Понятие вектора

Слайд 1. Понятие вектора

Геометрия, 9 класс

Слайд 2. Что такое вектор

Вектор — это направленный отрезок. Он имеет начало, конец, направление и длину.

Вектор обозначают строчной буквой со стрелкой сверху или двумя заглавными буквами: первая обозначает начало, вторая — конец.

Слайд 3. Вектор и отрезок: сравнение

Не имеет выделенного направления.

Определяется двумя концами.

Его длина — расстояние между концами.

Имеет направление от начала к концу.

Характеризуется длиной и направлением.

Можно переносить параллельно самому себе.

Слайд 4. Как изображают вектор

Слайд 5. Обозначения вектора

• Вектор от точки $A$ к точке $B$ обозначают $\overrightarrow{AB}$.

• Точку $A$ называют началом вектора.

• Точку $B$ называют концом вектора.

• Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ направлен от $A$ к $B$.

Слайд 6. Длина вектора

Длиной, или модулем, вектора называют длину соответствующего направленного отрезка.

Для вектора $\overrightarrow{AB}$ длина записывается так: $|\overrightarrow{AB}|$.

Если координаты точек известны, длину можно найти по формуле расстояния между точками.

Слайд 7. Равные векторы

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Равные векторы могут быть расположены на разных прямых. Поэтому равенство не требует общего начала.

Слайд 8. Свойства равных векторов

Модули равных векторов совпадают.

Стрелки направлены одинаково.

Векторы можно переносить параллельно самим себе.

Равенство записывают как $\vec{a}=\vec{b}$.

Слайд 9. Противоположные векторы

Векторы называют противоположными, если они имеют равные длины, но противоположные направления. Для вектора $\vec{a}$ противоположный вектор обозначают $-\vec{a}$.

Например, если $\overrightarrow{AB}$ направлен слева направо, то $\overrightarrow{BA}$ имеет ту же длину, но направлен справа налево.

Слайд 10. Нулевой вектор

• Нулевой вектор имеет начало и конец в одной точке.

• Его обозначают $\vec{0}$.

• Длина нулевого вектора равна нулю.

• У нулевого вектора нет определённого направления.

Слайд 11. Коллинеарные векторы

Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

Слайд 12. Алгоритм сравнения векторов

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Итог

Сравнить направления векторов.

Сравнить их длины.

Если оба признака совпали, векторы равны.

Иначе векторы не равны.

Слайд 13. Сложение векторов: правило треугольника

Чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, начало второго вектора совмещают с концом первого. Суммой является вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго.

Слайд 14. Правило треугольника и правило параллелограмма

Векторы откладывают последовательно: конец первого совпадает с началом второго. Сумма соединяет начало первого с концом второго.

Векторы откладывают от общего начала. Сумма — диагональ параллелограмма, выходящая из этого начала.

Слайд 15. Вычитание векторов

• Разность векторов определяют как сумму первого вектора и вектора, противоположного второму.

• Запись: $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$.

• При общем начале разность направлена от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Слайд 16. Умножение вектора на число

При умножении вектора $\vec{a}$ на число $k$ получают вектор $k\vec{a}$.

Если $k>0$, направление сохраняется. Если $k<0$, направление меняется на противоположное. Длина нового вектора равна $|k|\cdot |\vec{a}|$.

Слайд 17. Вектор в координатах

Для точек $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ координаты вектора находят вычитанием.

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)$.

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

Слайд 18. «Вектор — это не просто отрезок»

— Запомни: длина показывает, насколько велико перемещение, а направление — куда оно происходит.

Слайд 19. Проверь себя

• Чем вектор отличается от отрезка?

• При каких условиях два вектора равны?

• Как направлен вектор, противоположный $\vec{a}$?

• Построй сумму двух векторов по правилу треугольника.

• Для точек $A(1,2)$ и $B(4,6)$ найди координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ и его длину.

Слайд 20. Итоги

• Вектор — направленный отрезок.

• Вектор имеет начало, конец, длину и направление.

• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.

• Нулевой вектор имеет длину ноль.

• Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

• Координаты вектора находят как разность координат его конца и начала.