Углы в окружности и четырёхугольники

Слайд 1. Углы в окружности и четырёхугольники

Геометрия, 8 класс: от вписанных углов до касания окружностей

Слайд 2. Что мы изучим сегодня?

Центральные и вписанные углы: свойства и зависимости

Касательные к окружности и их свойства

Вписанные и описанные четырёхугольники

Углы между хордами и секущими

Взаимное расположение двух окружностей

Решение практических задач

Слайд 3. Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Величина центрального угла $\angle AOB$ равна градусной мере дуги $\cup AB$, на которую он опирается.

Если дуга составляет четверть окружности, то $\angle AOB=90^{\circ }$.

Слайд 4. Вписанный угол

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Теорема: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\cup AC$.

Слайд 5. Следствия из теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^{\circ }$.

Равные хорды стягивают равные дуги и соответствуют равным вписанным углам.

Слайд 6. Вопрос для обсуждения

Может ли вписанный угол быть тупым?

Подсказка: подумайте о дуге, на которую он опирается. Если дуга больше $180^{\circ }$, что произойдет с углом?

Слайд 7. Касательные к окружности

Слайд 8. Определение и свойство касательной

Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Свойство: Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

$l\perp OR$, где $R$ — точка касания.

Слайд 9. Отрезки касательных

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны: $AB=AC$.

Прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, является биссектрисой угла между касательными.

Слайд 10. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри этого угла.

$\angle (l,AB)=\frac{1}{2}\cup AB$.

Это свойство часто используется при доказательстве подобия треугольников.

Слайд 11. Вписанные и описанные четырёхугольники

Слайд 12. Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.

Свойство: Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }$.

$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$.

Слайд 13. Признак вписанного четырёхугольника

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^{\circ }$, то около него можно описать окружность.

Любой прямоугольник — вписанный.

Любая равнобедренная трапеция — вписанная.

Параллелограмм (не прямоугольник) вписать нельзя.

Слайд 14. Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник называется описанным, если все его стороны касаются окружности.

Свойство: Суммы длин противоположных сторон равны.

$a+c=b+d$.

Слайд 15. Признак описанного четырёхугольника

Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Любой ромб — описанный.

Квадрат всегда является и вписанным, и описанным.

В произвольный прямоугольник (не квадрат) вписать окружность нельзя.

Слайд 16. Сравнение четырёхугольников

Слайд 17. Углы между хордами и секущими

Слайд 18. Угол между пересекающимися хордами

Если две хорды пересекаются внутри окружности, то угол между ними равен полусумме дуг, которые они высекают.

$\alpha =\frac{\cup AB+\cup CD}{2}$

Слайд 19. Угол между секущими

Если две секущие пересекаются вне окружности, то угол между ними равен полуразности дуг, заключённых внутри угла.

$\beta =\frac{\cup AB-\cup CD}{2}$, где $\cup AB$ — большая дуга.

Слайд 20. Взаимное расположение окружностей

Слайд 21. Варианты расположения

Расстояние между центрами больше суммы радиусов: $d>R_1+R_2$.

Имеют одну общую точку. Бывает внешнее и внутреннее касание.

Имеют две общие точки. $|R_1-R_2|<d<R_1+R_2$.

Одна внутри другой без касания. Концентрические — центры совпадают.

Слайд 22. Касание окружностей

Внешнее касание: $d=R_1+R_2$

Внутреннее касание: $d=|R_1-R_2|$

Слайд 23. Общие касательные

Внешние касательные: не пересекают отрезок, соединяющий центры.

Внутренние касательные: пересекают отрезок, соединяющий центры.

Количество касательных зависит от расположения окружностей (от 0 до 4).

Слайд 24. Практическое применение

Слайд 25. Задача 1: Поиск угла

Дано: вписанный угол опирается на дугу $120^{\circ }$. Найдите величину этого угла и соответствующего ему центрального угла.

Решение:

1) Вписанный = $120^{\circ }/2=60^{\circ }$.

2) Центральный = $120^{\circ }$.

Слайд 26. Задача 2: Четырёхугольник

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона равна 10 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Так как трапеция описанная, $a+c=b+d$.

Сумма оснований = сумме боковых сторон = $10+10=20$ см.

Средняя линия = $(a+c)/2=20/2=10$ см.

Слайд 27. Алгоритм решения задач на окружности

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Определить тип углов (вписанный, центральный, между хордами).

Проверить возможность вписать или описать четырёхугольник.

Использовать свойства радиусов в точках касания (перпендикулярность).

Составить уравнение на основе свойств дуг или длин сторон.

Слайд 28. Геометрия есть познание всего сущего.

— Платон

Слайд 29. Подведём итоги

Вписанный угол всегда в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника — $180^{\circ }$.

Сумма противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания.

Расстояние между центрами касающихся окружностей связано с их радиусами.

Слайд 30. Спасибо за внимание! Готовьте вопросы.