Многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника
Цели и задачи
- Цель: вывести формулу суммы углов выпуклого n-угольника и научиться применять её при решении геометрических задач.
- Образовательная задача: актуализировать знания о треугольнике и четырехугольнике, ввести понятия выпуклого и невыпуклого многоугольника, организовать исследование по поиску закономерности суммы углов.
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления, умение проводить аналогии и обобщать частные случаи в общую формулу.
- Воспитательная задача: формировать культуру работы в паре, уважительное отношение к мнению сверстников и уверенность в своих силах через самостоятельное «открытие» знаний.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления через анализ собственных действий и аргументацию выводов.
- Осознание эстетической ценности геометрии в окружающем мире (архитектура, дизайн).
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки, устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: способность самостоятельно ставить цели урока, планировать пути их достижения и корректировать свои действия в соответствии с эталоном.
- Коммуникативные: умение работать в паре, распределять роли, эффективно сотрудничать и приходить к общему решению.
Предметные
- Знать определения многоугольника, его элементов (вершины, стороны, диагонали), выпуклого и невыпуклого многоугольников.
- Уметь выводить формулу суммы углов выпуклого n-угольника методом триангуляции.
- Владеть навыком вычисления суммы углов для конкретных многоугольников и нахождения количества сторон n-угольника по заданной сумме углов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
- Нравственно-этическая ориентация (взаимопомощь в паре).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль процесса и результатов деятельности.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в учебнике.
- Моделирование (переход от чертежа к алгебраической формуле).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнера (контроль, коррекция действий партнера).
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями архитектурных объектов (собор Саграда Фамилия, современные небоскребы, плиточное мощение).
- Распечатать рабочие листы для парного исследования (по 1 шт. на парту, всего 15 шт.) с изображениями четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника.
- Подготовить карточки для рефлексии «Билет на выход».
- Проверить наличие в кабинете линеек и транспортиров.
- Закладка в учебнике (Геометрия 7–9 класс, авт. Атанасян Л.С. и др.) на параграфе «Многоугольники».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать положительный эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через связь с реальностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Посмотрите на экран (Слайд 1). Перед вами фотографии современной архитектуры и дизайна интерьеров. Что общего у фасада этого здания и рисунка на тротуарной плитке? Правильно, они состоят из множества геометрических фигур. Мы привыкли к квадратам и треугольникам, но мир гораздо сложнее. Сегодня мы станем исследователями и узнаем главный закон, по которому строятся любые многоугольники. Готовы ли вы совершить открытие?» | Слушают учителя, рассматривают слайды, отвечают: «В основе лежат многоугольники», «Фигуры имеют много углов и сторон». Настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Чтобы понять законы больших фигур, нам нужно вспомнить базу. Переходим к актуализации знаний».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (сумма углов треугольника, определение многоугольника) и зафиксировать интеллектуальное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вспомним: чему равна сумма углов любого треугольника? Верно, 180 градусов. А теперь посмотрите на доску. Я нарисовал две фигуры (выпуклый и невыпуклый четырехугольники). Чем они отличаются? Попробуйте провести прямую через любую сторону фигуры. В каком случае фигура окажется по одну сторону от прямой?» Учитель вводит приём «Сравнение». | Отвечают: «180 градусов». Анализируют чертежи на доске. Один ученик выходит к доске и пробует проводить прямые. Делают вывод: «В первой фигуре она всегда с одной стороны, а во второй — прямая пересекает фигуру». |
3 мин | «Откройте учебник на странице 98. Найдите определение выпуклого многоугольника. Прочитайте его про себя. Теперь вопрос: если сумма углов треугольника — 180°, а четырехугольника — 360°, то чему равна сумма углов пятиугольника? А стоугольника? Можем ли мы это быстро посчитать, не измеряя каждый угол транспортиром?» | Читают определение в учебнике. Пытаются угадать сумму углов пятиугольника (предлагают 450°, 540°). Осознают, что точного способа расчета у них пока нет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, у нас есть проблема: мы не знаем универсальной формулы. Давайте её добудем!»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (2 мин)
Цель этапа: сформулировать тему и цель урока, составить план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Как вы думаете, какая тема нашего урока? Запишите в тетрадях: "Сумма углов выпуклого многоугольника". Какую цель мы перед собой поставим? Нам нужно найти способ вычисления суммы углов для любого n-угольника. Какой инструмент у нас уже есть? Знание о сумме углов треугольника. Давайте попробуем превратить сложные фигуры в простые треугольники». | Формулируют тему и цель. Записывают тему в тетрадь. Предлагают план: «Разбить фигуры на треугольники и сложить их углы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План принят. Работаем в парах, как настоящие научные группы».
Этап 4. Открытие нового знания — Исследование (12 мин)
Цель этапа: путем практического исследования в парах вывести общую формулу суммы углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель раздает рабочие листы. «В ваших листах три фигуры: четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. Ваша задача: выберите одну вершину в каждой фигуре и проведите из неё все возможные диагонали. Заполните таблицу в листе: 1) Кол-во сторон (n); 2) Кол-во получившихся треугольников; 3) Сумма углов (кол-во треугольников умножить на 180°). Ищите закономерность!» Учитель обходит класс, консультируя пары. | Работают в парах. Проводят диагонали. Заполняют таблицу. Обсуждают: «В четырехугольнике 2 треугольника, в пятиугольнике — 3, в шестиугольнике — 4. Кажется, треугольников всегда на 2 меньше, чем сторон!» |
4 мин | «Давайте проверим ваши гипотезы. Если сторон n, то сколько будет треугольников? Правильно, (n - 2). Тогда как будет выглядеть итоговая формула суммы углов S? Запишите её на доске, кто готов?» Учитель помогает оформить вывод: S = (n - 2) * 180°. | Представитель одной из пар выходит к доске и записывает формулу. Остальные сверяют со своими результатами и записывают формулу в рамку в тетради. |
Эталон решения (вывод формулы)
Пусть дан выпуклый $n$-угольник $A_1A_2...A_n$. Проведем из вершины $A_1$ диагонали к остальным вершинам (кроме соседних $A_2$ и $A_n$). Количество диагоналей равно $n-3$. Эти диагонали разбивают многоугольник на $n-2$ треугольника. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Следовательно, $S = (n-2) imes 180^\text{o}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поздравляю, вы сами вывели фундаментальную формулу геометрии! Теперь проверим её в деле на задачах из учебника».
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: применить формулу для решения типовых задач под руководством учителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на стр. 101, задача №364 (а, б). Нам нужно найти сумму углов выпуклого пятиугольника и десятиугольника. Кто хочет поработать у доски?» Учитель следит за корректностью оформления записи. | Двое учеников работают у доски, остальные в тетрадях. Применяют формулу: а) (5-2)*180=540°; б) (10-2)*180=1440°. |
4 мин | «А теперь обратная задача. Если сумма углов многоугольника равна 900°, сколько у него сторон? Используйте приём "ПОПС-формула" для объяснения хода решения: Позиция (я считаю, что сторон...), Обоснование (потому что по формуле...), Пример (подставим...), Следствие (значит...)». | Ученики решают уравнение: (n-2)*180 = 900. Делят 900 на 180, получают n-2=5, следовательно n=7. Один ученик отвечает, используя структуру ПОПС. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились считать и "вперед", и "назад". Пора проверить себя в индивидуальном зачете».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностика уровня усвоения материала, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На экранах — мини-тест из 3 заданий. 1. Найти сумму углов восьмиугольника. 2. Существует ли многоугольник с суммой углов 1000°? 3. Сколько сторон у многоугольника, если каждый его угол равен 120°? Время пошло!» Учитель включает таймер на 5 минут. | Самостоятельно решают задачи в тетрадях. 1) (8-2)*180=1080°. 2) 1000/180 — не целое число, значит нет. 3) (n-2)*180 = 120n, решают уравнение, получают n=6. |
2 мин | «Время вышло. Сверьтесь с эталоном на слайде. Поднимите зеленую карточку, если у вас всё верно, желтую — если одна ошибка, красную — если ничего не получилось». | Проверяют свои работы по ответам на экране. Сигнализируют о результатах карточками. Проводят краткую самокоррекцию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу много зеленых карточек, это отличный результат для первого знакомства с темой!»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником своей учебной деятельности, оценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к началу. Посмотрите на пчелиные соты (Слайд 5). Какую форму они имеют? Шестиугольника. Зная нашу формулу, скажите, какова сумма углов одной такой ячейки? 720 градусов. Природа — лучший геометр. Заполните, пожалуйста, короткую анкету на ваших столах». | Отвечают на вопрос про соты. Заполняют листки рефлексии. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Запишите в дневники. Обратите внимание на творческое задание для желающих». | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик активно участвовал в исследовании, верно вывел формулу, без ошибок выполнил самостоятельную работу и верно решил задачу на нахождение количества сторон.
- «4» — формула выведена с небольшой помощью, в самостоятельной работе допущена одна вычислительная ошибка, ход решения задач из учебника верный.
- «3» — ученик понимает определение выпуклого многоугольника, знает формулу, но затрудняется в её применении к обратным задачам (нахождение n), допустил более 2-х ошибок в самостоятельной работе.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую закономерность мы сегодня «открыли»? | Проверка усвоения главного факта урока (формулы). |
Что было самым трудным в работе в паре? | Анализ коммуникативных навыков и умения договариваться. |
Где в жизни нам может пригодиться знание о сумме углов многоугольника? | Оценка осознания практической значимости материала. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы проделали путь от простого наблюдения до вывода математического закона. Вы увидели, что геометрия — это не просто сухие цифры в учебнике Атанасяна, а язык, на котором говорит природа и архитектура. Помните, что любой сложный вопрос можно разбить на простые составляющие, как мы разбили многоугольники на треугольники. На следующем уроке мы узнаем, какими особенными свойствами обладают четырехугольники. Спасибо за работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | П. 40, 41; № 364 (в, г), № 365 | Выучить определения и формулу, решить задачи на прямое применение формулы. |
Средний (повышающий) | № 370 | Задача на доказательство свойств диагоналей многоугольника. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект | Найти примеры использования правильных многоугольников в паркетах или архитектуре вашего города, сделать фото и рассчитать сумму их углов. |
Контрольный вопрос: «Как изменится сумма углов многоугольника, если количество его сторон увеличится на одну?»