Элементарные события и вероятности случайных событий. Случайный выбор
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться описывать пространство элементарных событий и вычислять вероятность случайного события в опытах с равновозможными исходами по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, применяя её к задачам на случайный выбор.
- Сформировать представление об элементарном событии как об одном возможном исходе опыта и о случайном событии как о множестве благоприятных исходов.
- Научить составлять перечень равновозможных элементарных событий, определять число всех и благоприятных исходов и вычислять вероятность события.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать способ представления исходов и аргументировать решение в паре и при обсуждении с классом.
- Воспитывать ответственное отношение к случайному выбору, понимание различия между математической вероятностью и единичным результатом опыта.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию случайных явлений из повседневной жизни.
- Понимают, что случайный выбор должен быть организован по ясному правилу и не зависит от личных предпочтений организатора.
- Осознают ценность честного распределения и обоснованного принятия решений.
- Готовы уважать альтернативные способы рассуждения и корректно обсуждать ошибки одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия, таблицы и схемы, выделяют все возможные исходы опыта.
- Планируют решение задачи, выбирая перебор, таблицу или дерево вариантов.
- Сравнивают математическое ожидание результата с результатом отдельного опыта и формулируют вывод.
- Работают в паре, распределяют роли, аргументируют ответ и осуществляют взаимопроверку по критериям.
- Используют цифровую или интерактивную демонстрацию случайного выбора для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать определения элементарного исхода, случайного события, достоверного и невозможного событий.
- Уметь составлять пространство элементарных событий в простых опытах с монетой, игральным кубиком, карточками и жеребьёвкой.
- Уметь определять число всех исходов $n$ и число благоприятных исходов $m$.
- Уметь вычислять вероятность события в равновозможном опыте по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$ и записывать ответ обыкновенной дробью.
- Уметь объяснять, почему при случайном выборе каждый участник должен иметь одинаковую вероятность быть выбранным.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения вероятности через ситуации выбора, жеребьёвки и оценки риска.
- Проявляют готовность к интеллектуальному усилию при проверке интуитивного предположения.
- Формируют установку на честность и объективность случайного выбора.
- Оценивают собственную уверенность в применении формулы вероятности.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют последовательность действий для её достижения.
- Проверяют полноту списка элементарных исходов и соответствие результата диапазону $0\leq P(A)\leq1$.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку в подсчёте исходов.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки.
- Корректируют способ решения, если перебор исходов оказался неполным или содержит повторы.
Познавательные УУД
- Различают единичный элементарный исход и событие, состоящее из нескольких исходов.
- Классифицируют события на достоверные, невозможные и случайные.
- Моделируют опыт с помощью списка, таблицы и дерева вариантов.
- Устанавливают связь между количеством благоприятных и всех равновозможных исходов.
- Применяют формулу вероятности к реальному сюжету случайного выбора.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точный вопрос к условию и объясняют ход рассуждения партнёру.
- Распределяют роли в паре: составитель пространства исходов и проверяющий.
- Приводят аргументы в пользу равновозможности исходов.
- Слушают иной способ решения и сравнивают его с собственным.
- Корректно указывают на неполный перебор или повтор исхода.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить демонстрационные монету и игральный кубик, а также прозрачный непрозрачный мешок для случайного выбора карточек.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров при классе из 30 человек.
- Подготовить наборы карточек с буквами А, Б, В, Г для работы в парах — по одному набору на парту.
- Распечатать лист самооценки и критерии взаимопроверки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображением пространства исходов броска кубика, формулой $P(A)=\frac{m}{n}$ и алгоритмом решения.
- Записать на доске проблемный вопрос: «Как сделать случайный выбор честным и как измерить вероятность результата?»
- Подготовить таймер на 2–3 минуты и электронный генератор случайных чисел для демонстрации независимого выбора.
- Разложить на столах мини-схемы алгоритма: 1) перечислить исходы; 2) найти $n$; 3) выделить благоприятные исходы; 4) найти $m$; 5) вычислить $P(A)$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость понятия случайного выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не угадывать результат случайного опыта, а учиться описывать все его возможности и измерять вероятность каждой ситуации." | Проверяют материалы, записывают дату, настраиваются на работу. |
3 мин | Учитель показывает мешок с четырьмя одинаковыми карточками, на которых написаны буквы А, Б, В, Г: "Представьте, что нужно честно выбрать одного представителя команды. Как поступить, чтобы никто не получил преимущество? А можно ли заранее утверждать, какая буква будет выбрана? На доске записан вопрос: как сделать выбор честным и оценить вероятность результата?" Учитель проводит один выбор и просит предположить, что можно было узнать заранее. | Обсуждают в парах 30 секунд, формулируют ответы: "Нужно перемешать одинаковые карточки и выбрать одну"; "Точный результат заранее неизвестен"; "Каждая буква должна иметь одинаковый шанс". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что честный выбор связан с равными шансами, но один конкретный результат заранее неизвестен. Теперь вспомним, как описывать возможные результаты опыта, чтобы перейти от интуитивного рассуждения к точному вычислению."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о случайных опытах, множествах исходов и дробях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует монету и кубик: "Назовите опыт и все результаты, которые могут появиться при его проведении. Важно не называть один результат несколько раз и ничего не пропустить." На доске учитель фиксирует ответы в виде множеств. | Называют: "У монеты два исхода: орёл и решка"; "У кубика шесть исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6". Записывают множества в тетрадь. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какую дробь называют правильной? Что означает числитель и знаменатель в доле? Может ли доля быть равна нулю или единице?" Учитель связывает ответы с будущей формулой вероятности. | Отвечают: "Знаменатель показывает число равных частей, числитель — сколько частей взяли"; приводят примеры дробей $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{6}$, $0$ и $1$. |
2 мин | Учитель предлагает классифицировать события: «При броске кубика выпадет число от 1 до 6», «выпадет 8», «выпадет чётное число». Просит объяснить различие. | Распределяют события: первое — достоверное, второе — невозможное, третье — случайное; обосновывают классификацию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем перечислять исходы и различать виды событий. Но пока не умеем точно отвечать, насколько вероятно событие. Сформулируем затруднение и цель нашего открытия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить способ вычисления вероятности события в опыте с равновозможными исходами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Кубик бросают один раз. Какова вероятность того, что выпадет чётное число? Не называйте только ответ — объясните, какие результаты нужно учитывать." Учитель намеренно принимает ответ без обоснования и спрашивает: "Чего не хватает в таком решении?" | Выделяют чётные исходы 2, 4, 6, называют всего 6 исходов и предполагают ответ $\frac{3}{6}$; формулируют: "Нужно указать все возможные исходы и благоприятные исходы". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске: "Что известно? Равновозможные исходы. Что требуется? Сравнить число благоприятных исходов с числом всех исходов." Спрашивает: "Какую цель поставим на урок?" | Формулируют цель: "Научиться находить вероятность события через число благоприятных и всех равновозможных исходов". Записывают тему. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили общий план: сначала описать пространство исходов, затем выделить благоприятные и сравнить их количество с общим числом. Проверим, можно ли превратить этот план в универсальное правило."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу вероятности и научиться применять её к опытам с равновозможными элементарными событиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Каждый отдельный возможный результат опыта называется элементарным событием. Например, при броске кубика элементарными событиями являются выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие может объединять несколько элементарных событий: выпадение чётного числа включает 2, 4 и 6. Запишем обозначения: $n$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число благоприятных исходов." | Записывают определения и обозначения. Отвечают, что событие «выпало число больше 4» состоит из исходов 5 и 6, поэтому $n=6$, $m=2$. |
3 мин | Учитель записывает на доске и проговаривает: "Если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов: $P(A)=\frac{m}{n}$. Решим пример: при броске кубика найти вероятность выпадения числа, кратного 3. Сначала перечисляем исходы, затем считаем $n$ и $m$." | Вместе с учителем записывают: все исходы $1,2,3,4,5,6$; благоприятный исход $3$; $n=6$, $m=1$; $P(A)=\frac{1}{6}$. |
3 мин | Учитель предлагает парный опыт с карточками А, Б, В, Г: "Перемешайте четыре одинаковые карточки и выберите одну. Событие A — выбрана буква А или В. Составьте пространство элементарных событий и найдите вероятность события A. Объясните, почему исходы равновозможны." | В парах перечисляют ${А, Б, В, Г}$, находят $n=4$, $m=2$, вычисляют $P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ и объясняют равенство шансов одинаковыми карточками и перемешиванием. |
Запись в тетрадях
Элементарное событие — один возможный исход случайного опыта. Если все исходы равновозможны, то вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, где $n$ — число всех исходов, $m$ — число благоприятных исходов. Алгоритм: перечислить исходы; найти $n$; выделить благоприятные исходы; найти $m$; вычислить и сократить дробь.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели правило для равновозможных исходов и проверили его на кубике и карточках. Теперь применим формулу сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления вероятности через решение задач с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с задачей: "В коробке лежат 10 одинаковых по размеру жетонов: 4 красных, 3 синих и 3 зелёных. Наугад выбирают один жетон. Найдите вероятность события: выбранный жетон красный или зелёный." Учитель просит сначала назвать все исходы в содержательном виде, затем определить $n$ и $m$. | Записывают $n=10$, благоприятные жетоны — 4 красных и 3 зелёных, поэтому $m=7$; вычисляют $P(A)=\frac{7}{10}$; объясняют, почему каждый жетон считается отдельным равновозможным исходом. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте по трём признакам: перечислены ли исходы, правильно ли найдены $n$ и $m$, записана ли формула и ответ. Поставьте знак плюс или сформулируйте один точный совет." | Проверяют решение соседа, отмечают сильную сторону и при необходимости пишут совет: "Укажи число всех жетонов" или "Сократи дробь, если это возможно". |
2 мин | Учитель предлагает устную задачу: "Из чисел 1, 2, 3, 4 случайно выбирают одно. Какова вероятность выбрать число, большее 2?" Просит одного ученика объяснить решение, а класс — проверить. | Называют исходы 1, 2, 3, 4; благоприятные 3 и 4; отвечают: $P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$; подтверждают решение карточками или сигналом согласия. |
Эталон решения
Для задачи с жетонами: 1) всех равновозможных исходов $n=10$; 2) благоприятны 4 красных и 3 зелёных жетона, поэтому $m=4+3=7$; 3) $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$. Ответ: $\frac{7}{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить вероятность, если каждый отдельный жетон имеет одинаковый шанс быть выбранным. Сейчас каждый проверит себя без подсказки, а затем сравнит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и умение применять его в разных ситуациях случайного выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Выполните обязательное задание, а затем выберите базовый или повышенный уровень по своей уверенности. Цель — не угадать, а показать полный ход рассуждения. В каждом решении укажите $n$, $m$, формулу и ответ." | Выбирают карточку, записывают номер варианта и критерии проверки. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Обязательное: "Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа, не меньшего 5". Базовое: "В мешке 5 белых и 3 чёрных одинаковых жетона. Найдите вероятность выбрать белый жетон". Повышенное: "Из цифр 1, 2, 3, 4 случайно выбирают одну, затем возвращают её и снова выбирают одну. Найдите вероятность получить два одинаковых числа, представив исходы в таблице." | Решают индивидуально. Для обязательного задания получают $n=6$, $m=2$ и $P=\frac{1}{3}$. Для базового задания получают $n=8$, $m=5$ и $P=\frac{5}{8}$. Для повышенного составляют 16 пар исходов, выделяют 4 одинаковые пары и получают $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Сверьте не только ответ, но и модель опыта. Если ошиблись, подчеркните место ошибки: неполный список, неверное $m$ или вычисление дроби. Исправление запишите рядом." Учитель проводит краткую адресную консультацию. | Проверяют по эталону, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки: «могу перечислить исходы», «могу найти $m$ и $n$», «могу объяснить равновозможность». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула работает только после правильного описания опыта. Осталось связать новый алгоритм с реальным решением о честном выборе и сформулировать, что именно каждый сегодня освоил."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить изученное к ситуации случайного выбора, оценить достижение цели и сообщить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт практическую ситуацию: "В классе 24 ученика нужно случайно выбрать двух дежурных на неделю. Предложите способ выбора, при котором у каждого ученика одинаковая вероятность быть выбранным. Почему нельзя просто выбрать тех, кто сидит ближе к двери?" | Предлагают пронумеровать учеников и использовать перемешанные карточки или генератор случайных чисел; объясняют: "При выборе по месту расположения некоторые ученики получают преимущество, поэтому исходы неравновозможны". |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная формула»: "Закончите три фразы: элементарное событие — это...; чтобы найти вероятность, нужно...; честный случайный выбор означает..." Затем просит показать сигнал самооценки: зелёный, жёлтый или красный. | Заполняют фразы: "один возможный исход"; "найти отношение благоприятных исходов к числу всех равновозможных"; "у каждого одинаковый шанс". Показывают цвет самооценки и называют затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Те, кто уверен в алгоритме, могут дополнить его повышенным или дополнительным заданием. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: почему вероятность не может быть больше 1?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Число благоприятных исходов не может быть больше числа всех исходов, поэтому $0\leq P(A)\leq1$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились переходить от описания случайного опыта к точному числу — вероятности. Вы увидели, что формула требует внимательного подсчёта всех и благоприятных исходов. На следующем уроке мы будем сравнивать вероятности противоположных событий и решать более сложные задачи на случайный выбор."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательное и выбранное задание, полностью перечислены исходы или обоснована модель, правильно найдены $m$ и $n$, применена формула и сделан точный ответ.
- «4» — решены задания с одной неточностью в оформлении или арифметике, при этом пространство исходов и способ применения формулы выбраны правильно.
- «3» — верно выполнено обязательное задание или две основные части решения, но допущена ошибка в подсчёте благоприятных исходов, сокращении дроби или объяснении равновозможности.
- Ниже «3» — пространство исходов не составлено либо вероятность найдена без связи с числом всех и благоприятных исходов; требуется индивидуальная коррекция алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют элементарным событием? | Проверка понимания базового понятия и различения исхода и события. |
Какие два числа нужно найти перед применением формулы $P(A)=\frac{m}{n}$? | Выявление освоения алгоритма решения. |
Как вы проверяете, что случайный выбор честный? | Проверка понимания равновозможности исходов и связи с реальной ситуацией. |
Какой шаг решения сегодня был для вас самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать случайный опыт через элементарные события и находить вероятность события в равновозможной ситуации. Главное — не начинать с формулы, а сначала перечислить все исходы и выделить благоприятные. Типичная ошибка — считать благоприятные исходы, но забывать общее число исходов или считать неравными шансы неодинаковых объектов. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства вероятности и научимся использовать их для более сложных рассуждений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление вероятности в опытах с монетой, кубиком, жетонами и случайным выбором числа; в каждой задаче записать все исходы, $n$, $m$, формулу и ответ. | Закрепляет алгоритм и проверяет умение различать все и благоприятные исходы. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых исходы удобно представить таблицей или списком: два последовательных выбора с возвращением предмета, выбор буквы из набора и жеребьёвка участников. | Развивает моделирование, полный перебор и применение формулы в составном опыте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о честном случайном выборе, указать пространство элементарных событий, событие и его вероятность, затем решить задачу одноклассника. | Развивает создание математической модели, точность формулировки и аргументацию равновозможности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое элементарное событие? Как найти вероятность события при равновозможных исходах? Почему в формуле знаменатель не может быть меньше числителя? Приведите пример честного случайного выбора из повседневной жизни».Для ответа используйте обозначения $n$, $m$ и формулу $P(A)=\frac{m}{n}$.
