Множества. Решение вероятностных задач с помощью кругов Эйлера
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться представлять условия вероятностных задач с помощью кругов Эйлера и находить вероятности событий, связанных с объединением и пересечением множеств, решив не менее трёх задач с точностью не менее 80%.
- Сформировать умение распознавать события, описывать их как множества и изображать отношения между ними с помощью кругов Эйлера.
- Научить применять формулу числа элементов объединения двух множеств: $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$ — при решении задач на подсчёт исходов.
- Развивать исследовательские, коммуникативные и регулятивные умения через проблемный диалог, работу в парах и группах.
- Воспитывать ответственность за обоснованность вывода, интерес к применению вероятности в статистике, информатике и повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностного мышления при анализе данных и принятии решений.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию взаимосвязей между событиями.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Понимают значение точного языка математики для аргументированного общения.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения задачи и проверяют полученный результат.
- Извлекают информацию из текста задачи, таблицы и схемы, преобразуют её в математическую модель.
- Сравнивают способы решения и аргументируют выбор круга Эйлера как модели.
- Используют цифровую доску или презентацию для построения и анализа схем.
- Сотрудничают в паре и группе, распределяют роли и формулируют общий вывод.
Предметные
- Знать понятия множества, элемента множества, объединения и пересечения множеств.
- Уметь изображать два множества кругами Эйлера и обозначать их общую часть.
- Уметь находить число элементов объединения двух множеств по формуле $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$.
- Уметь решать вероятностные задачи на равновозможные исходы с использованием кругов Эйлера.
- Владеть алгоритмом проверки ответа по числу всех возможных исходов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения вероятности через примеры из статистики, спорта и цифровых технологий.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня и способа выполнения задания.
- Осознают необходимость честного и точного представления данных.
- Оценивают собственное продвижение по критериям урока.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют построение схемы и последовательность вычислений.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место ошибки.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром.
- Фиксируют результат в листе самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют исходы по принадлежности к одному или двум событиям.
- Строят модель условия в виде кругов Эйлера.
- Устанавливают связь между пересечением множеств и повторным подсчётом исходов.
- Выводят формулу объединения двух множеств на конкретной задаче.
- Переносят способ решения на новый контекст.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы к условию задачи.
- Объясняют партнёру смысл частей схемы.
- Распределяют роли в группе и согласуют общий ответ.
- Аргументируют решение, используя математические термины.
- Корректно оценивают решение другой группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной задачей, пустыми кругами Эйлера, алгоритмом решения и заданиями для самопроверки.
- Распечатать листы групповой работы трёх уровней сложности: по одному комплекту на каждую группу из 3–4 человек.
- Подготовить карточки с названиями множеств и элементами событий для игры «Разложи исходы».
- Распечатать лист самооценки и билет на выход каждому ученику.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры, линейки и большие листы бумаги для построения схем.
- Вывести на доску или экран памятку: «Прочитай условие — выдели события — нарисуй круги — размести пересечение — вычисли исходы — найди вероятность».
- Подготовить ноутбук, проектор и интерактивную доску либо онлайн-доску для коллективного построения схемы.
- Заранее разместить на партах карточки базового и повышенного уровня; творческие карточки выдавать по выбору.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для игровых и исследовательских заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через игровую ситуацию и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два пересекающихся круга с подписями «Любят футбол» и «Любят музыку». «Сегодня мы попробуем увидеть вероятность не только в числах, но и в картинке. Представьте, что мы анализируем результаты опроса класса. Как показать тех, кто относится сразу к двум группам?» | Рассматривают схему, называют общую часть кругов, предполагают: «Это ученики, которые любят и футбол, и музыку». |
2 мин | Учитель объявляет игру «Математический детектив». «Вам предстоит раскрыть ошибку в подсчёте участников опроса. Если один человек попал сразу в две группы, можно ли считать его дважды? Сформулируйте предположение и запишите его на стикере». | Индивидуально записывают предположение, затем сравнивают его с ответом соседа; формулируют: «Общих участников нужно учитывать только один раз». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что пересечение групп влияет на подсчёт исходов. Сейчас выясним, как изобразить эту связь и использовать её для решения вероятностных задач».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия множества, события, равновозможных исходов и вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Блиц-опрос»: «Что называют множеством? Что является элементом множества? Как найти вероятность события при равновозможных исходах? Запишите формулу на мини-доске». | Записывают определения и формулу $P(A)=\frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех исходов; отвечают: «Множество — совокупность объектов, объединённых общим признаком». |
2 мин | Учитель показывает три записи: множество чётных чисел, множество граней кубика, событие «при броске кубика выпадет число больше 4». «Какие записи являются множествами, а какие описывают события? Обоснуйте». | Классифицируют записи, объясняют, что событие задаёт условие относительно множества исходов. |
2 мин | Учитель предлагает мини-задачу: «При броске игрального кубика событие A — выпадение чётного числа. Сколько благоприятных исходов и какова вероятность события?» | Называют исходы $2,4,6$, вычисляют $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, сверяют ответ с соседом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как выделять благоприятные исходы и находить вероятность. Но когда событий два и они пересекаются, простой подсчёт может привести к ошибке. Найдём способ избежать двойного счёта».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм его преодоления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: «В классе 25 учеников. 14 занимаются спортом, 11 посещают музыкальную школу, а 6 занимаются и спортом, и музыкой. Сколько учеников занимаются хотя бы одним из этих видов деятельности?» Учитель просит решить сначала без схемы и сравнить ответы. | Решают индивидуально или в парах; часть учеников получает 14+11=25, другие вычитают общих участников и получают 19. Фиксируют расхождение ответов. |
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: «Почему результат 25 может быть неверным? Где один ученик учтён дважды? Какую цель поставим на урок?» | Объясняют двойной счёт, формулируют цель: «Научиться изображать пересечение множеств и находить число элементов объединения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: нам нужно отделить общую часть двух групп. Для этого построим модель — круги Эйлера — и проверим её на нескольких задачах».
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская работа (10 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: вывести формулу объединения множеств через исследование схемы и применить её к вероятностной задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам листы и говорит: «Нарисуйте два пересекающихся круга. Первый обозначьте A — занимаются спортом, второй B — посещают музыкальную школу. Отметьте отдельно только спорт, только музыку и общую часть. Разместите числа 14, 11 и 6 так, чтобы каждый ученик был учтён один раз». | В группах распределяют роли, строят схему, размещают $6$ в пересечении, находят «только спорт»: $14-6=8$, «только музыка»: $11-6=5$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: «Сколько элементов находится в объединении? Почему нельзя просто сложить 14 и 11? Как исправить двойной счёт? Запишите обнаруженную закономерность буквами». | Считают $8+6+5=19$, объясняют двойной учёт общей части, формулируют $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$. |
2 мин | Учитель показывает на экране алгоритм: «Первое — выделяем все исходы. Второе — обозначаем события. Третье — изображаем пересечение. Четвёртое — применяем формулу. Пятое — делим число благоприятных исходов на число всех исходов». | Переписывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, проверяют его по решённой задаче. |
2 мин | Учитель связывает тему с информатикой и статистикой: «В электронных таблицах и базах данных часто отбирают записи по двум условиям. Пересечение означает “и”, объединение — “или”. Где ещё встречается такой отбор данных?» | Приводят примеры: фильтрация списка, результаты опроса, рекомендации в цифровых сервисах; формулируют: «Пересечение — одновременное выполнение двух условий». |
Запись в тетрадях
Множество $A∪B$ — объединение множеств, элементы которого принадлежат хотя бы одному из них. Множество $A∩B$ — пересечение множеств, элементы которого принадлежат обоим множествам. Формула: $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$. Для вероятности: $P(A)=\frac{m}{n}$.
Эталон решения
В задаче: $n(A)=14$, $n(B)=11$, $n(A∩B)=6$. Тогда $n(A∪B)=14+11-6=19$. Значит, 19 учеников занимаются хотя бы одним из указанных видов деятельности. Проверка по схеме: $8+6+5=19$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели формулу не из готового правила, а из рисунка и подсчёта областей. Теперь проверим, умеете ли вы применять её в задачах разного уровня».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Разложи исходы» (7 мин)
Цель этапа: закрепить различение объединения и пересечения и научиться быстро переводить условие задачи в схему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой группе карточки с исходами и двумя признаками. «Игра называется “Разложи исходы”. Разместите карточки в кругах A и B. В пересечение помещайте только те исходы, которые обладают обоими признаками. Подпишите, что означает каждая область». | В группах сортируют карточки, размещают их в областях схемы, подписывают «только A», «A и B», «только B», «вне A и B». |
2 мин | Учитель предлагает базовую задачу: «Из 20 равновозможных исходов 9 принадлежат событию A, 8 — событию B, 3 — обоим событиям. Найдите число исходов события A или B и его вероятность». | Строят круги, вычисляют $n(A∪B)=9+8-3=14$, находят $P(A∪B)=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней группой. Проверьте наличие схемы, формулы, ответа и сокращённой дроби. Поставьте две звезды за удачные решения и одно пожелание». | Проверяют решение другой группы по критериям, отмечают корректную схему и предлагают исправление при ошибке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Схема помогает увидеть, какие исходы относятся к одному событию, а какие — к обоим. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень и покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом».
Этап 6. Самостоятельная работа с выбором уровня (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма и создать условия для дифференциации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «Выберите карточку базового, повышенного или творческого уровня. Базовый уровень обязателен для всех; повышенный и творческий можно выбрать, если готовы к более сложной модели. Работайте самостоятельно, затем возьмите эталон для проверки». | Выбирают уровень, записывают номер карточки и планируют время. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовое: «В группе 30 человек 18 читают художественную литературу, 12 — научно-популярную, 5 читают оба вида. Найдите число читающих хотя бы один вид и вероятность случайно выбранного ученика попасть в эту группу». Повышенное: «Из 40 результатов опроса 22 положительные по критерию A, 17 — по критерию B, 8 — по обоим. Найдите вероятность объединения». Творческое: «Придумайте собственную задачу об опросе класса с двумя пересекающимися множествами, задайте числа и решите её с помощью схемы». | Решают выбранную задачу: строят круги Эйлера, находят области, применяют формулу, записывают вероятность; авторы творческих задач составляют условие, проверяют, чтобы число общих элементов не превышало число элементов каждого множества. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте не только ответ, но и модель. Если ответ отличается, найдите шаг, на котором возникла ошибка: чтение условия, размещение пересечения, вычисление или сокращение дроби». | Проверяют решение, выделяют ошибочный шаг, исправляют запись, отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
Для базовой задачи: $n(A∪B)=18+12-5=25$. Благоприятных исходов 25 из 30, поэтому $P(A∪B)=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$. В схеме области равны: только A — $18-5=13$, пересечение — $5$, только B — $12-5=7$; сумма $13+5+7=25$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что один и тот же алгоритм работает в задачах с разным контекстом. Осталось обобщить способ, оценить собственное понимание и проверить, умеем ли мы объяснить его словами».
Этап 7. Рефлексия, итог и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенный способ, выявить затруднения и определить дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно построить круги и применить формулу; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если требуется разбор с учителем». | Поднимают карточки, фиксируют в листе самооценки умение строить схему, находить объединение и вычислять вероятность. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Запишите одним предложением, чем отличаются объединение и пересечение. Затем решите: в классе 16 учеников любят шахматы, 10 — шашки, 4 — обе игры. Сколько любят хотя бы одну игру?» | Пишут: «Объединение означает хотя бы одно условие, пересечение — оба условия»; вычисляют $16+10-4=22$ и замечают, что если общий размер класса меньше 22, условие требует проверки реалистичности. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и благодарит за работу: «Выберите обязательный уровень или добавьте задание повышенного или творческого уровня. Проверьте, чтобы схема и вычисления подтверждали друг друга». | Записывают выбранный вариант домашнего задания, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились видеть в задаче два множества, их пересечение и объединение, а затем переводить эту модель в вероятность. На следующем уроке продолжим исследовать операции с событиями и научимся сравнивать вероятности более сложных комбинаций».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена выбранная задача, построена корректная схема кругов Эйлера, правильно применена формула объединения, вероятность записана и при необходимости сокращена; в творческом задании условие и числа согласованы.
- «4» — верно выполнены основные вычисления и построена схема, но допущена одна неточность в обозначении, пояснении или оформлении, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — определены события и начата схема, но допущены ошибки в учёте пересечения или вычислении вероятности; после подсказки ученик может исправить решение.
- Ниже базового уровня — схема не отражает условие, пересечение не выделено или отсутствует объяснение выбора числа благоприятных исходов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как объяснить своими словами различие между объединением и пересечением множеств? | Проверка осмысленного владения основными понятиями. |
На каком шаге решения задачи круги Эйлера оказались наиболее полезны? | Выявление понимания функции математической модели. |
Какую ошибку можно допустить при сложении числа элементов двух множеств? | Диагностика риска двойного счёта пересечения. |
Какой уровень задания вы выбрали и что помогло вам справиться? | Определение субъективной оценки сложности и уровня самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы увидели, что круги Эйлера превращают текстовую задачу в понятную модель. Главное правило — общую часть двух множеств нельзя считать дважды, поэтому её вычитают один раз. Если ответ кажется слишком большим, обязательно проверьте его по схеме и по смыслу условия. Вы смогли работать как исследователи: выдвигали предположение, проверяли его и выводили формулу. На следующем уроке мы продолжим работу с событиями и их комбинациями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на объединение и пересечение двух множеств в вероятностном контексте: две задачи с готовыми числами элементов и две задачи по таблице опроса. Для каждой построить круги Эйлера и найти вероятность указанного события. | Закрепляет алгоритм выделения событий, построения схемы и применения формулы; при проверке смотреть на корректность пересечения и соответствие ответа условию. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с реальным контекстом: опрос о кружках, предпочтениях в чтении или использовании цифровых сервисов. В каждой определить множество исходов, объединение, пересечение и выполнить проверку суммой областей. | Развивает функциональную и статистическую грамотность; при проверке обратить внимание на объяснение смысла каждого числа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу по данным мини-опроса не менее 20 человек с двумя пересекающимися признаками, оформить таблицу исходных данных, круги Эйлера, решение и краткий вывод о вероятности. | Развивает исследовательское и творческое мышление; при проверке смотреть, чтобы числа были реалистичны, а схема, формула и вывод не противоречили друг другу. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает пересечение множеств? Почему при нахождении объединения вычитают число элементов пересечения? Как по схеме найти число благоприятных исходов? Какая формула используется для вероятности?»
Задания ОГЭ по математике: расчёт вероятности
- Вариант 1. Из 30 восьмиклассников 18 решают задачи на вероятность, 14 — задачи на множества, а 8 — задачи обоих типов. С помощью кругов Эйлера найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик решает задачи хотя бы одного из двух типов.
- Вариант 2. В классе 25 учеников 15 посещают спортивную секцию, 12 — музыкальную школу, а 5 занимаются и спортом, и музыкой. Изобразите данные кругами Эйлера и найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик посещает хотя бы одну из этих секций.
- Вариант 3. В группе из 40 учащихся 22 предпочитают читать художественную литературу, 19 — научно-популярную, а 9 выбирают оба вида литературы. Постройте круги Эйлера и найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся предпочитает хотя бы один из двух видов литературы.
- Вариант 4. Из 50 случайно выбранных сообщений 28 содержат изображения, 24 — ссылки, а 12 содержат и изображения, и ссылки. С помощью кругов Эйлера найдите вероятность того, что выбранное сообщение содержит хотя бы один из этих элементов. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
