Применение свойств арифметического корня
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять свойства арифметического квадратного корня при упрощении выражений и решении практических задач, выполняя не менее 4 из 5 заданий без существенных ошибок.
- Образовательная задача: обобщить свойства арифметического корня и установить условия их применения.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру выражения, выбирать способ преобразования и проверять допустимость выполненных действий.
- Коммуникативная задача: формировать умение объяснять решение в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументировать выбор свойства.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за результат совместной работы и осознанное отношение к математическим знаниям как инструменту решения практических задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию математических выражений и видят его связь с вычислениями в естественно-научных и технических профессиях.
- Осознают ценность точного и последовательного рассуждения при проверке результата.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и отвечать за принятое решение.
- Формируют уважительное отношение к мнению партнёра при совместном обсуждении решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают необходимую информацию из формулировки задания и используют математическую запись как модель.
- Сравнивают несколько способов преобразования выражения и обосновывают наиболее рациональный.
- Осуществляют взаимопроверку по заданным критериям и корректируют найденные ошибки.
- Используют математическую речь для объяснения способа решения в паре и перед классом.
Предметные
- Знать свойства арифметического квадратного корня: $sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}$ при $a\geq0$, $b\geq0$; $sqrt{a^2}=|a|$; $sqrt{a/b}=\u0000sqrt{a}/\u0000sqrt{b}$ при $a\geq0$, $b>0$.
- Уметь выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня.
- Уметь упрощать произведения, частные и выражения с квадратами под знаком корня.
- Уметь находить и объяснять ошибки при некорректном применении свойств корня.
- Уметь применять преобразования корней при решении задач с реальным числовым контекстом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемых преобразований и связывают их с необходимостью рационального вычисления.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают правила математической дискуссии.
- Формируют уверенность в возможности исправить ошибку через анализ её причины.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют преобразование выражения по алгоритму: определить структуру, выбрать свойство, выполнить преобразование, проверить результат.
- Контролируют знаки, область допустимых значений и корректность записи.
- Сопоставляют решение с эталоном, выявляют расхождения и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Выделяют в выражении множители, квадраты и дроби, имеющие отношение к свойствам корня.
- Классифицируют выражения по способу преобразования.
- Строят математическую модель практической ситуации и выполняют вычисления.
- Анализируют ошибочные равенства и объясняют, какое условие свойства нарушено.
- Преобразуют информацию из словесной формы в формульную и обратно.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют уточняющие вопросы: «Почему здесь нужен модуль?» и «Какое условие свойства выполняется?»
- Аргументируют выбранный способ преобразования математическими утверждениями.
- Слушают решение партнёра и корректно предлагают исправление.
- Представляют общий результат пары в краткой устной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с темой урока, проблемным выражением и памяткой свойств арифметического корня.
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с базовым и повышенным вариантами.
- Подготовить лист эталона для взаимопроверки: правильный ответ, применённое свойство, обязательное условие.
- Раздать каждому ученику стикер для рефлексии и небольшую карточку «Билет на выход».
- Подготовить учебник: заранее определить фрагмент с правилами и заданиями по теме без указания номеров и страниц в плане.
- Вывесить на доске алгоритм: «Узнай структуру выражения — выбери свойство — преобразуй — проверь».
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа выражений и фиксации ответов пар.
- Подготовить калькулятор только для демонстрации проверки отдельных числовых результатов, но не для выполнения основной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность рационального преобразования корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а искать наиболее короткий и надёжный способ преобразовать выражение с корнем." | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют место для темы урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $sqrt{72}$ и $6sqrt{2}$ и спрашивает: "Какое выражение удобнее использовать в дальнейших вычислениях? Можно ли доказать, что эти записи равны? Сформулируйте предположение и не бойтесь предложить несколько вариантов." | Рассматривают выражения, обсуждают их в парах 30 секунд и формулируют предположение: "$\u0000sqrt{72}=6\u0000sqrt{2}$, потому что $72=36\cdot2$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же корень можно записать по-разному. Теперь выясним, какие свойства позволяют делать такие преобразования законно и как не допускать типичных ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и свойства, необходимые для открытия способа преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним, что называют арифметическим квадратным корнем. Какие значения может принимать подкоренное выражение? Что означает запись $sqrt{a}$?" Учитель фиксирует на доске ключевые слова и уточняет ответы. | Отвечают: «Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному». Называют условие $a\geq0$. |
2 мин | Учитель предлагает устно установить соответствие между свойством и примером: $sqrt{9\cdot4}$, $sqrt{49}$, $sqrt{25/4}$. Реплика: "Назовите не только результат, но и свойство, которым воспользовались." | Выполняют вычисления и проговаривают: «Корень из произведения», «корень из квадрата», «корень из частного». |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись $sqrt{a+b}=sqrt a+sqrt b$ и спрашивает: "Верно ли это равенство всегда? Проверьте на конкретном примере и объясните вывод." | Проверяют, например, $sqrt{9+16}=5$, а $sqrt9+sqrt{16}=7$, делают вывод: «Свойство суммы не существует». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили область допустимых значений и основные свойства корня, а также обнаружили опасную ошибку. Теперь сформулируем задачу урока и построим алгоритм безопасного преобразования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение $\u0000sqrt{18}+\u0000sqrt{8}$ и говорит: "Попробуйте упростить выражение так, чтобы результат содержал как можно меньше различных корней. Работайте сначала самостоятельно, затем сравните запись с соседом." | Пытаются преобразовать выражение, получают $3\u0000sqrt2+2\u0000sqrt2$ и замечают необходимость дальнейшего приведения подобных слагаемых. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "На каком шаге возникло затруднение? Какие знания нужно применить? Сформулируйте цель урока одним предложением и назовите последовательность действий." | Формулируют: «Нужно научиться применять свойства корня для упрощения выражений». Предлагают алгоритм: выделить квадратный множитель, применить свойство, привести подобные слагаемые, проверить результат. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: научиться применять свойства арифметического корня в разных выражениях. Переходим к открытию общего способа и проверим его на примерах из учебника."
Этап 4. Открытие нового знания по материалу учебника (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно применить алгоритм преобразования выражений с арифметическим корнем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает открыть учебник на теме урока и найти формулировки свойств. На доске записывает: $sqrt{ab}=sqrt a\cdotsqrt b$; $sqrt{a^2}=|a|$; $sqrt{a/b}=\u0000sqrt a/\u0000sqrt b$. Учитель подчёркивает: "Каждое свойство имеет условия. Нельзя отделять формулу от условий её применения." | Находят в учебнике соответствующий теоретический материал, выделяют условия применения, записывают свойства и приводят по одному числовому примеру. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Упростим $sqrt{200}$. Представим $200$ как $100\cdot2$, применим свойство произведения и получим $10\u0000sqrt2$. Почему нельзя написать $20\u0000sqrt{10}$ как результат выноса квадратного множителя?" | Записывают решение, отвечают: «Потому что $200=100\cdot2$, а $20\u0000sqrt{10}$ не равно исходному выражению». |
3 мин | Учитель разбирает выражение $\u0000sqrt{(x-3)^2}$: "Здесь нельзя автоматически убрать корень и написать $x-3$. Арифметический корень неотрицателен. Поэтому результатом будет $|x-3|$. Обсудите в паре, почему модуль необходим." | В парах объясняют необходимость модуля и формулируют вывод: «Квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают свойства корня и алгоритм: 1) определить структуру выражения; 2) представить число или выражение как произведение с квадратным множителем; 3) применить свойство; 4) привести подобные слагаемые; 5) проверить область допустимых значений и знак результата.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели не набор механических действий, а алгоритм с проверкой условий. Теперь применим его сначала вместе, а затем в парной работе, где каждый сможет объяснить шаг решения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор свойства и проговаривание каждого шага преобразования в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "В каждой паре один ученик сначала решает, второй проверяет условия свойства. Затем поменяйтесь ролями. Не ограничивайтесь ответом — объясняйте каждый переход." | Распределяют роли и получают карточки с выражениями: $sqrt{48}$, $\u0000sqrt{75}-\u0000sqrt{12}$, $\u0000sqrt{18}\cdot\u0000sqrt{2}$. |
4 мин | Учитель наблюдает за парами и задаёт вопросы: "Какой квадратный множитель вы выделили? Почему можно применить это свойство? Как проверить ответ обратным преобразованием?" При необходимости показывает на доске шаблон записи. | Решают выражения и проговаривают: $sqrt{48}=4\u0000sqrt3$; $sqrt{75}-\u0000sqrt{12}=5\u0000sqrt3-2\u0000sqrt3=3\u0000sqrt3$; $sqrt{18}\cdot\u0000sqrt2=\u0000sqrt{36}=6$. |
2 мин | Учитель приглашает одну пару представить решение, а классу предлагает оценить его по трём критериям: выбранное свойство, корректность вычислений, наличие условий. | Одна пара объясняет решение у доски, остальные отмечают в карточке сильную сторону и задают один уточняющий вопрос. |
Эталон решения
$sqrt{48}=sqrt{16\cdot3}=sqrt{16}\cdotsqrt3=4sqrt3$. Далее: $sqrt{75}-sqrt{12}=sqrt{25\cdot3}-sqrt{4\cdot3}=5sqrt3-2sqrt3=3sqrt3$. Наконец, $sqrt{18}\cdotsqrt2=sqrt{36}=6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы убедились, что результат зависит не от угадывания, а от правильного выделения квадратного множителя. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы двух уровней: "Выполните обязательные задания. Если справились раньше, выберите повышенное задание. Записывайте преобразования полностью, а не только ответы." | Выбирают уровень, читают критерии и приступают к работе. |
5 мин | Учитель предлагает базовые задания: 1) упростить $sqrt{108}$; 2) вычислить $sqrt{12}+\u0000sqrt{27}$; 3) преобразовать $sqrt{(2x-1)^2}$. Повышенное задание: упростить $\u0000sqrt{50}+\u0000sqrt8-\u0000sqrt{18}$. | Индивидуально выполняют задания, записывают свойства и промежуточные шаги. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране: $\u0000sqrt{108}=6\u0000sqrt3$; $sqrt{12}+\u0000sqrt{27}=2\u0000sqrt3+3\u0000sqrt3=5\u0000sqrt3$; $sqrt{(2x-1)^2}=|2x-1|$; повышенное выражение равно $4\u0000sqrt2$. "Проверьте не только ответ, но и каждую строку решения." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют запись и отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
$sqrt{108}=sqrt{36\cdot3}=6sqrt3$. $sqrt{12}+sqrt{27}=2sqrt3+3sqrt3=5sqrt3$. $sqrt{(2x-1)^2}=|2x-1|$. Для повышенного задания: $sqrt{50}+\u0000sqrt8-\u0000sqrt{18}=5sqrt2+2sqrt2-3sqrt2=4sqrt2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность возникает либо при выделении квадрата, либо при приведении подобных корней. На следующем шаге применим знания к небольшой практической ситуации и проверим, зачем нужна рациональная форма записи."
Этап 7. Включение знаний в систему и практическое применение (4 мин)
Цель этапа: применить свойства корня в задаче с реальным контекстом и объяснить выбор способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Длина диагонали квадратной панели со стороной $6$ дм вычисляется по формуле $d=a\u0000sqrt2$. Запишите длину диагонали и объясните, почему выражение $6\u0000sqrt2$ удобнее для дальнейших расчётов, чем $sqrt{72}$." | Записывают $d=6\u0000sqrt2$ дм, объясняют: «Квадратный множитель вынесен, поэтому выражение имеет стандартный и удобный для сравнения вид». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для анализа: "Если сторона панели увеличится вдвое, как изменится диагональ? Ответьте без полного пересчёта и обоснуйте." | Формулируют: «Диагональ также увеличится вдвое, потому что $d=6\u0000sqrt2$, а коэффициент пропорционален стороне». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили свойство корня не ради формального преобразования, а для удобного описания величины и сравнения результатов. Осталось зафиксировать, чему каждый научился и что требует дополнительной тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать свойство; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если пока трудно объяснить преобразование. На стикере допишите один вопрос, который остался." | Показывают карточку, записывают вопрос или формулировку: «Мне нужно повторить модуль» либо «Хочу потренироваться выносить множитель». |
1 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите одно равенство, показывающее применение свойства произведения, и назовите условие, при котором оно верно." | Записывают, например, $sqrt{12}=2sqrt3$ и условие неотрицательности подкоренных выражений. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите уровень, ориентируясь на результат самостоятельной работы. Важно выполнить преобразования полностью и отметить место, где вы проверяли условие свойства." | Фиксируют выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились раскрывать структуру выражения, выбирать свойство арифметического корня и проверять корректность преобразования. Спасибо за внимательную работу в парах и самостоятельность. На следующем уроке продолжим применять преобразования корней в более сложных выражениях."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все три обязательных задания и повышенное задание либо четыре задания базового и повышенного уровня, свойства названы, преобразования записаны последовательно, ошибок в модуле и условиях нет.
- «4» — правильно выполнены не менее трёх заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимание алгоритма.
- «3» — правильно выполнены два обязательных задания, но есть затруднения при выделении квадратного множителя, приведении подобных корней или применении модуля.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем разбирает одну ошибку и получает дополнительное тренировочное задание на выбор свойства.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство корня вы сегодня применяли чаще всего и почему? | Выявление осознанности выбора свойства, а не механического воспроизведения формулы. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение: выделение квадрата, преобразование или проверка? | Диагностика конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему $sqrt{(2x-1)^2}=|2x-1|$, а не просто $2x-1$? | Проверка понимания неотрицательности арифметического корня и необходимости модуля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и что поможет его выполнить? | Формирование самооценки, ответственности и навыка планирования самостоятельной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились применять свойства арифметического корня при упрощении выражений и увидели, что правильная запись начинается с анализа структуры выражения. Особенно внимательно следите за двумя моментами: нельзя раскладывать корень из суммы и нельзя забывать модуль при извлечении корня из квадрата. Если решение пока требует подсказки, это нормальная точка для тренировки — важно уметь найти причину ошибки. На следующем уроке мы продолжим преобразования и усложним выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на вынесение множителя из-под знака корня, приведение подобных слагаемых и применение формулы $sqrt{a^2}=|a|$; в каждом решении указать использованное свойство. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выделение квадратного множителя, знак и наличие модуля. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения смешанного типа: произведение, частное, сумма и разность корней; одно выражение составить самостоятельно и обменяться им с одноклассником для проверки. | Развивает выбор способа преобразования и умение объяснять решение; проверить полноту промежуточных записей. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2–3 практические задачи, где длина, площадь или диагональ выражены через квадратный корень, и кратко объяснить, почему вынесенная форма удобнее исходной. | Формирует применение свойств в реальном контексте и математическую аргументацию; проверить соответствие единиц измерения и обоснование результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается свойство корня из произведения? В каком случае $sqrt{a^2}=|a|$? Можно ли разложить корень из суммы на сумму корней? Как проверить, что преобразование выполнено верно?»
