Подобие и пропорциональные отрезки

Слайд 1. Подобие и пропорциональные отрезки

8 класс · Теорема Фалеса, средние линии и признаки подобия

Слайд 2. Теорема Фалеса

Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на них равные отрезки, то и на другой стороне угла отрезки равны.

Практический смысл: параллельные линии помогают переносить и делить отрезки пропорционально.

Слайд 3. Средняя линия треугольника

• Соединяет середины двух сторон треугольника

• Параллельна третьей стороне

• Равна половине третьей стороны: $MN=\frac{1}{2}AC$

• Делит треугольник на подобный треугольник и трапецию

Вопрос: почему параллельность здесь важнее самого положения отрезка?

Слайд 4. Средняя линия треугольника и трапеции

Соединяет середины двух сторон.

Параллельна третьей стороне.

Длина равна половине третьей стороны: $m=\frac{a}{2}$.

Соединяет середины боковых сторон.

Параллельна основаниям.

Длина равна полусумме оснований: $m=\frac{a+b}{2}$.

Слайд 5. Самостоятельная работа

1. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Найдите $MN$, если $AC=14$ см.

2. Основания трапеции равны $8$ см и $14$ см. Найдите её среднюю линию.

3. Объясните, какие признаки позволяют утверждать, что отрезок является средней линией.

Обсудите решение соседом: какое свойство использовано первым?

Слайд 6. Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Запись: $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1\Rightarrow △ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$.

Пример: равенство вертикальных углов и одной пары углов часто позволяет быстро доказать подобие.

Слайд 7. Три признака подобия

По двум углам: два угла одного треугольника равны двум углам другого.

По двум сторонам и углу между ними: стороны пропорциональны, включённые углы равны.

По трём сторонам: соответствующие стороны пропорциональны.

Слайд 8. Как доказывать подобие: алгоритм

Слайд 9. «Подобные фигуры имеют одинаковую форму»

— Главная идея: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны

Слайд 10. Коэффициент подобия

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон подобных фигур:

$k=\frac{A_1{B}_1}{AB}$.

Если $k>1$, вторая фигура увеличена.

Если $0<k<1$, вторая фигура уменьшена.

Вопрос: как изменится периметр при коэффициенте $k$?

Слайд 11. Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Если $AB\parallel A_1{B}_1$, то отношения соответствующих отрезков на двух лучах равны:

$\frac{OA}{O{A}_1}=\frac{OB}{O{B}_1}$.

Применение: нахождение недоступной длины по масштабу и измерение расстояний на местности.

Слайд 12. Практикум: задачи на подобие

1. Два треугольника имеют углы $40^{\circ }$, $60^{\circ }$, $80^{\circ }$. Можно ли утверждать, что они подобны?

2. Стороны одного треугольника равны $3$ см, $4$ см и $5$ см, другого — $6$ см, $8$ см и $10$ см. Найдите коэффициент подобия.

3. На рисунке найдите неизвестный отрезок через пропорцию.

Обсуждение: какой признак применим в каждой задаче?

Слайд 13. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота к гипотенузе делит треугольник на два треугольника, подобных исходному.

Катет связан с гипотенузой и его проекцией пропорционально.

Возникают три попарно подобных прямоугольных треугольника.

Сделайте чертёж и отметьте равные углы перед записью пропорции.

Слайд 14. Отношение площадей подобных фигур

Если коэффициент подобия равен $k$, то отношение площадей подобных фигур равно $k^2$:

$\frac{S_1}{S_2}=k^2$.

Линейные размеры меняются в $k$ раз, а площадь — в квадрате этого коэффициента.

Пример: при увеличении всех сторон в $2$ раза площадь увеличивается в $4$ раза.

Вопрос для обсуждения: почему нельзя считать, что площади изменяются просто в $k$ раз?

Слайд 15. Итоги и самопроверка

• Теорема Фалеса связывает параллельность и пропорциональность.

• Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине.

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

• Подобие доказывают по двум углам, двум сторонам и углу между ними или трём сторонам.

• Коэффициент подобия связывает длины, а площади относятся как $k^2$.

Самопроверка: назовите признак подобия, который вы примените к своему последнему решённому примеру.