Логические операции «и», «или», «не». Решение задач с помощью кругов Эйлера
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут закрепить умение распознавать операции «и», «или», «не», переводить высказывания в логические выражения и решать не менее 4 из 5 практических задач с помощью кругов Эйлера.
- Закрепить смысл логических операций «и», «или», «не» и правила определения истинности составных высказываний.
- Отработать построение кругов Эйлера для объединения, пересечения и дополнения множеств.
- Развивать умение исследовать условие, выдвигать гипотезу, проверять её по схеме и аргументировать ответ.
- Формировать ответственное отношение к точности условий, сотрудничеству и применению логики в информатике и математике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение логического мышления для программирования, анализа данных и повседневного принятия решений.
- Проявляют готовность проверять предположения и признавать ошибку в рассуждении.
- Выбирают уровень практического задания с учётом собственных возможностей.
- Соблюдают правила сотрудничества и уважительно относятся к различным способам решения.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют условия задачи, моделируют отношения множеств кругами Эйлера и сопоставляют модель с логическим выражением.
- Коммуникативные: распределяют роли в группе, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранную область схемы.
- Регулятивные: планируют последовательность решения, сверяют результат с условием и корректируют ошибочную схему.
- Работают с ЭОР: вводят логические выражения в интерактивный тренажёр и анализируют полученный результат.
Предметные
- Знать смысл операций «и», «или», «не» и соответствующие им отношения пересечения, объединения и дополнения множеств.
- Уметь определять истинность простых и составных высказываний по условию.
- Уметь строить круги Эйлера для двух и трёх множеств.
- Уметь решать практические задачи, выбирая область схемы, соответствующую логическому условию.
- Владеть приёмом проверки ответа по исходному тексту задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению логических задач.
- Понимают связь точного логического рассуждения с будущей учебной и профессиональной деятельностью.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию способов представления информации.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и выбирают подходящий уровень сложности.
- Планируют алгоритм: выделить множества, определить операцию, построить схему, проверить ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям точности, полноты и аргументированности.
Познавательные УУД
- Сравнивают естественно-языковые формулировки «и» и «или» с логическими операциями.
- Классифицируют элементы по принадлежности множествам.
- Преобразуют словесное условие в логическую модель и обратно.
- Используют таблицу истинности и круги Эйлера для проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли: аналитик условия, чертёжник, проверяющий и докладчик.
- Формулируют вопросы к условию и объясняют партнёру выбранную область схемы.
- Согласуют общий ответ и приводят доказательство на языке логики.
- Конструктивно обсуждают расхождения в решениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивную презентацию с определениями операций «и», «или», «не», схемами пересечения, объединения и дополнения множеств.
- Создать или открыть ЭОР-тренажёр, позволяющий вводить логические выражения и проверять их истинность; проверить доступ к нему заранее.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить набор карточек с обозначениями множеств и логических операций — по одному комплекту на группу из 4 человек.
- Вывести на доску памятку: «и» — пересечение, «или» — объединение, «не» — дополнение.
- Подготовить лист самооценки и билет на выход для каждого ученика.
- Организовать 6 рабочих мест группами; назначить компьютеры или планшеты для парной работы.
- Подготовить таймер, маркеры, магниты и чистые листы формата А4 для построения кругов Эйлера.
- Проверить проектор, интерактивную доску, интернет-соединение и резервный вариант ЭОР в виде скриншотов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать жизненную значимость логических операций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто вспоминать определения, а расследовать логические условия. Проверьте, что у вас есть тетрадь, ручка и доступ к компьютеру или планшету. Работать можно индивидуально, в паре и в группе, но каждый должен уметь объяснить свой ответ." | Проверяют готовность, садятся по группам, открывают тетради и ЭОР по инструкции. |
2 мин | Учитель показывает на экране запрос для отбора кандидатов: «Знает Python и умеет работать с данными или имеет опыт создания сайтов, но не является новичком». Учитель спрашивает: "Какие слова здесь задают условия? Как понять, кто подходит?" | Выделяют слова «и», «или», «но не», предполагают: «Нужно пересечь одни множества, объединить другие и исключить часть элементов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что логические операции встречаются в поиске информации и отборе кандидатов. Сейчас проверим, насколько уверенно мы владеем каждой операцией."
Этап 2. Актуализация знаний через ЭОР (6 мин)
Цель этапа: восстановить правила операций и выявить индивидуальные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель запускает приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить операцию «и», жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока трудно. Это не оценка, а способ выбрать помощь." На экране размещает три пары: «и — пересечение», «или — объединение», «не — дополнение». | Показывают карточку, соотносят операции с моделями, фиксируют личное затруднение. |
4 мин | Учитель предлагает в ЭОР четыре коротких задания: определить значение выражения, выбрать область диаграммы, отметить неверное утверждение, составить выражение по схеме. Комментирует: "Сначала решите самостоятельно, затем сравните результат с автоматической проверкой. Если ответ неверен, не стирайте его: запишите, на каком шаге возникла ошибка." | Решают 4 задания в тренажёре, записывают один ошибочный шаг или вопрос, обсуждают его с соседом 1 минуту. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили базовые соответствия и увидели разные типы ошибок. Теперь сформулируем проблему, которую будем решать схемой, а не догадкой."
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения задачи с помощью кругов Эйлера через исследовательский вопрос.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует два круга: «ученики, изучающие Python» и «ученики, изучающие робототехнику». Спрашивает: "Как на схеме выделить ребят, которые изучают Python и робототехнику? А если нужно найти тех, кто изучает хотя бы одно направление? Что изменится при добавлении слова «не»?" | Предлагают: «Общее пересечение кругов», «вся площадь обоих кругов», «нужно убрать область, относящуюся к указанному множеству». |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Составьте алгоритм из четырёх шагов. Подумайте сначала самостоятельно, затем согласуйте формулировку в паре." После обсуждения фиксирует на доске общий алгоритм. | Формулируют алгоритм: выделить множества; найти операцию; отметить нужную область; проверить каждый элемент по условию. Записывают цель: «решать задачи с помощью кругов Эйлера». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили не только что искать, но и как проверять себя. Перейдём к совместному исследованию примера."
Этап 4. Исследовательская работа в группах (10 мин)
Цель этапа: закрепить перевод словесных условий в схемы и логические выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки: "В каждой группе распределите роли. Исследуйте условие: «В классе 24 ученика. 14 занимаются спортом, 11 посещают кружок робототехники, 6 делают и то и другое. Сколько учеников занимаются хотя бы одним из двух видов деятельности?». Не начинайте с вычисления — сначала постройте круги." | Распределяют роли, выделяют два множества, рисуют пересечение и подписывают известные числа. |
4 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему число 6 помещаем в пересечение? Как найти только спорт? Как найти только робототехнику? Как получить объединение?" Направляет группы, но не сообщает формулу. | Обсуждают: «6 — общая часть; 14 − 6 = 8; 11 − 6 = 5; объединение 8 + 6 + 5 = 19». Записывают выражение $14+11-6=19$. |
4 мин | Учитель просит одну группу представить решение и показывает на экране схему. Затем предлагает проверить его вторым способом: сложить непересекающиеся области. "Какая проверка надёжнее и почему?" | Докладчик объясняет схему, остальные сравнивают решения, задают вопросы, формулируют вывод: «пересечение при сложении множеств учитывается дважды, поэтому его нужно вычесть». |
Запись в тетрадях
- «и» — пересечение множеств: общая часть кругов.
- «или» — объединение множеств: всё, что принадлежит хотя бы одному кругу.
- «не A» — дополнение множества A: область вне круга A.
- Алгоритм: выделить множества → определить операцию → построить схему → вычислить или перечислить элементы → проверить условие.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группа показала, что схема помогает увидеть двойной счёт и не потерять элементы. Теперь каждый проверит алгоритм на задаче выбранного уровня."
Этап 5. Дифференцированное первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать операции на заданиях разной сложности с немедленной взаимопроверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку A, B или C. A — базовый уровень с готовыми множествами, B — самостоятельное построение схемы, C — исследовательская задача с тремя множествами. Можно начать с A и перейти выше. Важна не скорость, а объяснение." | Выбирают уровень, записывают номер карточки и критерий успеха. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. A: отметить $A\cap B$, $A\cup B$ и $\overline{A}$ на готовой схеме. B: «Из 30 учащихся 18 читают художественную литературу, 15 — научно-популярную, 9 — оба вида. Сколько читают хотя бы один вид?». C: построить схему для условия «ученик изучает информатику и математику или не изучает физику». Консультирует вопросами. | Решают индивидуально или в парах, строят схемы, записывают выражения и ответ полным предложением. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на экране: "Проверьте не только число, но и соответствие закрашенной области операции. Поставьте партнёру две звезды за верную модель и одно пожелание по проверке." | Сверяют решение, отмечают две сильные стороны и одну неточность, исправляют работу. |
Эталон решения
Для задачи B: общая часть равна 9, поэтому только художественную литературу читают $18-9=9$ человек, только научно-популярную — $15-9=6$ человек. Хотя бы один вид читают $9+9+6=24$ человека, или $18+15-9=24$. Ответ: 24 человека.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы потренировались на разных уровнях и проверили не только вычисление, но и модель. Теперь применим этот способ к цифровой задаче и сравним ручное решение с результатом ЭОР."
Этап 6. ИКТ-практикум и межпредметная задача (8 мин)
Цель этапа: использовать логические операции для анализа данных и увидеть межпредметную связь с математикой и естественно-научными дисциплинами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран таблицу наблюдений за погодой: «В понедельник температура выше 0 °C; во вторник был дождь; в среду температура выше 0 °C и дождь». Обращается к классу: "Сформулируйте условие отбора дней: температура выше нуля и был дождь. Какая операция нужна?" | Отвечают: «Нужно пересечение — операция «и»». Записывают выражение и выделяют соответствующую строку. |
4 мин | Учитель предлагает в ЭОР или электронной таблице проверить три фильтра: «температура выше 0», «был дождь», «температура выше 0 и был дождь». "Сравните число строк после каждого фильтра. Почему результат третьего фильтра не может быть больше первых двух?" | Настраивают фильтры, получают строки, сравнивают количества, формулируют: «пересечение является частью каждого исходного множества». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Где подобный фильтр встречается вне урока информатики? Приведите пример из поиска, медицины, географии или профессий." | Приводят примеры: поиск товаров по двум параметрам, отбор пациентов по признакам, анализ погодных данных, запросы в базе данных. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что круги Эйлера и логические фильтры описывают один и тот же способ отбора данных. Осталось индивидуально показать, что вы можете выполнить весь алгоритм без подсказки."
Этап 7. Самостоятельная работа, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение темы, организовать рефлексию и определить следующий шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт мини-задание: «Из 20 учеников 12 выбрали информатику, 9 — математику, 4 — оба предмета. Найдите число учеников, выбравших хотя бы один предмет, и изобразите условие кругами Эйлера». Напоминает: "Работаем самостоятельно, схема обязательна." | Строят два пересекающихся круга, вычисляют $12+9-4=17$, записывают ответ и проверку. |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Запишите: 1) что означает «и»; 2) какую область обозначает «не A»; 3) какой шаг алгоритма пока требует тренировки." | Заполняют билет: «и — общая часть», «не A — вне круга A», указывают личное затруднение. |
2 мин | Учитель даёт домашнее задание и завершает: "Сдайте билет. Отметьте в листе самооценки уровень: уверенно, с помощью, пока трудно. На следующем уроке мы используем логические выражения для построения таблиц истинности и поиска ошибок в условиях." | Записывают домашнее задание, оценивают себя по трём критериям: понимаю операции, строю схему, проверяю ответ. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 части практической работы, построены корректные круги Эйлера, правильно использованы операции «и», «или», «не», приведено объяснение и выполнена проверка.
- «4» — верно выполнены 2 части из 3; допущена одна неточность в обозначении области или вычислении, но общий алгоритм понятен и после проверки ошибка исправлена.
- «3» — выполнена базовая часть, правильно определена хотя бы одна операция и построена одна корректная схема; требуется помощь при вычислении или формулировке вывода.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает логическая операция «и» на круговой схеме? | Проверка осознания связи логической операции и пересечения множеств. |
На каком шаге алгоритма решения вы сегодня ошиблись или затруднились? | Выявление точек затруднения и планирование коррекционной работы. |
Какой уровень карточки вы выбрали и смогли ли перейти на следующий? | Оценка самостоятельности, адекватности выбора и учебной мотивации. |
Где можно применить логический фильтр в реальной жизни или будущей профессии? | Осознание функциональной и межпредметной значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы закрепили три операции: «и» показывает общую часть множеств, «или» объединяет элементы, а «не» выделяет дополнение. Главная ошибка — начинать вычисление до того, как построена модель и определена операция. Вы проверяли решения вручную, в группе и с помощью ЭОР, поэтому увидели несколько способов контроля. На следующем уроке мы продолжим работу с логическими выражениями и таблицами истинности. Чем точнее вы формулируете условие, тем надёжнее работает алгоритм."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на две операции: определить пересечение, объединение и дополнение множеств; для каждой задачи построить круги Эйлера и записать ответ полным предложением. | Закрепляет базовое распознавание операций и последовательность построения схемы; при проверке смотреть на соответствие закрашенной области условию. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с числовыми данными о двух группах объектов, включая задачу на нахождение количества элементов в пересечении; выполнить проверку двумя способами. | Развивает применение формулы объединения и контроль рассуждения; проверять отсутствие двойного счёта. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из области спорта, поиска информации или будущей профессии с двумя или тремя множествами, построить схему, записать логическое выражение и решить её. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать выбор операций; оценивать полноту условия и корректность схемы. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какую область показывает операция «и»? Чем объединение отличается от пересечения? Как построить область «не A»? Зачем проверять круговую схему по каждому элементу условия?»
