Тригонометрия: от 0° до 180°

Слайд 1. Тригонометрия: от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$

Геометрия 9 класс: Единичная полуокружность и основные понятия

Слайд 2. Зачем расширять понятия?

В 8 классе мы изучали синус, косинус и тангенс только для острых углов ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$) в прямоугольном треугольнике.

Однако в геометрии часто встречаются тупые углы (например, в произвольных треугольниках). Чтобы работать с ними, математики ввели понятие единичной полуокружности.

Слайд 3. Единичная полуокружность

Центр полуокружности совпадает с началом координат $O(0;0)$

Радиус окружности равен $1$

Расположена в верхней полуплоскости ($y\ge 0$)

Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки

Слайд 4. Определение функций

Пусть точка $M(x;y)$ лежит на единичной полуокружности и соответствует углу $\alpha$.

1. Косинус угла $\alpha$ — это абсцисса ($x$) точки $M$.

2. Синус угла $\alpha$ — это ордината ($y$) точки $M$.

$\cos \alpha =x$

$\sin \alpha =y$

Слайд 5. Тангенс и Котангенс

Отношение $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, то есть $\frac{y}{x}$.

Важно: $\text{tg}\alpha$ не существует при $\alpha =90^{\circ }$, так как $x=0$.

Отношение $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, то есть $\frac{x}{y}$.

Важно: $\text{ctg}\alpha$ не существует при $\alpha =0^{\circ }$ и $180^{\circ }$, так как $y=0$.

Слайд 6. Значения на границах четвертей

Слайд 7. Знаки функций

Все функции положительны: $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$.

$\sin \alpha >0$ (точка выше оси $x$), но $\cos \alpha <0$ (точка левее оси $y$).

Положительны в I четверти, отрицательны во II четверти.

Синус для углов от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ никогда не бывает отрицательным.

Слайд 8. Основное тождество

Так как точка $M(x;y)$ лежит на окружности с уравнением $x^2+y^2=1$, а $x=\cos \alpha$ и $y=\sin \alpha$, мы получаем важнейшую формулу:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Это работает для любого угла от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$.

Слайд 9. Формулы приведения

Для вычисления значений тупых углов используйте связи с острыми углами:

$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

$\text{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\text{tg}\alpha$

Пример: $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=0,5$

Слайд 10. Итоги занятия

Косинус — это координата $x$, синус — это координата $y$ точки на единичной полуокружности.

Для углов $0^{\circ }\dots 180^{\circ }$ синус всегда $\ge 0$.

Для тупых углов ($>90^{\circ }$) косинус становится отрицательным.

Основное тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ позволяет найти одну функцию через другую.