобие треугольников

Слайд 1. Подобие треугольников

Признаки, свойства и практическое применение в геометрии 9 класса

Слайд 2. Понятие подобных фигур

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число $k$, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Запись $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$ означает, что треугольники подобны.

Слайд 3. Первый признак подобия

По двум углам:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$.

Слайд 4. Второй признак подобия

По двум сторонам и углу между ними:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}$ и $\angle A=\angle A_1$.

Слайд 5. Третий признак подобия

По трем сторонам:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}=k$.

Слайд 6. Важные свойства подобия

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $P_1/P_2=k$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_1/S_2=k^2$.

Отношение соответствующих высот, медиан и биссектрис также равно $k$.

Любые два равносторонних треугольника подобны между собой.

Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.

Слайд 7. Применение в жизни

Подобие треугольников позволяет измерять объекты, к которым невозможно подойти:

1. Определение высоты дерева или здания по длине тени.

2. Измерение ширины реки с помощью построения подобных треугольников на берегу.

3. Использование в картографии и масштабировании чертежей.

4. Пропорции в архитектуре и искусстве.

Слайд 8. Задача 1: Базовый уровень

Дано: $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$.

Стороны треугольника $ABC$:

$AB=5$ см, $BC=7$ см, $AC=8$ см.

Известно, что сторона $A_1{B}_1=15$ см.

Найти: Стороны $B_1{C}_1$ и $A_1{C}_1$.

1. Найдем коэффициент подобия $k$:

$k=A_1{B}_1/AB=15/5=3$.

2. Вычислим остальные стороны:

$B_1{C}_1=BC\cdot k=7\cdot 3=21$ см.

$A_1{C}_1=AC\cdot k=8\cdot 3=24$ см.

Ответ: 21 см, 24 см.

Слайд 9. Задача 2: Средний уровень

Условия:

В треугольнике $ABC$ проведена прямая $MN$, параллельная стороне $AC$ ($M$ лежит на $AB$, $N$ — на $BC$). Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что $AC=12$ см, $AB=9$ см, а отрезок $AM=3$ см.

Слайд 10. Задача 3: Повышенный уровень

Высота $CD$, проведенная из вершины прямого угла треугольника $ABC$, делит гипотенузу на отрезки $AD=9$ см и $DB=16$ см.

1. Докажите, что $△ACD\sim △CBD$.

2. Найдите высоту $CD$.

3. Найдите катеты $AC$ и $BC$.

Подсказка: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов.

Слайд 11. Тест: Вопросы 1–3

1. Как называются стороны треугольников, лежащие против равных углов?

2. Если стороны одного треугольника равны 3, 4, 5, а другого 6, 8, 10, подобны ли они?

3. Чему равно отношение площадей треугольников, если их сходственные стороны относятся как 2:3?

Слайд 12. Тест: Вопросы 4–6

4. Верно ли, что любые два прямоугольных треугольника подобны?

5. В треугольнике проведена средняя линия. Подобен ли отсекаемый треугольник исходному?

6. У подобных треугольников углы относятся как 1:2. Верно ли это?

Слайд 13. Тест: Вопросы 7–10

7. Как относятся периметры треугольников, если $k=0,5$?

8. Может ли коэффициент подобия быть отрицательным числом?

9. Подобны ли равнобедренные треугольники, если у них равны углы при вершинах?

10. Отрезок параллельный стороне треугольника отсекает от него... (закончите фразу).

Слайд 14. Проверь себя: Ответы к тесту

Слайд 15. Подобие — ключ к пониманию пропорций мира!