Применение подобия при решении практических задач
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать подобные треугольники в практических ситуациях, составлять пропорции по соответствующим сторонам и находить неизвестную величину с проверкой разумности ответа.
- Сформировать умение применять признаки подобия треугольников для определения недоступной высоты или расстояния.
- Развивать умение анализировать условие практической задачи, выделять математическую модель и обосновывать выбор пропорции.
- Формировать навыки сотрудничества, распределения ролей и аргументированной проверки решения.
- Воспитывать ответственность за точность измерений и понимание практической ценности геометрических знаний.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость подобия для измерений, строительства, картографии и проектирования.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и отвечать за полученный результат.
- Понимают необходимость точности, проверки и корректного представления вычислений.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Извлекают данные из текста, рисунка и таблицы, преобразуют ситуацию в математическую модель.
- Планируют последовательность решения, сопоставляют результат с условием и исправляют ошибки.
- Формулируют вопросы, аргументируют выбор соответствующих сторон и участвуют в обсуждении.
- Используют калькулятор или цифровую линейку для проверки вычислений, не заменяя рассуждение механическим счётом.
Предметные
- Знать признаки подобия треугольников и коэффициент подобия.
- Уметь находить пары соответствующих сторон в подобных треугольниках.
- Уметь составлять пропорции и находить неизвестную сторону по данным практической задачи.
- Владеть алгоритмом решения задач на определение высоты предмета по длине тени.
- Уметь проверять единицы измерения и правдоподобие ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, где геометрические методы применяются в деятельности архитектора, инженера и геодезиста.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Формируют положительное отношение к точному доказательному рассуждению.
- Оценивают личный прогресс и причины затруднений.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план решения практической задачи.
- Распределяют время и роли при работе в группе.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль: рисунок, соответствие сторон, пропорция, вычисление, ответ.
- Сверяют решение с эталоном и вносят коррективы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и устанавливают аналогию между реальной ситуацией и треугольниками.
- Строят схему практической задачи и моделируют отношения величин.
- Анализируют соответствие углов и сторон подобных фигур.
- Обосновывают вывод с использованием пропорции и коэффициента подобия.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли измерителя, чертёжника, вычислителя и докладчика.
- Задают уточняющие вопросы и формулируют аргументированный ответ.
- Сравнивают способы решения и корректно указывают на ошибку.
- Приходят к общему решению на основе математических доказательств.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с фотографией дерева, человека и тени, а также схемами двух подобных треугольников.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке каждого уровня на каждого ученика.
- Подготовить листы групповой работы: условие, место для рисунка, пропорции, вычислений и вывода.
- Распечатать по одному листу самооценки на ученика и по одному эталону решения на парту.
- Подготовить рулетку или измерительную ленту, линейки, карандаши и калькуляторы по числу групп.
- Вывесить на доску алгоритм: построить схему — установить подобие — указать соответствующие стороны — составить пропорцию — вычислить — проверить.
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Как измерить высоту дерева, не забираясь на него?»
- Организовать на полу или у окна демонстрацию измерения длины тени; при невозможности выхода использовать заранее подготовленные данные.
- Проверить проектор, интерактивную доску и таймер на 3–5 минут.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую проблему, требующую применения подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, линейка и ручка. Сегодня вы будете работать как инженеры-измерители: сначала построите модель, затем обоснуете вычисления и проверите результат." | Проверяют готовность, записывают дату и готовят инструменты. |
2 мин | Учитель показывает фотографию высокого дерева и спрашивает: "Представьте, что нужно узнать высоту дерева, но крона недоступна. Какие способы вы предложите? Можно ли использовать тень? Обсудите идею в парах 30 секунд, затем поделитесь одной формулировкой." | Обсуждают в парах, предлагают: "измерить тень", "сравнить с тенью человека", "использовать подобные треугольники". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу, где прямое измерение невозможно. Сейчас выясним, как превратить наблюдение с тенями в точную геометрическую модель."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить признаки подобия и алгоритм составления пропорции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран два треугольника и говорит: "Назовите признаки подобия треугольников. Какие элементы должны быть равны или пропорциональны? Почему при одинаковом направлении солнечных лучей треугольники, образованные предметом и его тенью, могут быть подобными?" | Отвечают: "по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, по трём пропорциональным сторонам"; объясняют, что один угол прямой, а угол наклона солнечного луча общий. |
3 мин | Учитель записывает на доске: $AB=6$, $BC=9$, $A_1B_1=10$ и спрашивает: "Если треугольники подобны и сторона $AB$ соответствует $A_1B_1$, как найти соответствующую сторону $B_1C_1$? Объясните, почему пропорция должна быть составлена именно так." | Составляют $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$, получают $B_1C_1=15$, объясняют соответствие сторон. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки подобия и главное правило: пропорция связывает только соответствующие стороны. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний для измерения недоступной высоты."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм практического решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с данными: "Рост ученика 1,6 м, длина его тени 2 м, длина тени дерева 7,5 м. Найдите высоту дерева. Нарисуйте схему до вычислений." Учитель спрашивает: "Какие два треугольника нужно рассмотреть? Что в них известно?" | Выделяют треугольник человека и тени, треугольник дерева и тени; называют известные величины, предлагают сделать рисунок. |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите один шаг решения, затем объединитесь в пары и составьте общий план. Какая цель урока получится?" | Формулируют: "Научиться находить недоступную высоту через подобие и пропорцию"; составляют план из 5–6 действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: от реальной ситуации перейти к двум подобным треугольникам и получить обоснованный ответ. Перейдём к открытию общего способа."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм применения подобия на практической задаче и проверить его на конкретных данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске схему: вертикальный отрезок высоты и горизонтальный отрезок тени для человека и дерева. Говорит: "Рассмотрим прямоугольные треугольники. У каждого есть прямой угол, а угол между землёй и солнечным лучом одинаков. По двум углам треугольники подобны. Поэтому отношение высоты к длине тени одинаково. Запишем: $\frac{H}{T}=\frac{h}{t}$." | Переносят схему в тетрадь, отмечают прямые и равные углы, записывают формулу $\frac{H}{T}=\frac{h}{t}$ и объясняют её смысл. |
3 мин | Учитель разбирает условие: "Рост ученика 1,6 м, его тень 2 м, тень дерева 7,5 м. Найдём высоту дерева. Сначала запишем отношение: $\frac{H}{7{,}5}=\frac{1{,}6}{2}$. Не сокращайте рассуждение: назовите неизвестную, составьте пропорцию и только потом вычисляйте." | Записывают пропорцию, находят $H=7{,}5\cdot\frac{1{,}6}{2}=6$ м, формулируют ответ: "Высота дерева равна 6 м". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Как проверить результат без повторного решения? Что означает число $\frac{H}{T}$?" Фиксирует на доске алгоритм из пяти шагов. | Проверяют: $6:7{,}5=1{,}6:2=0{,}8$; объясняют, что коэффициент показывает отношение высоты к тени. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) сделать схему; 2) доказать подобие; 3) установить соответствие сторон; 4) составить пропорцию; 5) вычислить неизвестную величину; 6) проверить единицы измерения и разумность ответа.
Эталон решения
Пусть $H$ — высота дерева. Треугольники подобны по двум углам. Поэтому $\frac{H}{7{,}5}=\frac{1{,}6}{2}$. Тогда $H=7{,}5\cdot1{,}6:2=6$ м. Проверка: $6:7{,}5=0{,}8$, а $1{,}6:2=0{,}8$. Ответ: $6$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели не отдельный приём для дерева, а общий способ: если реальные объекты образуют подобные треугольники, неизвестную величину можно найти через пропорцию. Теперь применим алгоритм вместе, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в группах (8 мин)
Цель этапа: закрепить построение математической модели и составление пропорции в разных практических ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и назначает роли: "Измеритель следит за данными, чертёжник строит схему, вычислитель оформляет пропорцию, докладчик объясняет решение. Выберите одну из двух карточек." | Распределяют роли и выбирают задачу по интересу. |
4 мин | Учитель раздаёт задачи. Карточка А: "Флагшток отбрасывает тень 4,8 м. В это же время шест высотой 1,2 м отбрасывает тень 0,8 м. Найдите высоту флагштока." Карточка Б: "На плане отрезок дороги длиной 6 см соответствует 240 м. Какова реальная длина дороги, изображённой отрезком 9,5 см?" Учитель напоминает: "В решении должны быть рисунок или схема, пропорция, вычисления и ответ с единицами." | Строят схемы, выбирают соответствующие величины, составляют пропорции. Для карточки А получают $H:4{,}8=1{,}2:0{,}8$, $H=7{,}2$ м. Для карточки Б получают $6:240=9{,}5:x$, $x=380$ м. |
2 мин | Учитель приглашает докладчиков: "Объясните не только число, но и почему ваши фигуры подобны или почему отношения на плане пропорциональны. Остальные используйте приём 'Две звезды и пожелание'." | Докладчики защищают решения; слушатели называют две сильные стороны и один вопрос или совет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы показали, что подобие работает и для теней, и для масштаба. На следующем этапе каждый проверит, может ли самостоятельно пройти весь алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять подобие и корректировать типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выполните базовую задачу или повышенную. Напоминаю критерии: схема, обоснование подобия, соответствие сторон, пропорция, вычисление и ответ. Работайте индивидуально, 5 минут." | Выбирают уровень и получают карточку. |
5 мин | Учитель наблюдает и задачу не решает за ученика. Базовая задача: "На рисунке измерено: отрезок высоты предмета 2 м имеет тень 1,5 м, а тень башни равна 9 м. Найдите высоту башни." Повышенная задача: "Наблюдатель ростом 1,7 м стоит в 3 м от зеркала, лежащего на земле. Зеркало находится в 18 м от здания. Найдите высоту здания, если луч зрения проходит через зеркало." | Решают индивидуально. В базовой задаче получают $H:9=2:1{,}5$, $H=12$ м. В повышенной задаче составляют $H:18=1{,}7:3$, получают $H=10{,}2$ м. |
4 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сверьте работу по шести пунктам. Ошибку не зачёркивайте полностью: подпишите, на каком шаге она появилась и как её исправить. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если нужна консультация." | Проверяют решение по эталону, отмечают место ошибки, исправляют одну неточность и заполняют светофор. |
Эталон решения
Базовая задача: треугольники подобны по двум углам. $\frac{H}{9}=\frac{2}{1{,}5}$, поэтому $H=9\cdot2:1{,}5=12$ м. Повышенная задача: треугольники, образованные ростом наблюдателя и зданием, подобны. $\frac{H}{18}=\frac{1{,}7}{3}$, поэтому $H=18\cdot1{,}7:3=10{,}2$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не вычисление, а неправильное соответствие величин. Сейчас зафиксируем, что именно стало понятным, а что требует повторения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ решения, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Закончите три фразы: 'Я могу...', 'Мне пока трудно...', 'В практической жизни подобие пригодится...'. Затем поставьте отметку по каждому шагу алгоритма." | Заполняют лист: называют умение строить схему, указывают затруднение, приводят пример применения. |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "За одну минуту ответьте: почему в задаче с тенями возникают подобные треугольники и какую пропорцию вы запишете для высоты дерева?" | Письменно отвечают: "Есть два равных угла; $H:T=h:t$". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. В каждом решении обязательны схема, обоснование подобия, пропорция, ответ и проверка единиц." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились измерять недоступное через подобие, а не просто подставлять числа в формулу. Важно сначала увидеть модель и соответствие сторон. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где подобие нужно будет обнаружить в составной фигуре."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнена выбранная задача, построена понятная схема, доказано подобие или пропорциональность, корректно составлена пропорция, вычислен ответ с единицами и выполнена проверка.
- «4» — способ решения выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на математическую модель.
- «3» — распознана связь с подобием и записана частично верная пропорция, но допущены ошибки в соответствии сторон или вычислениях; решение требует коррекции.
- Ниже базового уровня — отсутствует схема или не установлена связь между реальной ситуацией и подобными треугольниками.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как вы определяли, какие стороны треугольников соответствуют друг другу? | Выявление понимания математической модели и причин типичных ошибок. |
Почему в задаче с тенями треугольники подобны? | Проверка осознанного применения признака подобия, а не механического вычисления. |
На каком шаге алгоритма вы почувствовали затруднение? | Диагностика точки затруднения для последующей коррекции. |
Где подобие может пригодиться вне урока геометрии? | Связь учебного действия с практической и профессиональной деятельностью. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что подобие позволяет находить величины, которые нельзя измерить напрямую. Вы научились строить схему, доказывать подобие треугольников и составлять пропорцию. Самая частая ошибка — сопоставить несоответствующие стороны, поэтому всегда начинайте с рисунка. На следующем уроке мы усложним задачи и будем находить подобие внутри составных фигур.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение высоты или расстояния по двум подобным треугольникам, используя данные о тенях, масштабе или зеркальном отражении. | Закрепить алгоритм; при проверке смотреть на схему, соответствие сторон, пропорцию и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи с изменёнными данными: две на тени, одну на масштаб и одну на недоступное расстояние; в каждой кратко обосновать подобие. | Перенести способ на разные контексты и развить самостоятельный выбор модели. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу на применение подобия, выполнить к ней схему и полное решение, затем проверить ответ обратной пропорцией. | Развить умение создавать математическую модель, формулировать условие и оценивать правдоподобие результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какими признаками можно доказать подобие треугольников? Что нужно установить до записи пропорции? Как проверить, что найденная величина имеет правильные единицы и разумный размер?»
