Площадь трапеции
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно вывести формулу площади трапеции и применить её для решения как минимум 3 задач базового уровня на нахождение площади.
- Образовательная задача: сформировать навык вычисления площади трапеции через её основания и высоту.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через приёмы анализа и синтеза при разбиении сложной фигуры на простые.
- Воспитательная задача: воспитывать культуру доказательной речи и умение работать в команде при решении проблемных ситуаций.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулировку теоремы о площади трапеции.
- Уметь выводить формулу площади трапеции различными способами.
- Уметь применять формулу при решении геометрических и практико-ориентированных задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества в разных социальных ситуациях.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно.
- Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать наборы бумажных трапеций (по 3 штуки разного цвета на каждую парту: произвольная, прямоугольная, равнобедренная).
- Подготовить ножницы и клей-карандаш для каждой пары учеников.
- Подготовить презентацию с чертежами к задачам и интерактивным планиметром.
- Распечатать карточки для игры «Землемеры» (15 шт).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
ХОД УРОКА
БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала
Планируемые результаты Блока 1:
• Предметные: актуализация знаний о площадях параллелограмма и треугольника; осознание необходимости новой формулы.
• Личностные: формирование познавательного интереса и учебной мотивации.
• Метапредметные (УУД): умение анализировать, выявлять нехватку знаний, формулировать цель по SMART.
Методы, средства обучения: проблемно-поисковый метод, метод постановки учебной задачи; карточки с планами участков, презентация.
• Предметные: актуализация знаний о площадях параллелограмма и треугольника; осознание необходимости новой формулы.
• Личностные: формирование познавательного интереса и учебной мотивации.
• Метапредметные (УУД): умение анализировать, выявлять нехватку знаний, формулировать цель по SMART.
Методы, средства обучения: проблемно-поисковый метод, метод постановки учебной задачи; карточки с планами участков, презентация.
Модуль 1.1. Мотивирование на учебную деятельность
Цель этапа: создать проблемную ситуацию через игровую деятельность, подвести учащихся к необходимости вывода новой формулы.
Планируемые результаты:
• Предметные: актуализация знаний о площадях известных фигур.
• Личностные: формирование учебной мотивации и интереса к новому.
• Метапредметные (УУД): умение анализировать, выявлять нехватку знаний и формулировать цель.
Методы, средства обучения: проблемно-поисковый метод, игровая ситуация; карточки с планами участков, презентация.
• Предметные: актуализация знаний о площадях известных фигур.
• Личностные: формирование учебной мотивации и интереса к новому.
• Метапредметные (УУД): умение анализировать, выявлять нехватку знаний и формулировать цель.
Методы, средства обучения: проблемно-поисковый метод, игровая ситуация; карточки с планами участков, презентация.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, коллеги-землемеры! Сегодня к нам в бюро поступил срочный заказ: нужно сравнить площади трёх участков земли для кадастровой оценки. Посмотрите на чертежи. Какие фигуры вы узнаёте?» | «Первый — параллелограмм, второй — треугольник. А третий... это трапеция, мы её только начали изучать». |
5 мин | «Верно. Для первых двух участков у нас есть проверенные формулы. Рассчитайте их площади в тетрадях. S1: основание 10м, высота 5м. S2: основание 8м, высота 6м. Какие результаты получили?» | «S1 = 10 * 5 = 50 кв.м.», «S2 = 0,5 * 8 * 6 = 24 кв.м.». |
7 мин | «Отлично. А теперь участок №3 — трапеция. Основания 6м и 10м, высота 4м. Можем ли мы сразу назвать его площадь? В чём сложность? Как бы вы предложили её измерить, не зная готовой формулы?» | «Формулы для трапеции мы ещё не знаем. Можно попробовать разрезать её на треугольник и прямоугольник или на два треугольника». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, наша задача как экспертов — разработать универсальный алгоритм для вычисления площади любого участка в форме трапеции. Запишите тему урока: "Площадь трапеции"».
Этап 1. Целеполагание (2 мин)
Цель этапа: формулировка учащимися цели урока на основе выявленной проблемы.
Планируемые результаты: Л — самоопределение; М — целеполагание.
Методы, средства обучения: метод постановки учебной задачи.
Планируемые результаты: Л — самоопределение; М — целеполагание.
Методы, средства обучения: метод постановки учебной задачи.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Итак, мы столкнулись с проблемой: для участка-трапеции у нас нет готового инструмента. Давайте сформулируем цель нашего исследования по системе SMART. Что именно мы должны научиться делать к концу урока, чтобы это можно было проверить?» | «Цель: вывести формулу площади трапеции и научиться применять её при решении задач. Мы должны успеть это сделать за оставшиеся 30 минут урока». |
БЛОК 2. Освоение нового материала
Планируемые результаты Блока 2:
• Предметные: умение выводить формулу площади трапеции различными способами.
• Личностные: развитие навыков конструктивного сотрудничества в паре.
• Метапредметные (УУД): моделирование, синтез целого из частей, построение логической цепи рассуждений.
Методы, средства обучения: исследовательский метод, практическая работа; наборы бумажных фигур, ножницы, клей.
• Предметные: умение выводить формулу площади трапеции различными способами.
• Личностные: развитие навыков конструктивного сотрудничества в паре.
• Метапредметные (УУД): моделирование, синтез целого из частей, построение логической цепи рассуждений.
Методы, средства обучения: исследовательский метод, практическая работа; наборы бумажных фигур, ножницы, клей.
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства площадей и формулы, необходимые для вывода новой теоремы.
Планируемые результаты:
• Предметные: знание аксиом площадей и формулы площади треугольника.
• Метапредметные (УУД): умение структурировать знания и извлекать нужную информацию.
Методы, средства обучения: фронтальный опрос, репродуктивный метод; интерактивная доска.
• Предметные: знание аксиом площадей и формулы площади треугольника.
• Метапредметные (УУД): умение структурировать знания и извлекать нужную информацию.
Методы, средства обучения: фронтальный опрос, репродуктивный метод; интерактивная доска.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Прежде чем мы выведем формулу, давайте вспомним: какими свойствами обладают площади фигур? Что будет с площадью, если фигуру разбить на части? И напомните формулу площади треугольника». | «Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. Площадь треугольника — это половина произведения основания на высоту: S = 1/2 * a * h». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Этот багаж знаний — наш фундамент. Теперь переходим в лабораторию открытий».
Этап 2. Осуществление учебных действий по освоению нового материала (10 мин)
Цель этапа: путем практического моделирования (разрезания и перекраивания) вывести формулу площади трапеции.
Планируемые результаты:
• Предметные: умение выводить формулу площади трапеции различными способами.
• Личностные: развитие навыков конструктивного сотрудничества в паре.
• Метапредметные (УУД): моделирование, синтез целого из частей, построение логической цепи рассуждений.
Методы, средства обучения: исследовательский метод, практическая работа; наборы бумажных фигур, ножницы, клей.
• Предметные: умение выводить формулу площади трапеции различными способами.
• Личностные: развитие навыков конструктивного сотрудничества в паре.
• Метапредметные (УУД): моделирование, синтез целого из частей, построение логической цепи рассуждений.
Методы, средства обучения: исследовательский метод, практическая работа; наборы бумажных фигур, ножницы, клей.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Перед вами бумажные модели трапеций. Работаем в парах. Ваша задача — превратить трапецию в фигуры, площадь которых вы уже умеете находить. Режьте, переставляйте части, достраивайте. Кто сможет выразить итоговую площадь через основания a, b и высоту h?» | «Мы провели диагональ и получили два треугольника! У одного основание a, у другого b, а высота у них одинаковая. Значит S = 1/2*ah + 1/2*bh». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения (вывод через диагональ)
1. Проведем диагональ $d$. Она делит трапецию на два треугольника с основаниями $a$ и $b$ и общей высотой $h$.
2. $S_{total} = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh$.
3. Вынесем $\frac{1}{2}h$ за скобки: $S = \frac{1}{2}h(a + b) = \frac{a+b}{2}h$.
2. $S_{total} = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh$.
3. Вынесем $\frac{1}{2}h$ за скобки: $S = \frac{1}{2}h(a + b) = \frac{a+b}{2}h$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили формулу: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Запишите теорему в тетрадь и обведите формулу в рамку».
Модуль 2.2. Проверка первичного усвоения
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников / Действия групп |
|---|---|---|
10 мин | «А теперь — соревнование экспертных групп! Я делю класс на 4 группы. Каждая получает карточку с 2 задачами. Ваша цель: не просто решить их, а подготовить краткое объяснение для коллег.
Группа 1: задачи на прямой расчет (основания и высота).
Группа 2: задачи на нахождение высоты через площадь.
Группа 3: задачи со средней линией и прямоугольной трапецией.
Группа 4: задачи с равнобедренной трапецией и поиском основания.
У вас 6 минут на решение, затем — защита результатов!» | Ученики распределяются по группам, обсуждают решение.
Лидер Группы 1: «В первой задаче сложили 3 и 5, умножили на высоту 4 и поделили на 2. Получили 16».
Лидер Группы 2: «Чтобы найти высоту, мы удвоенную площадь 40 разделили на сумму оснований 10. Высота — 4».
Лидер Группы 3: «В задаче со средней линией всё проще: S = m * h. 8 умножили на 4, получили 32».
Лидер Группы 4: «В равнобедренной трапеции сначала нашли полусумму оснований, затем площадь — 21». |
Цель этапа: проверка первичного понимания формулы через групповое взаимодействие и взаимообучение.
Задания для групп:
• Группа 1: 1) a=3, b=5, h=4; 2) a=10, b=2, h=5.
• Группа 2: 1) S=20, a=2, b=8, найти h; 2) S=25, a=4, b=6, найти h.
• Группа 3: 1) m=8, h=4, найти S; 2) Прямоугольная трапеция: a=5, b=9, h=2.
• Группа 4: 1) Равнобедренная трапеция: a=4, b=10, h=3; 2) S=30, a=7, b=3, найти h.
Методы: групповая работа, метод делегирования.
Задания для групп:
• Группа 1: 1) a=3, b=5, h=4; 2) a=10, b=2, h=5.
• Группа 2: 1) S=20, a=2, b=8, найти h; 2) S=25, a=4, b=6, найти h.
• Группа 3: 1) m=8, h=4, найти S; 2) Прямоугольная трапеция: a=5, b=9, h=2.
• Группа 4: 1) Равнобедренная трапеция: a=4, b=10, h=3; 2) S=30, a=7, b=3, найти h.
Методы: групповая работа, метод делегирования.
Этап 3. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях (5 мин)
Цель этапа: отработать применение формулы на простых задачах.
Планируемые результаты:
• Предметные: умение применять формулу для решения практических задач.
• Личностные: развитие ответственного отношения к качеству выполнения работы, формирование осознанного выбора эффективного способа решения.
• Метапредметные (УУД): умение действовать по алгоритму, контроль и коррекция действий партнера.
Методы, средства обучения: практический метод, метод демонстрации; оформление задачи на доске.
• Предметные: умение применять формулу для решения практических задач.
• Личностные: развитие ответственного отношения к качеству выполнения работы, формирование осознанного выбора эффективного способа решения.
• Метапредметные (УУД): умение действовать по алгоритму, контроль и коррекция действий партнера.
Методы, средства обучения: практический метод, метод демонстрации; оформление задачи на доске.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Возвращаемся к нашему третьему участку. Теперь у нас есть инструмент! Основания 60 и 100 метров, высота 40 метров. Подставьте значения в нашу новую формулу. Каков вердикт экспертов?» | «Складываем основания: 60 + 100 = 160. Делим пополам — это 80. Умножаем на высоту 40. Получаем 3200 квадратных метров!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы настоящие профессионалы. Проверим, сможете ли вы работать самостоятельно».
Цель этапа: продемонстрировать практическую значимость геометрии в строительстве и архитектуре.
Планируемые результаты: П — умение интерпретировать реальную ситуацию на языке геометрии; М — моделирование.
Методы, средства обучения: метод практико-ориентированных задач.
Планируемые результаты: П — умение интерпретировать реальную ситуацию на языке геометрии; М — моделирование.
Методы, средства обучения: метод практико-ориентированных задач.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Представьте, что вы дизайнеры. Нужно выложить садовую дорожку в форме трапеции плиткой. Площадь дорожки 12 кв.м. В одной упаковке 2 кв.м плитки. Сколько упаковок нужно купить с учетом 10% запаса на подрезку?» | «12 делим на 2 — это 6 упаковок. Плюс 10% от 12 — это еще 1,2 метра, значит нужна еще одна упаковка. Итого 7 упаковок». |
Этап 5. Выполнение заданий в формате ГИА (ОГЭ) (5 мин)
Планируемые результаты:
• Предметные: расчет площади и стоимости материалов.
• Личностные: развитие ответственного отношения к ресурсам.
• Метапредметные (УУД): принятие решений в условиях бытовой задачи.
Методы, средства обучения: кейс-метод; карточка с условием задачи «Ремонт».
• Предметные: расчет площади и стоимости материалов.
• Личностные: развитие ответственного отношения к ресурсам.
• Метапредметные (УУД): принятие решений в условиях бытовой задачи.
Методы, средства обучения: кейс-метод; карточка с условием задачи «Ремонт».
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Типичная задача ОГЭ: трапеция на клетчатой бумаге 1х1. Как найти площадь, если мы не можем просто измерить стороны линейкой?» | «Нужно посчитать клетки оснований и высоту. Верхнее — 3 клетки, нижнее — 7, высота — 4. S = (3+7)/2 * 4 = 20». |
Модуль 3.4. Развитие функциональной грамотности
Цель этапа: продемонстрировать практическую значимость геометрии в строительстве и архитектуре.
Планируемые результаты: П — умение интерпретировать реальную ситуацию на языке геометрии; М — моделирование.
Методы, средства обучения: метод практико-ориентированных задач.
Планируемые результаты: П — умение интерпретировать реальную ситуацию на языке геометрии; М — моделирование.
Методы, средства обучения: метод практико-ориентированных задач.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Представьте, что вы инженеры-гидротехники. Нам нужно укрепить бетонными плитами склон дамбы, который в сечении имеет форму трапеции. Высота дамбы 6 м, верхняя площадка 4 м, а нижнее основание 10 м. Одна плита покрывает 3 кв.м. Сколько плит понадобится для укрепления одного такого участка склона?» | «Считаем площадь сечения: (4 + 10) / 2 * 6 = 7 * 6 = 42 кв.м. Делим на площадь одной плиты: 42 / 3 = 14 плит. Значит, на один участок нужно ровно 14 плит». |
Этап 4. Выполнение межпредметных заданий и заданий из реальной жизни (5 мин)
Цель этапа: продемонстрировать универсальный характер математических знаний и их связь с историей и бытом.
Планируемые результаты: П — умение интерпретировать реальную и историческую ситуацию на языке геометрии; М — моделирование, извлечение информации из контекста.
Методы, средства обучения: метод практико-ориентированных задач, исторический экскурс.
Планируемые результаты: П — умение интерпретировать реальную и историческую ситуацию на языке геометрии; М — моделирование, извлечение информации из контекста.
Методы, средства обучения: метод практико-ориентированных задач, исторический экскурс.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
3 мин (История) | «В Древнем Египте после разлива Нила земледельцы восстанавливали границы участков. Один из участков имел форму трапеции с основаниями 20 и 30 локтей и высотой 15 локтей. Какова была его площадь в локтях? Как вы думаете, почему египтянам было важно знать именно площадь?» | «Считаем: (20 + 30) / 2 * 15 = 25 * 15 = 375 кв. локтей. Площадь была важна для расчета налога на урожай». |
2 мин (Жизнь) | «А теперь современная задача. Нам нужно застеклить окно на чердаке, которое имеет форму равнобедренной трапеции. Основания окна 1,2 м и 0,8 м, а высота 1,5 м. Сколько квадратных метров стекла нужно заказать? Хватит ли нам листа площадью 1,4 кв.м?» | «Площадь окна: (1,2 + 0,8) / 2 * 1,5 = 1,5 кв.м. Значит, листа 1,4 кв.м нам не хватит». |
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения нового материала.
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения нового материала и выявление пробелов в знаниях.
Планируемые результаты: П — владение навыком вычисления площади и элементов трапеции; М — способность к самопроверке по эталону, оценивание качества усвоения.
Методы, средства обучения: метод самостоятельной работы; карточки с заданиями, экран с ответами.
Планируемые результаты: П — владение навыком вычисления площади и элементов трапеции; М — способность к самопроверке по эталону, оценивание качества усвоения.
Методы, средства обучения: метод самостоятельной работы; карточки с заданиями, экран с ответами.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Пришло время проверить себя. На карточках две задачи.
1. Найти площадь трапеции с основаниями 7 см и 11 см и высотой 5 см.
2. Площадь трапеции 60 кв.см, основания 8 см и 12 см. Найдите высоту.
Работаем самостоятельно 4 минуты, затем сверяемся с экраном». | Ученики решают задачи.
Самопроверка: «В первой задаче сложил 7 и 11, поделил на 2, умножил на 5. Получилось 45 кв.см. Во второй задаче выразил высоту: h = 2S / (a+b) = 120 / 20 = 6 см. У меня всё верно!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, у кого оба плюса? Отлично. У кого есть вопросы — мы разберем их на следующем уроке».
БЛОК 5. Подведение итогов, домашнее задание
Этап 7. Систематизация знаний и умений (Рефлексия) (5 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка эмоционального состояния и уровня понимания.
Планируемые результаты:
• Личностные: осознание личного вклада в урок, самооценка.
• Метапредметные (УУД): умение делать выводы, рефлексия способов и условий действия.
Методы, средства обучения: рефлексивный метод; прием «Чемодан, мясорубка, корзина», стикеры.
• Личностные: осознание личного вклада в урок, самооценка.
• Метапредметные (УУД): умение делать выводы, рефлексия способов и условий действия.
Методы, средства обучения: рефлексивный метод; прием «Чемодан, мясорубка, корзина», стикеры.
Время | Реплика учителя (сценарий) | Предполагаемые ответы учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наш урок-исследование завершен. Посмотрите на доску: Чемодан, Мясорубка, Корзина. Что вы заберете с собой как ценный опыт, а что показалось лишним? И не забудьте записать домашнее задание». | «В чемодан — формулу и способ с диагональю! В мясорубку — задачу с крышей, нужно еще подумать. Лишнего вроде не было». |
БЛОК 4. Проверка приобретенных знаний, умений и навыков
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик самостоятельно вывел формулу одним из способов, верно решил задачу фермера и обе задачи самостоятельной работы.
- «4» — ученик вывел формулу с небольшой подсказкой учителя, верно решил задачу фермера и допустил одну вычислительную ошибку в самостоятельной работе.
- «3» — ученик понимает смысл формулы, смог записать её, но затруднился в самостоятельном выводе и решил только одну задачу из предложенных.
Модуль 5.1. Самооценивание, рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой из способов вывода формулы показался тебе самым простым? | Выявление предпочтительного канала восприятия и логических связей. |
Где в реальной жизни, кроме фермерских полей, мы можем встретить трапецию? | Развитие функциональной грамотности и связи с реальностью. |
Что было самым трудным в сегодняшнем 'открытии'? | Диагностика зон затруднения для планирования следующего урока. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы не просто выучили формулу из учебника, вы её создали. Это и есть настоящая наука. Помните, что любая сложная задача — это всего лишь набор простых элементов, которые вы уже знаете. На следующем уроке мы узнаем, как площадь трапеции помогает архитекторам и дизайнерам одежды. Спасибо за работу, урок окончен!»
Модуль 5.2. Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №480 (а, б), №481 | Отработка прямой формулы площади трапеции. |
Средний (повышающий) | Задача на карточке: «Площадь крыши» | Рассчитать площадь четырехскатной крыши, состоящей из двух трапеций и двух треугольников. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти и оформить в тетради еще один способ вывода формулы площади трапеции (например, через среднюю линию). |
Контрольный вопрос: «Как изменится площадь трапеции, если её высоту увеличить в 2 раза, а основания оставить прежними?»