Случайные опыты. Элементарные события
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться описывать случайный опыт, выделять его элементарные исходы и составлять пространство элементарных событий для простых опытов с монетой, кубиком и выбором предметов.
- Сформировать представление о случайном опыте как действии с заранее известным набором возможных исходов, результат которого заранее нельзя однозначно предсказать.
- Научиться различать случайные, невозможные и достоверные события на конкретных примерах.
- Развивать умение классифицировать, моделировать ситуацию и аргументировать выбранный способ решения.
- Воспитывать ответственное отношение к выводу на основе данных и уважение к различным стратегиям рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию неопределённых ситуаций, встречающихся в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Понимают, что вывод о случайном явлении должен опираться на полный перечень возможных исходов, а не на догадку.
- Осознают ценность точного языка при обсуждении вероятностных ситуаций.
- Принимают возможность существования нескольких корректных способов представления одной модели опыта.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки случайного опыта и структурируют информацию в виде списка или таблицы.
- Сравнивают модели опытов, находят неполный или избыточный перечень исходов.
- Формулируют гипотезу, проверяют её на примерах и корректируют рассуждение после обсуждения.
- Работают в паре и группе, аргументируют ответ и используют математическую терминологию.
Предметные
- Знать определения случайного опыта, исхода случайного опыта, элементарного события и пространства элементарных событий.
- Уметь приводить примеры случайных опытов и перечислять все элементарные исходы простых опытов.
- Уметь различать случайные, невозможные и достоверные события.
- Уметь проверять, является ли предложенный набор исходов полным и непротиворечивым.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения вероятностных моделей через примеры игр, прогнозов и анализа данных.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ фиксации результата опыта.
- Оценивают собственное продвижение по критериям «могу назвать опыт», «могу перечислить исходы», «могу объяснить выбор».
- Соблюдают корректность в споре и признают обоснованный ответ одноклассника.
Регулятивные УУД
- Принимают и формулируют цель работы с пространством элементарных событий.
- Планируют последовательность: описать опыт, перечислить исходы, проверить полноту списка.
- Осуществляют самопроверку по контрольным вопросам и исправляют пропуски.
- Оценивают результат по критериям полноты, различимости и соответствия условию опыта.
Познавательные УУД
- Выделяют объект исследования, возможные результаты и ограничения опыта.
- Классифицируют события и моделируют ситуацию с помощью таблицы или дерева вариантов.
- Анализируют ошибочные перечни исходов и устанавливают причину ошибки.
- Извлекают информацию из условия и преобразуют её в математическую модель.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные вопросы о возможных исходах опыта.
- Распределяют роли в паре или группе: организатор, фиксатор, проверяющий, докладчик.
- Аргументируют полноту своего перечня и задают уточняющие вопросы.
- Согласовывают общий ответ, разрешая разногласия на основе условия задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить по одной монете и одному игральному кубику на каждую пару, а также два непрозрачных пакета с цветными жетонами для демонстрации.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить листы для групповой работы: таблица «Опыт — возможные исходы — событие». По одному листу на группу из 4 человек.
- Вывести на доску или экран определения: случайный опыт, исход, элементарное событие, пространство элементарных событий.
- Разместить на доске памятку-алгоритм: 1) определить опыт; 2) спросить «что может произойти?»; 3) перечислить исходы; 4) проверить, что ничего не пропущено.
- Подготовить стикеры трёх цветов для самопроверки и рефлексии.
- Организовать таймер на 1, 3 и 5 минут для коротких заданий.
- Подготовить презентацию с изображениями монеты, кубика, светофора и случайного выбора жетона.
- Проверить наличие тетрадей, ручек и места для групповой работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в обсуждение неопределённых ситуаций и создать мотивацию к изучению темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране монету, кубик и закрытый пакет с жетонами: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем исследовать ситуации, в которых результат заранее неизвестен, но возможные результаты можно описать. Представьте, что вы разрабатываете компьютерную игру или анализируете результаты спортивного матча. Почему важно заранее знать, какие исходы вообще возможны?" | Рассматривают изображения, приводят примеры: "Бросок монеты", "Результат броска кубика", "Выбор случайного жетона". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом: можно ли назвать случайным результатом число, которое выпало на кубике? Объясните не только что произошло, но и почему результат был случайным." | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в паре и сообщают: "Да, потому что заранее нельзя точно сказать, какое число выпадет, хотя известны числа от 1 до 6". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что случайность не означает полный хаос: возможные результаты часто можно перечислить заранее. Сейчас выясним, как математически описать такой опыт."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о событиях, исходах и перечислении вариантов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране три ситуации: "Солнце завтра взойдёт; при броске кубика выпадет 7; при броске монеты выпадет орёл. Определите, какая ситуация обязательно произойдёт, какая не произойдёт, а какая может произойти." | Заполняют в тетради три строки и отвечают: "Восход Солнца — достоверное событие; выпадение 7 — невозможное; выпадение орла — случайное". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: "Какие результаты возможны при броске обычного кубика? Можно ли записать только 1, 2 и 3? Что потеряется? Можно ли записать один и тот же результат дважды?" | Перечисляют $1, 2, 3, 4, 5, 6$, объясняют: "Список будет неполным, потому что могут выпасть 4, 5 или 6"; замечают, что повторение не добавляет нового исхода. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что событие может быть достоверным, невозможным или случайным, а также потренировались перечислять варианты. Теперь найдём точное название отдельного возможного результата."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в описании случайного опыта и сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки с вопросом: «В мешке находятся красный, синий и зелёный жетоны. Один жетон достают, не глядя. Один ученик записал исходы: красный, синий. Другой записал: красный, синий, зелёный, жёлтый. Кто составил корректный список и почему?» | В группах находят ошибки: первый список неполный, второй содержит невозможный исход. Формулируют: "Нужно перечислить ровно все реально возможные результаты". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблему: "Как назвать отдельный возможный результат опыта и как проверить, что множество исходов составлено правильно? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Предлагают цель: "Научиться выделять элементарные события и составлять полный список исходов случайного опыта". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: список должен быть полным и не содержать невозможных результатов. Перейдём к математическим понятиям, которые помогут решить эту задачу."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести понятия случайного опыта, исхода, элементарного события и пространства элементарных событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель проводит мини-объяснение с опорой на схему: "Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но множество возможных результатов определено. Каждый отдельный возможный результат называют исходом опыта. Если исход нельзя разложить на более простые результаты в рамках данного опыта, его называют элементарным событием. Например, при броске кубика элементарные исходы — выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6." | Записывают определения и обозначают пространство элементарных событий для кубика: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Отвечают: "Элементарное событие — один конкретный возможный результат". |
3 мин | Учитель показывает монету: "Рассмотрим опыт: монету подбрасывают один раз. Какие элементарные исходы возможны? Запишем пространство исходов. Почему нельзя считать исходом одновременно «орёл или решка»?" | Записывают $\Omega=\{\text{орёл},\text{решка}\}$. Объясняют: "Орёл или решка — это не один результат, а объединение двух возможных исходов". |
3 мин | Учитель предлагает группе выбрать один из двух опытов: А — выбрать один жетон из пакета; Б — бросить кубик и определить, чётное или нечётное число выпало. Напоминает алгоритм проверки: "Сначала опишите опыт, затем перечислите элементарные исходы, после этого проверьте полноту списка." | Выбирают опыт, заполняют таблицу и готовят короткое объяснение. Для опыта с жетонами записывают цвета; для кубика — $\{1,2,3,4,5,6\}$, отмечая, что событие «чётное число» включает несколько элементарных исходов. |
Запись в тетрадях
Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но возможные результаты определены. Исход — конкретный результат опыта. Элементарное событие — отдельный возможный исход, который в рамках данного опыта нельзя разделить на более простые исходы. Пространство элементарных событий обозначают $\Omega$ и записывают как множество всех возможных исходов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы ввели язык описания случайности: опыт, исход, элементарное событие и пространство $\Omega$. Теперь проверим, умеем ли мы применять эти понятия к конкретным ситуациям."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления пространства элементарных событий и различения событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Выполните задание 1: для каждого опыта запишите пространство элементарных событий. Опыт А: бросают монету один раз. Опыт Б: выбирают одну букву из набора А, Б, В. Опыт В: бросают кубик и фиксируют выпавшее число." | Индивидуально записывают: $\Omega_А=\{орёл,решка\}$, $\Omega_Б=\{А,Б,В\}$, $\Omega_В=\{1,2,3,4,5,6\}$. Сверяют ответы с соседом. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по критериям: "Проверьте, есть ли все возможные исходы, нет ли невозможных исходов, не повторяется ли один результат. Поставьте рядом знак плюс или вопрос." | Проверяют записи партнёра, называют найденные пропуски и исправляют их. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "При броске кубика событие В — «выпало число больше 4». Какие элементарные исходы входят в событие В? Сколько их?" | Отвечают: "$\{5,6\}$, два элементарных исхода". |
Эталон решения
Для броска кубика пространство элементарных событий: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Событие «выпало число больше 4» включает исходы, удовлетворяющие условию: $5$ и $6$. Поэтому $В=\{5,6\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились составлять пространство исходов и выделять из него исходы, соответствующие событию. Далее каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки группы."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение нового алгоритма и организовать дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбор карточки: "Выберите базовый, повышающий или дополнительный уровень. Базовый: составьте пространство исходов для выбора одного дня недели из понедельника, вторника и среды. Повышающий: для броска кубика опишите события «выпало нечётное число» и «выпало число не меньше 5». Дополнительный: опишите опыт двух последовательных бросков монеты и перечислите все элементарные исходы." | Самостоятельно решают выбранный вариант. Базовый ответ: $\{понедельник,вторник,среда\}$. Повышающий ответ: $\{1,3,5\}$ и $\{5,6\}$. Дополнительный ответ: $\{ОО,ОР,РО,РР\}$. |
2 мин | Учитель выводит эталон и предлагает алгоритм самопроверки: "Сравните не только ответ, но и способ. Отметьте зелёным верный полный список, жёлтым — список с одной исправимой ошибкой, красным — ситуацию, где требуется помощь." | Проверяют работу по эталону, исправляют ошибки, формулируют причину ошибки одним предложением. |
2 мин | Учитель адресно комментирует типичные ошибки: "Если при двух бросках монеты записаны только ОР и РО, чего не хватает? Почему ОО и РР тоже возможны?" | Отвечают: "Не хватает случаев, когда два раза выпадает одна и та же сторона: ОО и РР". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что полноту списка нужно проверять особенно внимательно в составных опытах. Осталось связать новое понятие с общей системой событий и оценить собственное продвижение."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете объяснить, что такое элементарное событие; жёлтый — если понимаете идею, но иногда пропускаете исход; красный — если нужна дополнительная помощь. После этого назовите один шаг алгоритма." | Поднимают стикеры, называют шаги: "Описать опыт, перечислить исходы, проверить полноту". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что называют исходом? Чем элементарное событие отличается от события «выпало чётное число»? Как доказать, что список исходов полный?" | Отвечают: "Исход — конкретный результат"; "чётное число объединяет исходы 2, 4 и 6"; "Нужно проверить все варианты по условию опыта". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание по трём уровням и говорит: "Выберите уровень, который позволит вам работать самостоятельно и при этом потребует усилия. В тетради обязательно запишите опыт, пространство исходов и пояснение к каждому ответу." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, отмечают личную цель на следующий урок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились описывать случайный опыт через его элементарные исходы. На следующем уроке будем использовать это пространство для изучения событий и первых способов оценивать их вероятность."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, пространство элементарных событий полное, невозможные и повторяющиеся исходы отсутствуют, объяснение содержит математические термины.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в перечислении или классификации, но общий алгоритм применён правильно.
- «3» — правильно выполнено базовое задание или не менее половины работы, однако допущены пропуски исходов и требуется помощь при проверке полноты списка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют элементарным событием? | Проверка понимания ключевого определения. |
Какой шаг алгоритма составления пространства исходов оказался самым важным? | Выявление осознанности способа действия. |
В каком задании вы сначала допустили ошибку и как её исправили? | Выявление типичных затруднений и сформированности самоконтроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Оценка самооценки, мотивации и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что случайность можно описывать строго и понятно. Главное — сначала точно определить опыт, затем перечислить все его возможные элементарные исходы и проверить, не пропущено ли что-либо. Типичная ошибка — заменить отдельные исходы более общим событием, например записать «чётное число» вместо чисел 2, 4 и 6. На следующем уроке мы научимся рассматривать события как объединения элементарных исходов и сравнивать их вероятности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Описать 4 простых случайных опыта из повседневной жизни или математики. Для каждого перечислить все элементарные исходы и назвать одно случайное, одно невозможное и одно достоверное событие. | Закрепляет определения и умение переводить жизненную ситуацию в математическую модель; при проверке смотреть на полноту и соответствие исходов условию. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на составление пространства элементарных событий для монеты, кубика, выбора жетона и выбора одного предмета из набора. В двух заданиях дополнительно выделить исходы, входящие в указанное событие. | Закрепляет алгоритм перечисления исходов и различение элементарного исхода и составного события; проверить отсутствие пропусков и лишних вариантов. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать опыт двух последовательных бросков монеты или выбора двух предметов с возвращением. Представить пространство исходов таблицей или деревом вариантов и объяснить, почему список полный. | Развивает моделирование, анализ структуры составного опыта и умение аргументировать полноту пространства событий. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое случайный опыт? Что называют элементарным событием? Как записать пространство исходов для одного броска кубика? Почему список исходов должен быть полным и не содержать невозможных результатов?»
