Квадрат

Слайд 1. Квадрат

Геометрия, 8 класс

Слайд 2. Определение квадрата

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Иными словами, квадрат одновременно является прямоугольником и ромбом.

Если $ABCD$ — квадрат, то $AB=BC=CD=DA$, а каждый угол равен $90^{\circ }$.

Слайд 3. Основные свойства

• Все стороны равны: $AB=BC=CD=DA$

• Все углы прямые: $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$

• Противоположные стороны параллельны

• Диагонали равны и пересекаются под прямым углом

• Диагонали делят углы квадрата пополам

Слайд 4. Квадрат среди других фигур

У квадрата противоположные стороны попарно параллельны.

У квадрата все углы прямые, поэтому каждый квадрат — прямоугольник.

У квадрата все стороны равны, поэтому каждый квадрат — ромб.

Квадрат объединяет свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Слайд 5. Как распознать квадрат?

Чтобы доказать, что четырёхугольник является квадратом, достаточно установить один из признаков:

• это прямоугольник с равными соседними сторонами;

• это ромб с прямым углом;

• это ромб с равными диагоналями;

• это прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.

Слайд 6. Диагонали квадрата

Диагонали равны: $AC=BD$.

Они пересекаются и делят друг друга пополам.

Они перпендикулярны: $AC\perp BD$.

При стороне $a$:

Периметр: $P=4a$

Площадь: $S=a^2$

Диагональ: $d=a\sqrt{2}$

Слайд 7. Пример задачи 1

Сторона квадрата равна $6$ см. Найдите его периметр и площадь.

Решение:

$P=4\cdot 6=24$ см.

$S=6^2=36$ см${}^2$.

Ответ: периметр равен $24$ см, площадь — $36$ см${}^2$.

Слайд 8. Пример задачи 2

Диагональ квадрата равна $8\sqrt{2}$ см. Найдите сторону и площадь.

• Используем формулу $d=a\sqrt{2}$.

• Подставляем: $8\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.

• Получаем $a=8$ см.

• Находим площадь: $S=8^2=64$ см${}^2$.

Ответ: сторона — $8$ см, площадь — $64$ см${}^2$.

Слайд 9. «Квадрат — это фигура, в которой встречаются сразу несколько важных свойств»

— Сделайте вывод: какие свойства прямоугольника и ромба объединяет квадрат?

Слайд 10. Итоги и задание

Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами и ромб с прямым углом.

Все стороны квадрата равны, а все углы прямые.

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят углы пополам.

Основные формулы: $P=4a$, $S=a^2$, $d=a\sqrt{2}$.

Задание: начертите квадрат, проведите его диагонали и объясните, какие свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба проявляются на чертеже.