Мир векторов

Слайд 1. Мир векторов: от основ до скалярного произведения

Слайд 2. Что такое вектор?

Вектор — это направленный отрезок, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом. В отличие от обычного числа (скаляра), вектор обладает не только величиной, но и направлением. Обозначается как $\vec{a}$ или $\overrightarrow{AB}$.

Слайд 3. Характеристики вектора

Длина (модуль) — расстояние между началом и концом вектора.

Направление — ориентация вектора в пространстве или на плоскости.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают (длина равна $0$).

Слайд 4. Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, нужно из координат конца вычесть координаты начала. Если $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$, то координаты вектора $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$. Это показывает, насколько вектор «сдвинулся» по осям $X$ и $Y$.

Слайд 5. Длина вектора через координаты

Длина вектора $\vec{a}\{x;y\}$ вычисляется по теореме Пифагора: $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Для вектора $\vec{b}\{3;4\}$:

$|\vec{b}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Слайд 6. Алгебраические операции

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются: $\vec{a}+\vec{b}=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}$.

При умножении вектора на число $k$, все его координаты умножаются на это число: $k\cdot \vec{a}=\{kx;ky\}$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то их координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k$.

Слайд 7. Скалярное произведение векторов

Слайд 8. Два способа найти скалярное произведение

1. Через длины и угол: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между ними.

2. Через координаты: $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Оба способа дают одинаковый результат!

Слайд 9. Алгоритм нахождения угла между векторами

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вычислите скалярное произведение:

$x_1{x}_2+y_1{y}_2$.

Найдите длины векторов: $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

Выразите косинус: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$.