Теорема Пифагора и начала тригонометрии

Слайд 1. Теорема Пифагора и начала тригонометрии

Геометрия, 8 класс: от сторон треугольника к функциям угла

Слайд 2. Прямоугольный треугольник

Фундамент темы — треугольник, один из углов которого равен $90^{\circ }$.

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами ($a$ и $b$).

Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой ($c$). Она всегда длиннее любого из катетов.

Слайд 3. Теорема Пифагора

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Математическая запись: $a^2+b^2=c^2$

Геометрический смысл: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Применение: Позволяет найти любую сторону треугольника, если известны две другие.

Слайд 4. Чертеж и обозначения

Слайд 5. Пифагоровы тройки

Это наборы из трёх положительных целых чисел $a,b,c$, удовлетворяющих уравнению $a^2+b^2=c^2$. Треугольники с такими сторонами всегда прямоугольные.

1. $3,4,5$ (Египетский треугольник)

2. $5,12,13$

3. $8,15,17$

4. $7,24,25$

5. $20,21,29$

Слайд 6. Введение в тригонометрию

Слайд 7. Основные функции угла

Для острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\text{tg}\alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Слайд 8. Основное тригонометрическое тождество

Связь между синусом и косинусом одного и того же угла выражается формулой:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Это равенство напрямую следует из теоремы Пифагора. Если разделить обе части уравнения $a^2+b^2=c^2$ на $c^2$, мы получим сумму квадратов отношений катетов к гипотенузе, что и дает единицу.

Слайд 9. Таблица значений для частых углов

Слайд 10. Успехов в изучении геометрии!