Геометрия: Итоговое повторение

Слайд 1. Геометрия: Повторение

Слайд 2. Часть 1: Четырехугольники

Слайд 3. Параллелограмм и его свойства

Противоположные стороны равны и параллельны

Противоположные углы равны

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ }$

Слайд 4. Частные виды параллелограммов

У прямоугольника все углы прямые, а диагонали равны. У ромба все стороны равны, а диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба. Все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны и перпендикулярны.

Слайд 5. Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны). Виды трапеций: равнобедренная и прямоугольная. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=\frac{a+b}{2}$.

Слайд 6. Многоугольники

Сумма углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $S=(n-2)\cdot 180^{\circ }$. Внешний угол выпуклого многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ }$.

Слайд 7. Часть 2: Площади фигур

Слайд 8. Основные формулы площадей

Квадрат: $S=a^2$

Прямоугольник: $S=a\cdot b$

Параллелограмм: $S=a\cdot h_a$

Ромб: $S=\frac{1}{2}{d}_1\cdot d_2$

Слайд 9. Площадь треугольника и трапеции

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S=\frac{1}{2}a\cdot h$. Для прямоугольного треугольника: $S=\frac{1}{2}a\cdot b$.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$, или произведению средней линии на высоту.

Слайд 10. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2=a^2+b^2$. Эта теорема является фундаментом всей евклидовой геометрии и позволяет находить расстояния между точками.

Слайд 11. Часть 3: Подобные треугольники

Слайд 12. Признаки подобия треугольников

По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны пропорциональны, а углы между ними равны.

По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Слайд 13. Свойства подобия

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $P_1/P_2=k$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_1/S_2=k^2$

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Слайд 14. Часть 4: Тригонометрия

Слайд 15. Значения тригонометрических функций

Слайд 16. Часть 5: Окружность

Слайд 17. Углы в окружности

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается: $\angle BOC=\cup BC$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle BAC=\frac{1}{2}\cup BC$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Слайд 18. Касательная к окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Слайд 19. Вписанные и описанные окружности

Слайд 20. Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан. Делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения биссектрис. Является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений).

Точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Слайд 21. Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

— Галилео Галилей

Слайд 22. Вехи развития геометрии

VI в. до н.э.

III в. до н.э.

XVII век

XIX век

Пифагор формулирует теорему о соотношении сторон в треугольнике.

Евклид создает «Начала» — первую стройную систему аксиом.

Рене Декарт объединяет геометрию и алгебру методом координат.

Николай Лобачевский открывает неевклидову геометрию.

Слайд 23. Примерное распределение тем в итоговом тесте

Наибольшее внимание стоит уделить свойствам четырехугольников и расчету площадей, так как они составляют основу большинства задач.

Слайд 24. Подведем итоги

Геометрия 8 класса — это база для решения задач ОГЭ и ЕГЭ.

Знание свойств фигур позволяет упрощать вычисления.

Теорема Пифагора — универсальный инструмент в прямоугольных треугольниках.

Подобие треугольников связывает линейные размеры и площади фигур.

Слайд 25. Удачи в решении задач!