Множество и подмножество
Тип урока: открытие нового знания
Учитель: Хажи-Алиева Марха
Класс: 8 «Г»
Дата: 03.11.2026
Учитель: Хажи-Алиева Марха
Класс: 8 «Г»
Дата: 03.11.2026
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать множества и подмножества, записывать принадлежность элемента множеству с помощью знаков ∈ и ∉, определять включение одного множества в другое с помощью знака ⊂ и обосновывать ответы не менее чем в 4 из 5 заданий.
- Сформировать представление о множестве, элементе множества и способах задания множества.
- Научиться различать принадлежность элемента множеству и включение одного множества в другое.
- Развивать умение классифицировать объекты, находить закономерности, формулировать и проверять утверждения.
- Воспитывать аккуратность математической записи, готовность аргументировать своё мнение и сотрудничать при решении задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной классификации объектов в математике, информатике, статистике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательный интерес к работе с абстрактными математическими объектами.
- Оценивают собственный прогресс и спокойно относятся к исправлению ошибок.
- Формируют ответственное отношение к математической записи и обоснованию ответа.
Метапредметные
- Сравнивают объекты по заданному признаку и распределяют их по группам.
- Извлекают информацию из записи множества, таблицы и диаграммы Эйлера — Венна.
- Формулируют гипотезу, проверяют её на конкретных примерах и делают вывод.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный ответ.
Предметные
- Знают понятия «множество», «элемент множества», «подмножество».
- Умеют записывать множества перечислением элементов и описанием общего свойства.
- Умеют использовать знаки ∈, ∉ и ⊂ в простых математических утверждениях.
- Умеют определять, является ли одно множество подмножеством другого, и объяснять ответ.
- Понимают различие между записью элемента и записью подмножества.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания понятий «множество» и «подмножество».
- Осознают связь математической классификации с обработкой данных и программированием.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня домашнего задания.
- Формируют смысл учебной деятельности через решение практических задач классификации.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и план её достижения.
- Планируют последовательность действий при проверке утверждения о подмножестве.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по критериям и намечают способ коррекции.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак множества.
- Сравнивают множество и подмножество, устанавливают отношения между ними.
- Моделируют отношения между множествами с помощью кругов Эйлера — Венна.
- Преобразуют словесное описание в математическую запись и обратно.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и распределяют роли: объясняющий и проверяющий.
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают вопросы к непонятному рассуждению и корректно возражают.
- Представляют результат работы группы и отвечают на уточняющие вопросы класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами множеств: множество гласных букв, множество натуральных чисел, множество видов транспорта.
- Распечатать карточки с объектами для классификации: геометрические фигуры, числа, школьные принадлежности — по одной карточке на пару.
- Распечатать карточки трёх уровней самостоятельной работы — по одной на каждого ученика и 3 запасных экземпляра.
- Подготовить отдельный лист «Задания, решения и ответы» для выдачи после выполнения самостоятельной работы — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску шпаргалку: $a\in A$ — элемент принадлежит множеству; $a\notin A$ — элемент не принадлежит множеству; $B\subset A$ — множество $B$ является подмножеством множества $A$.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры двух цветов и листы формата А4 для схем Эйлера — Венна — по одному листу на группу.
- Организовать на доске таблицу для рефлексии: «Знаю», «Нужно потренироваться», «Остался вопрос».
- Подготовить таймер на 2, 3 и 5 минут; обеспечить каждому ученику тетрадь и ручку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую необходимость классификации объектов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня мы будем не просто слушать определения, а сами откроем способ описания групп объектов, который используется в статистике, информатике и программировании." | Готовят тетради, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске список: автобус, велосипед, поезд, яблоко, треугольник, компьютер. "Представьте, что вы создаёте приложение, которое должно быстро находить виды транспорта. Как выделить нужные объекты из общего списка? Какие группы можно составить?" Учитель фиксирует варианты и вводит проблемный вопрос: "Как математически описать такую группу?" | Индивидуально называют возможные группы, затем обсуждают с соседом 30 секунд; предлагают: "транспорт", "фрукты", "геометрические фигуры". Формулируют проблему: "Нужно задать общий признак группы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем объединять объекты по общему признаку. Теперь узнаем, как такие группы называются в математике и как записывать отношения между ними."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умения классифицировать объекты и описывать общий признак группы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с числами $-2, 0, 1, 3, 6, 9$ и спрашивает: "Разложите числа на группы по признаку, который вы выберете сами. Запишите название признака." | В парах группируют числа, например: чётные и нечётные; отрицательные, ноль и положительные; кратные 3 и некратные 3. Записывают выбранный признак. |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Какая группа получится, если выбрать числа, кратные 3? Входит ли число 6 в эту группу? А число 4? Объясните не только ответ, но и причину." | Сначала отвечают индивидуально, затем сверяют рассуждение в паре и сообщают: "6 входит, потому что делится на 3 без остатка; 4 не входит, потому что не делится на 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выделять группу по признаку и проверять, относится ли объект к этой группе. Запишем математические названия этих действий и выясним, как связаны разные группы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при различении элемента и группы элементов и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $A=\{1,2,3,4,5\}$ и задаёт вопросы: "Как коротко записать, что число 3 входит в множество $A$? А что число 8 не входит? Какие знаки могли бы обозначать эти отношения?" | Предлагают записи, могут ошибочно написать $3\subset A$. Обсуждают, почему запись должна отличаться для отдельного числа и группы чисел. |
2 мин | Учитель показывает две записи: $B=\{1,3\}$ и $A=\{1,2,3,4,5\}$. "Можно ли сказать, что $B$ входит в $A$? Что именно должно быть верно для каждого элемента $B$? Сформулируйте цель урока." | Формулируют: "Каждый элемент B должен быть элементом A"; записывают цель: научиться различать принадлежность элемента и включение множества в другое множество. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что отдельный объект и группа объектов обозначаются по-разному. Сейчас мы сами выведем два правила записи и проверим их на примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия множества, элемента, подмножества и освоить знаки математической записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $A=\{2,4,6,8\}$. "Такую совокупность объектов называют множеством. Каждый объект внутри множества называется его элементом. Запись $4\in A$ читается: число 4 принадлежит множеству A. Запись $5\notin A$ читается: число 5 не принадлежит множеству A. Обратите внимание: знак принадлежности связывает один элемент и множество." | Записывают определения и примеры в тетрадь, проговаривают: "$4\in A$, потому что 4 записано в множестве; $5\notin A$, потому что 5 не записано". |
3 мин | Учитель показывает множество $B=\{2,6\}$ внутри $A=\{2,4,6,8\}$ и рисует круги Эйлера — Венна. "Все элементы B находятся в A. Поэтому B называют подмножеством A и записывают $B\subset A$. Как проверить такое утверждение? Нужно проверить каждый элемент меньшего множества." | Перерисовывают схему: круг B расположен внутри круга A. Формулируют правило: "Чтобы доказать $B\subset A$, нужно установить, что каждый элемент B принадлежит A". |
2 мин | Учитель предлагает сравнить записи: $2\in A$ и $B\subset A$. "В первом случае речь идёт об одном числе. Во втором — о множестве B. Не смешивайте эти знаки. Приведите по одному собственному примеру." | Составляют примеры: $6\in A$, $\{2,8\}\subset A$; объясняют различие между элементом и подмножеством. |
2 мин | Учитель обращается к способам задания: "Множество можно задать перечислением элементов, например $C=\{1,3,5,7\}$, или описанием общего свойства: $C$ — множество нечётных чисел от 1 до 7. Один и тот же объект можно описать двумя способами." | Записывают два способа задания множества и преобразуют описание «множество гласных букв русского алфавита» в запись: $Г=\{а,е,ё,и,о,у,ы,э,ю,я\}$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Множество — совокупность объектов, объединённых общим признаком. Объекты множества называются элементами. $a\in A$ означает «элемент $a$ принадлежит множеству $A$», а $a\notin A$ — «элемент $a$ не принадлежит множеству $A$». Если каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$, то $B$ — подмножество $A$: $B\subset A$. Чтобы доказать $B\subset A$, нужно проверить все элементы множества $B$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два разных отношения: элемент принадлежит множеству, а множество может быть подмножеством другого множества. Теперь применим правила сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать чтение и запись отношений принадлежности и включения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: $A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{2,4\}$. "Работаем в парах. Вставьте подходящий знак: $3\ ...\ A$, $7\ ...\ A$, $B\ ...\ A$. После каждой записи назовите причину." | Записывают $3\in A$, $7\notin A$, $B\subset A$; объясняют каждую запись полным предложением. |
2 мин | Учитель предлагает утверждения: «$\{1,2\}\in A$» и «$\{1,2\}\subset A$». "Какое утверждение верно? Не угадывайте по внешнему виду: определите, является ли объект слева числом или множеством." | Отмечают второе утверждение как верное и объясняют: "$\{1,2\}$ — множество, его элементы 1 и 2 входят в A, поэтому оно является подмножеством A". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Поставьте рядом с правильным ответом знак плюс, а рядом с ошибкой — вопросительный знак. Исправление обязательно объясните соседу." | Проверяют записи, находят ошибки в знаках, устно объясняют исправления и формулируют правило. |
Эталон решения
Дано: $A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{2,4\}$. 1) Число 3 записано среди элементов A, поэтому $3\in A$. 2) Число 7 не записано в A, поэтому $7\notin A$. 3) Элементы B — числа 2 и 4; оба принадлежат A, значит, $B\subset A$. Запись $\{1,2\}\in A$ неверна, потому что слева стоит множество, а не отдельный элемент.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверяли знак не по памяти, а по смыслу записи. Перед самостоятельной работой каждый должен задать себе вопрос: слева стоит отдельный элемент или множество?"
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый обязателен для всех, повышающий можно выполнить при уверенной работе, дополнительный — для тех, кто хочет проверить себя на более сложном примере. Записывайте не только знак, но и краткое объяснение." | Выбирают уровень, подписывают лист, читают задания и критерии. |
5 мин | Учитель напоминает алгоритм: "Сначала выпишите элементы множеств. Затем определите, что находится слева от пропуска: число или множество. Для подмножества проверьте каждый элемент меньшего множества. Не торопитесь: важнее обоснованный ответ." | Индивидуально решают задания, используют алгоритм, отмечают затруднение знаком вопроса. |
2 мин | Учитель выдаёт отдельный лист с решениями и ответами: "Сверьте каждую строку. Если ошибка есть, зачеркните неверный знак одной чертой, рядом запишите правильный и объясните причину." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных ответов. |
2 мин | Учитель просит поднять карточку: зелёная — всё понятно, жёлтая — нужна тренировка, красная — требуется объяснение. Для красных и жёлтых карточек кратко разбирает типичные ошибки у доски. | Показывают карточку, задают вопросы, записывают исправленный способ рассуждения. |
Эталон решения
Для задания $A=\{0,2,4,6\}$ и $B=\{2,6\}$: $2\in A$, так как 2 является элементом A; $5\notin A$, так как 5 отсутствует в A; $B\subset A$, так как оба элемента B — 2 и 6 — входят в A. Для задания $C=\{1,3\}$ и $D=\{1,2,3,4\}$ проверяем элементы C: $1\in D$ и $3\in D$, поэтому $C\subset D$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный навык — различать элемент и множество. Ошибка в одном знаке меняет смысл всей записи, поэтому математическую запись всегда нужно читать словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, зафиксировать затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как математически описать группу объектов? Какие два знака сегодня стали для нас ключевыми? Объясните разницу между $a\in A$ и $B\subset A$." | Отвечают: "Множество задаётся элементами или общим признаком; $\in$ обозначает принадлежность элемента, а $\subset$ — включение множества в множество". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Запишите одно утверждение, которое теперь можете объяснить, и один вопрос, который ещё требует тренировки. Оцените себя: зелёный, жёлтый или красный." | Заполняют стикер: «Я умею...», «Мне нужно потренироваться...», прикрепляют его к соответствующей части доски. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Если базовый выполнен без ошибок, можно добавить повышающий или дополнительный. В каждом ответе обязательно указывайте причину выбора знака." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, формулируют контрольный ответ на выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли язык множеств: научились называть элементы, проверять принадлежность и доказывать включение. Сохраните запись в тетради как алгоритм. На следующем уроке мы будем рассматривать операции над множествами и применять их к статистическим данным."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного обязательного и повышающего уровня, правильно использованы знаки ∈, ∉ и ⊂, каждое утверждение обосновано.
- «4» — допущена одна содержательная ошибка или две неточности в записи, но различие между элементом и подмножеством в целом понято.
- «3» — верно выполнена основная часть базовых заданий, но допущены ошибки при проверке всех элементов подмножества или при выборе знака.
- Ниже «3» — алгоритм требует повторной отработки: ученик вместе с учителем разбирает один пример на принадлежность и один пример на подмножество.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $a\in A$? | Проверка понимания отношения принадлежности элемента множеству. |
Как доказать, что $B\subset A$? | Выявление освоения алгоритма проверки подмножества. |
Какую ошибку легче всего допустить при выборе знака ∈ или ⊂? | Осознание типичных затруднений и различия между элементом и множеством. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно, а где нужна тренировка? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать группы объектов с помощью понятия множества. Вы увидели, что запись $a\in A$ относится к отдельному элементу, а запись $B\subset A$ — к множеству, все элементы которого входят в другое множество. Самая частая ошибка — поставить знак принадлежности перед множеством, поэтому всегда сначала определяйте, что находится слева от знака. На следующем уроке мы продолжим работу с множествами и узнаем, как объединять и пересекать их."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий на запись знаков ∈, ∉ и ⊂ для заданных множеств; составить 2 собственных примера множества с элементами и указать два верных утверждения о принадлежности. | Закрепляет чтение математической записи; при проверке обратить внимание на правильный выбор знака и наличие объяснения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания, в которых множество задано описанием: записать его перечислением элементов и определить, является ли второе множество его подмножеством. | Развивает преобразование словесного условия в математическую модель; проверять нужно каждый элемент меньшего множества. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из реального контекста: например, классификация видов транспорта, чисел или результатов опроса; задать два множества, записать не менее 6 утверждений с ∈, ∉ и ⊂ и привести подробные решения. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать выводы; проверять точность условий и непротиворечивость всех утверждений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют элементом множества? Как читается запись $a\notin A$? Как проверить, что $B\subset A$? Почему запись $\{a,b\}\in A$ не равнозначна записи $a\in A$?»
Отдельный лист для ученика: задания, решения и ответы
Задания
- Пусть $A=\{1,2,3,4,5\}$. Вставьте знаки: $3\ ...\ A$, $8\ ...\ A$, $\{1,2\}\ ...\ A$. Объясните каждый ответ.
- Пусть $B=\{0,2,4,6\}$ и $C=\{2,6\}$. Определите, верно ли $C\subset B$. Запишите обоснование.
- Пусть $D=\{а,о,у,э,ы\}$. Запишите два верных утверждения о принадлежности и одно неверное утверждение, исправив его.
- Из множества $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ выделите подмножество нечётных чисел и запишите его.
- Сравните утверждения $2\in A$ и $\{2\}\subset A$, если $A=\{1,2,3\}$. Объясните, почему оба утверждения верны, но имеют разный смысл.
Подробные решения
- Число 3 есть в A, поэтому $3\in A$. Числа 8 в A нет, поэтому $8\notin A$. Слева в записи $\{1,2\}$ стоит множество; его элементы 1 и 2 входят в A, поэтому $\{1,2\}\subset A$.
- Проверяем элементы C по очереди: 2 принадлежит B и 6 принадлежит B. Все элементы C входят в B, следовательно, $C\subset B$.
- Например, $а\in D$ и $у\in D$ — верные утверждения. Утверждение $и\in D$ неверно, потому что буква «и» отсутствует в D; правильная запись: $и\notin D$.
- Нечётные элементы E — это 1, 3, 5 и 7. Подмножество имеет вид $\{1,3,5,7\}\subset E$.
- Запись $2\in A$ верна, потому что 2 — отдельный элемент множества A. Запись $\{2\}\subset A$ также верна, потому что множество $\{2\}$ содержит единственный элемент 2, а он входит в A. Смысл записей различен: первая сообщает о числе, вторая — о множестве.
Ответы
- 1. $3\in A$, $8\notin A$, $\{1,2\}\subset A$.
- 2. $C\subset B$.
- 3. Например: $а\in D$, $у\in D$, $и\notin D$.
- 4. $\{1,3,5,7\}\subset E$.
- 5. Оба утверждения верны, но первое относится к элементу, второе — к подмножеству.
