Четырехугольники

Слайд 1. Четырехугольники: Параллелограммы и Трапеции

Свойства и признаки основных видов фигур. Геометрия, 8 класс.

Слайд 2. Параллелограмм и его свойства

Определение: Противоположные стороны попарно параллельны.

Противоположные стороны равны: $AB=CD,BC=AD$.

Противоположные углы равны: $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO=OC,BO=OD$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^{\circ }$.

Слайд 3. Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Если противоположные углы четырехугольника попарно равны (следствие из суммы углов).

Слайд 4. Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^{\circ }$).

Основные свойства прямоугольника:

1. Противоположные стороны и углы равны.

2. Все углы прямоугольника прямые ($90^{\circ }$).

3. Диагонали прямоугольника равны: $AC=BD$.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признак прямоугольника:

Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Слайд 5. Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные свойства ромба:

1. Все свойства параллелограмма (противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам).

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: $AC\perp BD$.

3. Диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба:

Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны или являются биссектрисами углов, то это ромб.

Слайд 6. Квадрат

Определение: Прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).

Основные свойства квадрата:

1. Все углы прямые ($90^{\circ }$), все стороны равны.

2. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам ($AC=BD,AC\perp BD$).

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам и делят квадрат на 4 равных треугольника.

Слайд 7. Квадрат: Совершенная фигура

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые. Он объединяет в себе все признаки.

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Его диагонали: равны, перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами.

Слайд 8. Сравнение свойств параллелограммов

Слайд 9. Трапеция и её элементы

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны).

Сумма углов при боковой стороне равна $180^{\circ }$.

Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=\frac{a+b}{2}$.

Слайд 10. Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Основные свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при каждом основании равны ($\angle A=\angle D,\angle B=\angle C$).

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны ($AC=BD$).

3. Сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$.

Слайд 11. Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой один из углов при боковой стороне является прямым ($90^{\circ }$).

Основные свойства:

1. Правило: У прямоугольной трапеции два угла, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярной основаниям, равны $90^{\circ }$.

2. Сумма углов, прилежащих к боковым сторонам, равна $180^{\circ }$.

Слайд 12. Итоги: Формулы площадей четырехугольников

Свойства площадей многоугольников:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких неперекрывающихся многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих частей (аддитивность).

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Слайд 13. Площади многоугольников

Основные формулы для вычисления площадей:

• Прямоугольник: $S=a\cdot b$

• Параллелограмм: $S=a\cdot h_a$

• Треугольник: $S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$

• Трапеция: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

• Ромб: $S=\frac{1}{2}{d}_1\cdot d_2$