Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие площади многоугольника, изучить её свойства и доказать теорему о площади прямоугольника.
- Образовательная задача: Познакомить учащихся с основными единицами измерения площади и свойствами площадей многоугольников.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления через доказательство теоремы и анализ типичных ошибок контрольной работы.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и критическое отношение к результатам своего труда.
- Методическая задача: Использовать метод проблемного диалога для вывода формулы площади прямоугольника.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе анализа своих ошибок.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Понимание значимости геометрии в практической жизни (строительство, землеустройство).
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем, аргументировать свою позицию.
Предметные
- Знать определение площади многоугольника и единицы её измерения.
- Владеть свойствами площадей многоугольников.
- Уметь доказывать теорему о площади прямоугольника и применять её при решении задач.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент (2 мин)
Цель этапа: создание эмоционального настроя на работу, проверка готовности к уроку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь. Сегодня мы подведем итоги нашей прошлой работы и совершим открытие в новой, очень важной теме геометрии. Проверьте, чтобы на столах у вас были тетради, учебники, линейки и карандаши. Нам предстоит большая аналитическая и исследовательская работа." | Приветствуют учителя, организуют рабочее место, настраиваются на продуктивную деятельность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, все готовы. Начнем с анализа наших достижений и зон роста по итогам контрольной работы."
Этап 2. Анализ контрольной работы и работа над ошибками (20 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки, допущенные в контрольной работе, и провести их коллективный разбор.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Ребята, я проанализировала ваши работы. В целом, класс справился неплохо, но есть моменты, которые вызвали затруднения. Самая частая ошибка была связана с ... . Давайте посмотрим на доску — я вывела условие задачи №... из ... варианта." | Слушают общую информацию о результатах, открывают свои тетради с контрольной работой, фиксируют замечания учителя. |
15 мин | "Давайте разберем эту задачу вместе." Учитель вызывает одного ученика к доске для исправления чертежа и записи ключевого момента доказательства. Параллельно учитель комментирует другие ошибки: вычислительные недочеты и неправильное оформление дано. | Один ученик работает у доски, остальные участвуют в обсуждении, задают вопросы по своим работам. В тетрадях для работ над ошибками записывают верное решение проблемных задач контрольной работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрыли пробелы по прошлой теме. Теперь мы готовы двигаться дальше. Сегодня мы начинаем большой блок, посвященный площадям фигур. Запишите тему урока: 'Площадь многоугольника'."
Этап 3. Актуализация и постановка проблемы (8 мин)
Цель этапа: через жизненный пример подвести к научному определению площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Ребята, представьте, что вы слышите фразу: 'Площадь нашей квартиры равна 44 квадратных метра'. Как вы понимаете смысл этого предложения? Что это значит с точки зрения геометрии?" Учитель выводит на экран слайд с изображением квадрата 1х1 м. | Высказывают предположения: "Это размер пола", "Это сколько места внутри стен". Формулируют вывод: "Это означает, что пол квартиры можно застелить 44 квадратами со стороной 1 метр". |
4 мин | "Верно. Исходя из этого примера, попробуйте сформулировать: что же такое площадь многоугольника вообще?" Учитель помогает скорректировать определение: "Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает данный многоугольник." | Записывают определение в тетрадь. Обсуждают, что площадь всегда выражается положительным числом при выбранной единице измерения. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Площадь многоугольника — величина части плоскости, которую занимает многоугольник. Площадь выражается положительным числом.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поняли суть понятия. Но в чем мы измеряем эту величину? Давайте вспомним все известные вам единицы."
Этап 4. Открытие нового знания: Единицы измерения (10 мин)
Цель этапа: систематизировать знания о единицах измерения площади и ввести новые понятия (ар, гектар).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Посмотрите на слайд. Здесь перечислены единицы измерения от самых маленьких до огромных. Зачем нам нужны миллиметры квадратные? Где мы встретим гектары?" Учитель комментирует: 1 мм² — для миниатюрных деталей, 1 см² — экран телефона, 1 дм² — учебные цели, 1 м² — основная единица СИ." | Приводят примеры использования единиц: "В километрах измеряют площадь стран или городов", "В сантиметрах — площадь тетрадного листа". |
5 мин | "А теперь внимание на экран — специфические единицы для земли. 1 ар. В народе его называют 'сотка'. Как вы думаете, почему? Какова сторона квадрата такой площади? А что такое гектар (га)?" Учитель фиксирует: 1 а = квадрат 10х10 м, 1 га = квадрат 100х100 м. | Рассуждают: "Сотка — потому что это 100 квадратных метров". Записывают соотношения: 1 а = 100 м², 1 га = 10 000 м². |
Запись в тетрадях
- 1 мм² (сторона 1 мм)
- 1 см² (сторона 1 см)
- 1 дм² (сторона 1 дм)
- 1 м² (основная единица)
- 1 а (сотка) = 100 м² (сторона 10 м)
- 1 га = 100 а = 10 000 м² (сторона 100 м)
- 1 км² = 1 000 000 м² (сторона 1 км)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "С единицами разобрались. Теперь перейдем к правилам, по которым живут площади — к их свойствам."
Этап 5. Исследовательский этап: Свойства площадей + решение задач (20 мин)
Цель этапа: через проблемный диалог вывести основные свойства площадей многоугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два бумажных треугольника, которые при наложении совпадают. "Ребята, если эти фигуры равны, что мы можем сказать об их площадях? Это наше первое свойство. А теперь внимание: если у двух фигур площади равны, обязательно ли равны сами фигуры?" Учитель рисует на доске прямоугольник 2х8 и квадрат 4х4. | Отвечают: "Равные фигуры имеют равные площади". Анализируют рисунок на доске: "Нет, площади обеих фигур 16, но они разной формы. Значит, обратное утверждение неверно". |
2 мин | "Второе свойство. Представьте, что мы разрезали многоугольник на несколько частей. Что произойдет с общей площадью? Сравните площадь всей фигуры и сумму площадей её частей." | Формулируют: "Если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур". |
2 мин | "И третье, самое простое свойство, которое вы знаете с начальной школы. Чему равна площадь квадрата со стороной 'a'? Запишем это как аксиому." | Отвечают: "Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S = a². |
14 мин | Решаем № 543, 545 | Записывают решение в тетради |
Запись в тетрадях
- Равные многоугольники имеют равные площади.
- Если фигура составлена из нескольких частей, её площадь равна сумме площадей этих частей.
- Площадь квадрата равна квадрату его стороны (S = a²).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Эти свойства — фундамент. Используя их, мы сейчас докажем формулу для прямоугольника, которую вы раньше просто принимали на веру."
Этап 6. Исследовательский метод: Доказательство площади прямоугольника (20 мин)
Цель этапа: доказать теорему о площади прямоугольника, используя метод достраивания до квадрата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Дано: прямоугольник со сторонами a и b. Доказать: S = ab. Давайте подумаем, как использовать площадь квадрата для этого доказательства? Предлагаю достроить наш прямоугольник до квадрата со стороной (a + b)." | Рисуют в тетрадях прямоугольник, затем достраивают его до большого квадрата, как показано на схеме учителя. |
10 мин | "Посмотрите на получившийся большой квадрат. Из каких фигур он состоит? У нас есть наш прямоугольник со стороной a и b, еще один такой же, и два квадрата со сторонами a и b. Выразим площадь большого квадрата двумя способами. Первый — через сторону (a+b). Второй — как сумму площадей частей." | Следят за рассуждением: 1) S_общ = (a + b)². 2) S_общ = S + S + a² + b² = 2S + a² + b². Приравнивают: (a + b)² = 2S + a² + b². |
5 мин | "Раскроем скобки в левой части: a² + 2ab + b² = 2S + a² + b². Что мы видим? Какие слагаемые можно сократить? Что остается в итоге?" | Сокращают a² и b² с обеих сторон. Получают 2ab = 2S, откуда S = ab. Теорема доказана! |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили строгий математический вывод формулы. Теперь применим её на практике."
Этап 7. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка навыков решения задач на применение свойств площади и формулы прямоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Решим устно задачи со слайда для разминки: 1) Сторона квадрата 10, найти S. 2) Площадь квадрата 81, найти сторону. 3) Периметр квадрата 24, найти S." | Устно: 1) 100; 2) 9; 3) Сторона 6, значит S=36. Один ученик выходит к доске решать. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с первыми задачами. Это база, на которой мы будем строить изучение площадей других фигур."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подведение итогов урока, постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Мы сегодня проделали огромный путь: от анализа ошибок до доказательства важной теоремы. Запишите домашнее задание: пункт 54 и 56 (учить свойства и доказательство), №544, 546, 550, 551. Есть ли вопросы по задачам?" | Записывают задание, проводят самооценку своей работы на уроке. |
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство площадей показалось вам самым неочевидным? | Выявление глубины понимания связи между равенством фигур и равенством площадей. |
В чем заключалась главная идея доказательства площади прямоугольника? | Проверка осознания метода достраивания до вспомогательной фигуры. |
Помог ли вам разбор контрольной работы понять свои слабые места? | Оценка эффективности этапа коррекции знаний. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили фундамент всей темы 'Площади'. Мы не просто вспомнили формулы из младших классов, а доказали их по-взрослому, используя строгую логику. Обязательно разберитесь в доказательстве дома еще раз — это ключ к пониманию всей геометрии. Спасибо за работу, урок окончен!"