Пропорциональность в треугольнике

Слайд 1. Пропорциональность в треугольнике

Теорема Фалеса, средняя линия и центр масс

Слайд 2. Что такое пропорциональные отрезки?

Отношением отрезков $AB$ и $CD$ называется отношение их длин.

Отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1{B}_1$ и $C_1{D}_1$, если их отношения равны:

$$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{CD}{C_1{D}_1}$$

Это фундамент для подобия фигур и решения сложных задач на построение.

Слайд 3. Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков...

...и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую...

...то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Это правило работает для любого угла и любых параллельных прямых.

Слайд 4. Визуализация теоремы Фалеса

Слайд 5. Обобщенная теорема Фалеса

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Если линии параллельны, то:

$$\frac{OA}{AB}=\frac{O{A}_1}{A_1{B}_1}$$

Это позволяет находить длину любого куска линии, зная остальные.

Слайд 6. Средняя линия треугольника

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство 1: Средняя линия параллельна третьей стороне.

Свойство 2: Её длина равна половине этой стороны.

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Слайд 7. Медианы и центр масс

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Эта точка (центр масс) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

То есть отрезок от вершины до точки пересечения в два раза длиннее, чем отрезок от точки до стороны.

Слайд 8. Геометрия в жизни: Метод Фалеса

Как измерить высоту пирамиды или дерева без лестницы?

Фалес использовал тень. В момент, когда длина тени вертикального шеста равна его высоте, длина тени пирамиды также будет равна её высоте.

Если тени не равны объектам, используется пропорция:

$$\frac{H_{\text{объекта}}}{H_{\text{шеста}}}=\frac{L_{\text{тени}\text{объекта}}}{L_{\text{тени}\text{шеста}}}$$

Слайд 9. Задачи: Теорема Фалеса

На одной стороне угла отложены отрезки 2 см и 3 см. На другой стороне через их концы проведены параллельные прямые. Меньший отрезок на второй стороне равен 4 см. Найдите больший.

6 см. Решение: $\frac{2}{3}=\frac{4}{x}\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$.

Параллельные прямые пересекают стороны угла. Отрезки на одной стороне равны $x$ и 5, на другой — 4 и 10. Найдите $x$.

2. Решение: $\frac{x}{5}=\frac{4}{10}\Rightarrow 10x=20\Rightarrow x=2$.

Слайд 10. Задачи: Средняя линия

Основание треугольника равно 12 см. Найдите длину средней линии, параллельной этому основанию.

6 см. По свойству средней линии: $m=\frac{1}{2}a=\frac{12}{2}=6$.

Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен 15 см. Найдите периметр исходного треугольника.

30 см. Каждая средняя линия в 2 раза меньше стороны, значит и периметр меньше в 2 раза.

Слайд 11. Задачи: Медианы

Медиана треугольника равна 9 см. Найдите длины отрезков, на которые она делится точкой пересечения медиан.

6 см и 3 см. Отношение $2:1$, всего 3 части. $9/3=3$ см (одна часть), $3\cdot 2=6$ см (две части).

Отрезок медианы от вершины до точки пересечения равен 4 см. Чему равна вся медиана?

6 см. Отрезок до стороны равен $4/2=2$ см. Вся медиана: $4+2=6$ см.

Слайд 12. Задача 7: Практика

Условие: Тень от вертикального шеста высотой $1,5$ м составляет $2$ м. В это же время тень от дерева составляет $8$ м. Найдите высоту дерева.

Решение:

Используем подобие (теорему о пропорциональных отрезках).

$$\frac{h}{1,5}=\frac{8}{2}$$

$$\frac{h}{1,5}=4$$

$$h=4\cdot 1,5=6$$

Ответ: 6 метров.

Слайд 13. Сводная таблица свойств

Слайд 14. Подведем итоги

Пропорциональность — это сохранение отношений между длинами.

Теорема Фалеса позволяет делить отрезки в любом отношении.

Средняя линия всегда вдвое короче стороны, которой она параллельна.

Медианы всегда делятся точкой пересечения в строгом отношении $2:1$.

Эти знания помогают измерять недоступные объекты через их тени или проекции.