Свойства дерева: пути, висячие вершины и связь числа вершин с числом рёбер
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют и применят три свойства дерева — единственность пути между любыми двумя вершинами, наличие висячей вершины в конечном дереве и равенство числа рёбер числу вершин без единицы — при решении не менее трёх из четырёх учебных задач.
- Образовательная задача: сформулировать свойства дерева на основе наблюдения за моделями графов и обосновать их.
- Развивающая задача: развивать умение строить модель, выявлять закономерность, выдвигать гипотезу и проверять её рассуждением.
- Коммуникативная задача: учиться распределять роли в группе, объяснять ход рассуждения и аргументированно соглашаться или возражать.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за общий результат, аккуратность математической записи и интерес к применению графов в информатике, логистике и проектировании сетей.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию графов через создание и изменение моделей.
- Осознают ценность доказательного рассуждения: вывод принимается не только по отдельному примеру, но и после объяснения закономерности.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат выбранной работы.
- Понимают практическую значимость деревьев для организации файлов, маршрутов, сетей и классификаций.
Метапредметные
- Строят и читают модель дерева, выделяют вершины, рёбра и висячие вершины.
- Сравнивают несколько моделей, фиксируют наблюдения в таблице и формулируют гипотезу.
- Планируют решение задачи, проверяют результат по формуле и корректируют ошибочное рассуждение.
- Участвуют в математическом диалоге, задают уточняющие вопросы и аргументируют выводы.
Предметные
- Знать определение дерева, пути, длины пути и висячей вершины.
- Уметь объяснять, почему в дереве между двумя вершинами существует единственный путь.
- Уметь находить висячие вершины и обосновывать их существование в конечном дереве с двумя и более вершинами.
- Уметь применять формулу $m=n-1$, где $n$ — число вершин, а $m$ — число рёбер, и находить неизвестную величину.
- Уметь отличать дерево от графа с циклом по его модели и свойствам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личный вклад в групповое исследование и оценивают собственную готовность обосновывать вывод.
- Связывают изучаемые модели с задачами программиста, системного аналитика и специалиста по сетям.
- Проявляют настойчивость при поиске причины ошибки в модели или вычислении.
- Формируют ответственное отношение к точности математических обозначений.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель исследования свойств дерева.
- Планируют последовательность: построить модель, подсчитать вершины и рёбра, сравнить результаты, сформулировать вывод.
- Осуществляют самопроверку по образцу и находят место расхождения.
- Оценивают достижение цели по чек-листу и выбирают следующий уровень задания.
Познавательные УУД
- Моделируют граф с помощью точек, отрезков, карточек и нитей.
- Выделяют существенные признаки дерева и сравнивают дерево с графом, содержащим цикл.
- Устанавливают причинно-следственную связь между отсутствием цикла и единственностью пути.
- Обобщают данные нескольких моделей и выводят формулу $m=n-1$.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в группе роли конструктора, счётчика, докладчика и проверяющего.
- Формулируют вопросы о правильности модели и отвечают на вопросы одноклассников.
- Используют математические термины «вершина», «ребро», «путь», «цикл», «висячая вершина».
- Согласовывают общий вывод и корректно обосновывают отличие собственного решения от решения другой группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения четырёх графов: двух деревьев, графа с циклом и несвязного графа.
- Распечатать карточки с вершинами и рёбрами: по одному комплекту на группу из четырёх человек, всего по числу групп в классе.
- Подготовить короткие отрезки шерстяной нити или полоски бумаги для моделирования рёбер, по одному набору на группу.
- Распечатать рабочий лист с таблицей «число вершин — число рёбер — есть ли цикл — число висячих вершин» на каждого ученика.
- Подготовить карточки трёх уровней самостоятельной работы: минимального, базового и повышенного — по одной на каждого ученика.
- Записать на доске тему, обозначения $n$ и $m$, а также оставить место для вывода формулы $m=n-1$.
- Подготовить слайд или плакат с определениями дерева, пути, цикла и висячей вершины.
- Организовать работу с учебником: заранее выбрать фрагмент с определением дерева и иллюстрациями свойств, без привязки к страницам.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут, маркеры, стикеры и лист самооценки.
- Проверить проектор или интерактивную доску; при отсутствии техники использовать распечатанные схемы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость деревьев.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему папок компьютера: «Здравствуйте, ребята. Представьте, что перед нами структура папок: из одной папки можно перейти в другую по нескольким направлениям. Сегодня мы выясним, как устроена особая сеть, в которой нет лишних обходов. Посмотрите на рисунок и предположите, почему такую схему называют деревом». | Рассматривают схему, высказывают предположения: «У схемы есть ветви», «От главной папки идут подчинённые», «Нет замкнутого обхода». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала за 30 секунд подумайте, что должно быть верно для дерева. Затем обсудите идею с соседом и назовите один проверяемый признак. Нам важно не угадать, а проверить гипотезу моделью». | Формулируют в парах гипотезы: «Между двумя точками должен быть один маршрут», «В дереве есть конечные вершины», «Рёбер на одно меньше, чем вершин». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что дерево встречается не только в учебной схеме, но и в структуре папок и сетей. Теперь проверим наши предположения на конкретных моделях».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения графа, вершины, ребра, пути и цикла и обнаружить, каких признаков недостаточно для описания дерева.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает два графа и задаёт вопросы эвристической беседы: «Назовите элементы, которые мы изучали. Что такое вершина? Что такое ребро? Как называется последовательность рёбер, соединяющая две вершины? Чем путь отличается от цикла? Покажите на первом рисунке путь из вершины A в вершину D, а на втором найдите замкнутый маршрут». | Называют: «Вершины — точки, рёбра — линии, путь соединяет вершины, цикл начинается и заканчивается в одной вершине». Показывают путь $A-B-C-D$ и цикл на втором рисунке. |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-карточку с графом: «Подсчитайте вершины и рёбра. Определите, можно ли назвать граф деревом. Обязательно запишите причину, а не только ответ. Если есть цикл, обведите его». Учитель собирает два разных ответа на доске. | Подсчитывают элементы, сравнивают граф с определением дерева и записывают: «Это не дерево, потому что есть цикл» или «Это не дерево, потому что граф несвязный». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как читать граф и находить цикл, но пока не доказали общие свойства дерева. Значит, нам нужно провести исследование и сформулировать признаки, которые будут работать для любой модели».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия свойств дерева.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует дерево из пяти вершин и граф с циклом: «Из вершины A в вершину E в первом рисунке можно пройти одним способом. Попробуйте найти другой путь, не повторяя вершины. Во втором рисунке это возможно. Почему? Сформулируйте проблему: какое свойство дерева запрещает второй путь?» | Пробуют прокладывать маршруты, отвечают: «В дереве нет цикла; два разных пути образовали бы цикл». Формулируют гипотезу о единственности пути. |
2 мин | Учитель записывает план на доске: «Сегодня мы проверим три вопроса: сколько путей между двумя вершинами; обязательно ли в конечном дереве есть вершина степени 1; как связаны $n$ и $m$. Выберите в группе роль: конструктор, счётчик, докладчик или проверяющий». | Записывают цель и план, распределяют роли, формулируют ожидаемый результат: «Сможем объяснить три свойства и применить их в задачах». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План исследования определён: сначала путь, затем висячая вершина, затем число рёбер. Все выводы мы получим из моделей и проверим на языке определений».
Этап 4. Открытие нового знания методом моделирования (12 мин)
Цель этапа: вывести три свойства дерева через построение, преобразование и анализ моделей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам карточки вершин и нити: «Постройте дерево из пяти вершин так, чтобы все вершины были соединены и ни одного цикла не возникло. Теперь выберите две вершины и проложите между ними путь. Попробуйте построить второй другой путь. Что произойдёт, если он появится?» Учитель фиксирует на доске схему двух путей. | Строят модели, выбирают пары вершин, проверяют маршруты. Формулируют: «Два разных пути вместе образовали бы цикл, поэтому в дереве путь единственный». |
4 мин | Учитель предлагает исследование висячей вершины: «Найдите вершину, из которой выходит только одно ребро. Удалите её вместе с единственным ребром и рассмотрите оставшуюся модель. Повторите рассуждение для любого дерева с двумя и более вершинами: может ли каждая вершина иметь не меньше двух рёбер?» | Находят вершины степени 1, называют их висячими. Обсуждают: «Если у каждой вершины было бы не меньше двух рёбер, можно было бы идти дальше и в конечном графе вернуться в уже посещённую вершину, образовав цикл». Записывают вывод о существовании висячей вершины. |
4 мин | Учитель направляет третье исследование: «Начните с одной вершины и добавляйте новые вершины так, чтобы сохранялось свойство дерева. Сколько рёбер нужно добавить вместе с каждой новой вершиной? Заполните таблицу для $n=1,2,3,4,5$ и найдите закономерность». | Последовательно строят модели и заполняют таблицу: $(1;0)$, $(2;1)$, $(3;2)$, $(4;3)$, $(5;4)$. Формулируют: «Каждая новая вершина добавляет одно ребро, поэтому $m=n-1$». |
Запись в тетрадях
- Дерево — связный граф без циклов.
- Между любыми двумя вершинами дерева существует единственный путь.
- В конечном дереве, содержащем не менее двух вершин, есть хотя бы одна висячая вершина, то есть вершина степени 1.
- Если в дереве $n$ вершин, то число рёбер равно $m=n-1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Модель позволила нам увидеть закономерность, но математическое знание становится надёжным только после объяснения. Сейчас проверим, умеете ли вы применять каждое свойство отдельно и в связке с другими».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить формулировки свойств дерева через устные и графические задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно»: «Отметьте карточками цвет утверждения. Первое: между двумя вершинами дерева может быть два различных пути. Второе: дерево из семи вершин имеет шесть рёбер. Третье: любое дерево с двумя и более вершинами имеет висячую вершину. После каждого ответа назовите причину». | Поднимают карточки и объясняют: «Первое неверно: два пути образуют цикл», «Второе верно: $m=7-1=6$», «Третье верно: иначе в конечном графе возник бы цикл». |
4 мин | Учитель выводит на экран дерево и предлагает задачу: «В дереве вершины обозначены буквами A, B, C, D, E, F. Рёбра: AB, AC, BD, CE, CF. Назовите путь из D в F, укажите висячие вершины и проверьте формулу». Учитель просит одного ученика объяснить решение у доски. | Находят путь $D-B-A-C-F$, называют висячие вершины D, E и F, считают $n=6$, $m=5$ и делают вывод $m=n-1$. |
Эталон решения
Путь из D в F: $D-B-A-C-F$. Другого пути быть не может, иначе вместе с найденным путём образовался бы цикл. Степень D равна 1, степень E равна 1, степень F равна 1, поэтому они висячие вершины. В модели $n=6$ и $m=5$; проверка: $n-1=6-1=5=m$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили все три свойства к одной модели: нашли единственный путь, висячие вершины и проверили формулу. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли распознавать и использовать эти свойства без подсказки группы».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств дерева и организовать дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: «Выберите уровень, который позволит вам показать знания. Минимальный уровень: по заданной схеме определить, является ли граф деревом, и найти число рёбер. Базовый уровень: по списку рёбер найти путь и висячие вершины. Повышенный уровень: доказать, почему в дереве невозможно иметь два разных пути между одними вершинами. Записывайте не только ответ, но и обоснование». | Индивидуально выполняют выбранную карточку. Минимальный вариант: для $n=8$ находят $m=7$. Базовый вариант: анализируют модель и записывают путь и вершины степени 1. Повышенный вариант: объясняют образование цикла из двух разных путей. |
3 мин | Учитель открывает эталон: «Сверьте решение по трём критериям: правильно ли определено дерево, использована ли формула, есть ли объяснение. Ошибку не зачёркивайте полностью: подчеркните место, где возникло расхождение, и исправьте рядом». | Проверяют работу по эталону, ставят себе количество выполненных критериев, исправляют вычисление или формулировку. Показывают карточку самооценки: зелёная — всё могу объяснить, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь. |
Эталон решения
Для дерева с $n=8$ вершинами число рёбер: $m=n-1=8-1=7$. Если в схеме найдены два различных пути между одной парой вершин, эти пути имеют общий начальный и конечный фрагменты, а оставшиеся части образуют цикл; такой граф деревом не является. Висячая вершина определяется по степени: у неё ровно одно инцидентное ребро.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что важно различать вычисление и доказательство: формула даёт число рёбер, а отсутствие цикла объясняет единственность пути. В конце зафиксируем, что именно каждый из вас сегодня открыл и где это можно применить».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат исследования, определить затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт стикеры для приёма «Билет на выход»: «Запишите три коротких ответа: первое — как доказать единственность пути; второе — что такое висячая вершина; третье — сколько рёбер в дереве с десятью вершинами. Четвёртой строкой укажите, где свойство дерева может пригодиться в жизни или будущей профессии». | Пишут: «Два пути образовали бы цикл», «Вершина степени 1», «9 рёбер». Приводят примеры: «структура папок», «сеть дорог без лишних обходов», «классификация объектов». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень; желающие добавят повышающий или дополнительный. Перед записью проверьте, что в каждой задаче есть модель, обозначения и краткое обоснование. На следующем уроке мы начнём с разбора типичных ошибок». | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход и лист самооценки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены свойства дерева, решены все три части самостоятельной работы или полностью выполнено задание повышенного уровня, формула $m=n-1$ применена без ошибок, каждое утверждение обосновано.
- «4» — правильно выполнены основные задания, но допущена одна неточность в обозначениях, подсчёте или объяснении; свойство единственности пути и формула в целом применены верно.
- «3» — распознано дерево и выполнено хотя бы одно вычислительное задание, но есть ошибки в нахождении пути, висячих вершин или обосновании формулы; требуется коррекция по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как объяснить, почему в дереве между двумя вершинами существует только один путь? | Выявление понимания связи между двумя путями и образованием цикла. |
Как вы определяете висячую вершину в модели? | Проверка освоения понятия степени вершины и умения читать граф. |
Как найти число рёбер дерева, если известно число вершин? | Проверка осознанного применения формулы $m=n-1$. |
Что оказалось сложнее: построить модель, доказать свойство или выполнить вычисление? | Выявление субъективной точки затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы исследовали дерево не по готовому правилу, а построили его свойства сами. Мы установили, что между двумя вершинами дерева существует единственный путь, в конечном дереве есть висячая вершина, а число рёбер на единицу меньше числа вершин. Обратите внимание на типичную ошибку: формулу $m=n-1$ нельзя применять к любому графу без проверки, является ли он деревом. На следующем уроке мы продолжим работать с графами и решим задачи, где модель помогает быстро находить структуру и количество связей».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по теме: распознать дерево среди изображённых графов, для двух деревьев подсчитать вершины и рёбра, найти висячие вершины и вычислить число рёбер для дерева с заданным числом вершин. В каждом ответе записать краткое обоснование. | Закрепляет определения дерева и висячей вершины, формулу $m=n-1$ и аккуратный подсчёт элементов. При проверке смотреть на наличие обоснования, а не только на число. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: восстановить число вершин по числу рёбер дерева, указать единственный путь между двумя заданными вершинами по модели, объяснить, почему граф с двумя различными путями не является деревом. | Развивает обратное применение формулы, чтение модели и доказательное рассуждение. При проверке обратить внимание на использование терминов «цикл» и «единственный путь». |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную модель дерева не менее чем из 8 вершин, подписать вершины и рёбра, выделить все висячие вершины, привести два примера единственных путей и доказать равенство $m=n-1$. Дополнительно описать практическую ситуацию, которую представляет модель. | Формирует умение создавать модель и переносить свойство в жизненный или профессиональный контекст. При проверке оценивать корректность модели, полноту доказательства и ясность обозначений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что запрещено в дереве? Как доказать единственность пути? Как называется вершина степени 1? Сколько рёбер будет в дереве с 12 вершинами?»
