Пропорциональные отрезки
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют признак пропорциональности отрезков, образованных параллельными прямыми на сторонах угла, и применят его для решения не менее двух геометрических задач с обоснованием каждого шага.
- Сформировать представление о пропорциональных отрезках и связи между отношениями соответствующих отрезков.
- Организовать самостоятельное открытие свойства параллельных прямых, пересекающих стороны угла.
- Развивать умение строить гипотезу, проверять её по чертежу и аргументировать вывод.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, ответственность за результат совместной работы и готовность обосновывать собственное мнение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к выявлению закономерностей в геометрических фигурах.
- Осознают ценность доказательного рассуждения и точности чертежа.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки гипотезы.
- Уважительно относятся к мнению одноклассников при обсуждении различных способов решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность её решения.
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы измерений и математической записи.
- Сравнивают отношения отрезков, выявляют закономерность и переводят наблюдение в геометрическое утверждение.
- Аргументируют вывод в паре и проверяют решение по заданным критериям.
- Используют интерактивную геометрическую модель или готовый чертёж для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать смысл пропорции и определение пропорциональных отрезков.
- Уметь записывать отношения соответствующих отрезков и составлять пропорцию.
- Знать свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла.
- Уметь находить неизвестный отрезок по пропорции и объяснять выбор соответствующих отрезков.
- Владеть навыком выполнения аккуратного чертежа с обозначением параллельных прямых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в открытие нового свойства.
- Связывают точность геометрических измерений с практической деятельностью инженера, архитектора и конструктора.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило без подсказки.
- Формируют ответственное отношение к совместному результату группы.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель после анализа проблемной ситуации.
- Планируют действия: построить, измерить, сравнить отношения, сформулировать вывод.
- Осуществляют самоконтроль по чертежу, записям и эталону решения.
- Обнаруживают ошибку в соответствии отрезков и корректируют запись пропорции.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и билету на выход.
Познавательные УУД
- Актуализируют понятия отношения, пропорции, параллельных прямых и подобных треугольников.
- Выделяют существенные признаки фигуры на чертеже.
- Проводят измерительный эксперимент и фиксируют результаты в таблице.
- Устанавливают причинно-следственную связь между параллельностью прямых и равенством отношений.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью чертежа и буквенных обозначений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: выполняющий построение и проверяющий измерения.
- Формулируют уточняющие вопросы к рассуждению одноклассника.
- Используют математическую речь при объяснении соответствия отрезков.
- Аргументированно защищают гипотезу или указывают условие, при котором она неверна.
- Согласуют общий вывод группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель: угол, две параллельные прямые и изменяемые точки пересечения.
- Распечатать карточки исследовательской работы — по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одному комплекту на каждого ученика.
- Раздать на каждую парту линейку, карандаш, транспортир и лист в клетку.
- Вывести на доску таблицу: «отрезки», «длины», «отношения», «вывод».
- Подготовить слайд с обозначениями: угол $A$, точки $B$, $C$ на одном луче, точки $B_1$, $C_1$ на другом луче.
- Напечатать лист самооценки с пунктами «Я могу определить соответствующие отрезки», «Я могу составить пропорцию», «Я могу найти неизвестный отрезок».
- Подготовить эталон чертежа и решений для самопроверки после самостоятельной работы.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; подготовить маркеры двух цветов для выделения соответствующих отрезков.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране чертёж двух рамок, внутри которых проведены параллельные линии: «Сегодня мы начнём урок не с готового правила, а с небольшого исследования. Посмотрите на экран и представьте, что эти линии нанесены на архитектурный чертёж. Как понять, сохраняется ли соотношение частей при изменении масштаба? Запишите дату и оставьте место для темы». | Рассматривают изображения, называют возможные области применения: «чертежи», «карты», «строительство», записывают дату. |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Можно ли по двум известным отрезкам найти третий, если на чертеже есть параллельные прямые? Сегодня мы проверим это не на веру, а измерением и рассуждением. Каждый сможет предложить собственную гипотезу, а затем мы проверим её». | Формулируют предварительные предположения: «Наверное, нужно сравнить длины», «Возможно, отношения будут одинаковыми»; готовятся к исследованию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели практическую ситуацию, в которой важно не абсолютное расстояние, а соотношение частей. Теперь восстановим знания, которые помогут провести исследование».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия отношения, пропорции, параллельных прямых и подобных треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску выражения $6:3$ и $10:5$: «Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите в паре. Что можно сказать об этих отношениях? Как называется равенство двух отношений?» Учитель фиксирует ответы. | Решают в тетради, обсуждают в парах и формулируют: «Оба отношения равны 2», «Равенство двух отношений называется пропорцией». |
2 мин | Учитель показывает рисунок с параллельными прямыми: «Как обозначают параллельность? Какие углы называют соответственными? Что происходит с соответственными углами при пересечении параллельных прямых секущей?» | Отвечают: «Параллельность обозначают знаком $\parallel$», «Соответственные углы равны», показывают пары углов на рисунке. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос по известной связи: «Если из одной вершины провести две секущие и пересечь их одной прямой, какие треугольники можно рассматривать? Какие признаки позволяют говорить об их подобии?» | Называют треугольники с общей вершиной, отмечают равенство угла при вершине и соответствующих углов, предполагают: «Треугольники подобны по двум углам». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что пропорция связывает отношения, а параллельные прямые создают равные углы. Проверим, приведёт ли это к пропорциональности отрезков».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с чертежом: из вершины угла $A$ проведены два луча, на них отмечены точки $B$, $C$ и $B_1$, $C_1$; отрезки $B C$ и $B_1 C_1$ лежат на параллельных прямых. Учитель спрашивает: «Какие отрезки нужно сравнить? Можно ли сразу утверждать, что $AB:AC=AB_1:AC_1$? Что пока не позволяет нам это доказать?» | Подписывают элементы чертежа, отмечают соответствующие отрезки, отвечают: «Нужно сравнить расстояния от вершины», «Пока нет доказательства, есть только предположение». |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите цель исследования одним предложением. Затем объединитесь в пары и выберите наиболее точную формулировку. Нам нужно установить, какое свойство связывает отрезки на сторонах угла, если их концы лежат на параллельных прямых». | Индивидуально формулируют цель, обсуждают её в парах и предлагают классу: «Выяснить, равны ли отношения соответствующих отрезков, образованных параллельными прямыми». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нам нужно не угадать правило, а обнаружить и обосновать его. Переходим к измерительному исследованию».
Этап 4. Открытие нового знания: исследование (11 мин)
Цель этапа: через построение и измерение обнаружить свойство пропорциональных отрезков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт исследовательские карточки и объясняет инструкцию: «На чертеже уже проведены два луча с общей вершиной $A$ и две параллельные прямые. Измерьте отрезки $AB$, $AC$, $AB_1$, $AC_1$ с точностью до миллиметра. Запишите данные в таблицу. Один ученик измеряет, второй проверяет, затем поменяйтесь ролями». | В парах измеряют четыре отрезка линейкой, записывают значения в таблицу, повторно проверяют измерения. |
3 мин | Учитель направляет вычисления: «Теперь найдите отношения $AB:AB_1$ и $AC:AC_1$. Не округляйте слишком рано. Сравните результаты с соседней парой. Если числа немного отличаются, обсудите, связана ли разница с точностью измерительного инструмента». | Вычисляют два отношения, сравнивают результаты, отмечают близость значений и объясняют небольшое расхождение погрешностью измерения. |
3 мин | Учитель организует обсуждение: «Что оказалось одинаковым? Почему для сравнения мы брали именно отрезки, идущие от вершины угла к параллельным прямым? Какая фигура помогает объяснить наблюдение?» На доске выделяет соответствующие отрезки разными цветами. | Формулируют гипотезу: «Отношения соответствующих отрезков равны». Объясняют, что образуются два подобных треугольника, если соединить точки на параллельной прямой. |
2 мин | Учитель подводит к строгой записи: «Пусть $B C \parallel B_1 C_1$ в угле с вершиной $A$. Запишем наблюдение символами. Какие пропорции можно составить?» Учитель принимает варианты и уточняет соответствие сторон. | Записывают варианты: $\frac{AB}{AB_1}=\frac{AC}{AC_1}$ и $\frac{AB}{AC}=\frac{AB_1}{AC_1}$, объясняют, какие отрезки являются соответствующими. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки: $\frac{AB}{AB_1}=\frac{AC}{AC_1}$.» Ниже выполняют чертёж с общей вершиной $A$ и параллельными отрезками.
Эталон решения
Параллельность $BC\parallel B_1C_1$ даёт равенство соответствующих углов. Угол $A$ общий для треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Из подобия соответствующих сторон получаем $\frac{AB}{AB_1}=\frac{AC}{AC_1}$ и, при другом порядке записи, $\frac{AB}{AC}=\frac{AB_1}{AC_1}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Измерения помогли нам увидеть закономерность, а подобие объяснило её причину. Теперь проверим новое свойство на коротких задачах с проговариванием каждого шага».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить составлять пропорцию по чертежу и находить неизвестный отрезок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает чертёж: $B C\parallel B_1 C_1$, $AB=6$ см, $AB_1=9$ см, $AC=8$ см, требуется найти $AC_1$. Говорит: «Сначала назовите соответствующие отрезки. Затем составьте пропорцию, не подставляя числа вслепую. Объясните, почему именно такая запись допустима». | Называют соответствующие пары $AB$ и $AB_1$, $AC$ и $AC_1$, составляют $\frac{6}{9}=\frac{8}{x}$, находят $x=12$ см и проговаривают основание: «Параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки». |
2 мин | Учитель предлагает задачу для взаимопроверки: «На сторонах угла отмечены $AB=5$ см, $AC=7$ см, $AB_1=8$ см. Прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны. Найдите $AC_1$. Запишите сначала буквенную пропорцию». | Самостоятельно составляют $\frac{AB}{AB_1}=\frac{AC}{AC_1}$, получают $\frac{5}{8}=\frac{7}{x}$, находят $x=11{,}2$ см, сверяют решение в паре. |
2 мин | Учитель проводит приём «Две звезды и пожелание»: «Обменяйтесь тетрадями. Отметьте наличие чертежа, правильное соответствие отрезков и вычисление. Запишите две сильные стороны и один совет». | Проверяют работу партнёра по трём критериям, записывают комментарий: «Верно выбрана пропорция», «Нужно подписать единицы измерения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились переводить чертёж в пропорцию и находить неизвестный отрезок. Теперь каждый проверит, умеет ли выполнить такой алгоритм самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки выбора: «Выберите уровень, который позволит честно проверить себя. Уровень 1: по готовому чертежу составьте пропорцию. Уровень 2: найдите неизвестный отрезок в двух задачах. Уровень 3: объясните, почему нельзя составлять пропорцию, если прямые не параллельны. Работайте индивидуально». | Выбирают карточку, выполняют задания. На уровне 1 записывают две пропорции; на уровне 2 решают задачи; на уровне 3 формулируют условие применимости свойства. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: «Сначала сравните соответствующие отрезки, затем проверьте пропорцию и только после этого оцените вычисление. Ошибку не стирайте сразу: зачеркните неверный шаг и рядом запишите исправление». | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки условными знаками, исправляют неверные соответствия или вычисления, выставляют себе предварительный результат. |
Эталон решения
Для задачи $AB=4$ см, $AB_1=6$ см, $AC=10$ см, $AC_1=x$: $\frac{AB}{AB_1}=\frac{AC}{AC_1}$; $\frac{4}{6}=\frac{10}{x}$; $4x=60$; $x=15$ см. Проверка: $4:6=2:3$, $10:15=2:3$, отношения совпадают.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не вычисление, а неправильный выбор соответствующих отрезков. На финальном этапе сформулируем полный алгоритм и проверим, достигли ли цели».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить личный результат и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: «За одну минуту завершите три фразы: “Сегодня я понял…”, “Чтобы составить пропорцию, я сначала…”, “Мне нужно потренироваться в…”.» | Письменно завершают фразы, формулируют личный результат и затруднение. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «Можно ли по двум известным отрезкам найти третий? При каком обязательном условии? Ответьте полным предложением и запишите алгоритм из трёх шагов». | Отвечают: «Да, если отрезки образованы параллельными прямыми; нужно определить соответствующие отрезки, составить пропорцию, решить и проверить её». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: «Выберите уровень по готовности. В каждом решении обязательны чертёж, пропорция, вычисление и ответ с единицами. Перед выходом сдайте билет: сформулируйте свойство одной математической строкой». | Записывают домашнее задание, заполняют лист самооценки, сдают билет на выход с записью $\frac{AB}{AB_1}=\frac{AC}{AC_1}$. |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм: «1. Найти на чертеже соответствующие отрезки. 2. Составить пропорцию. 3. Решить её и проверить соответствие единиц измерения».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами обнаружили свойство пропорциональных отрезков, объяснили его через подобие треугольников и применили в задачах. Сохраните алгоритм: он понадобится при работе с подобными треугольниками и практическими чертежами».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены исследовательская таблица и не менее двух задач, правильно установлены соответствующие отрезки, составлены пропорции, приведено обоснование через параллельность или подобие; чертёж и записи аккуратны.
- «4» — правильно выполнены исследование и одна задача из двух либо допущена одна вычислительная ошибка при верно составленной пропорции; обоснование в основном полное.
- «3» — распознано условие параллельности и составлена хотя бы одна верная пропорция, но допущены ошибки в вычислениях или объяснении соответствия отрезков.
- Оценка может быть повышена на один балл при самостоятельном выполнении задания повышенного уровня с корректным обоснованием.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового свойства пропорциональных отрезков вы сегодня достигли самостоятельно? | Выявление осознанности открытия и понимания условия применимости свойства. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: выбор соответствующих отрезков, составление пропорции или вычисление? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверили, что составленная пропорция соответствует чертежу? | Проверка умения связывать математическую запись с геометрической моделью. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и автономии подростка. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы не получили правило в готовом виде, а открыли его через измерение, сравнение и доказательное рассуждение. Мы установили: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Самая частая ошибка — сравнить не соответствующие отрезки или забыть условие параллельности. На следующем уроке мы продолжим применять это свойство в более сложных задачах и свяжем его с подобием треугольников. Сохраните чертёж и алгоритм как опору для новой работы».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи по готовым чертежам на составление пропорции и нахождение неизвестного отрезка при условии параллельности прямых. В каждом решении записать соответствующие пары отрезков и выполнить проверку. | Закрепляет чтение чертежа и базовый алгоритм; при проверке смотреть на соответствие отрезков, запись пропорции и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: две на нахождение неизвестного отрезка и две на восстановление пропущенного условия или обозначения на чертеже. Одну задачу оформить с подробным объяснением через подобие треугольников. | Развивает применение свойства в изменённых условиях; при проверке оценивать полноту обоснования и аккуратность чертежа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о масштабе, плане помещения или чертеже конструкции, где используются пропорциональные отрезки. Представить чертёж, условие, решение и проверку пропорции. | Формирует умение создавать математическую модель и переносить геометрическое свойство в реальный контекст; при проверке смотреть на корректность условия и доказательность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие необходимо для применения свойства? Какие отрезки называют соответствующими? Какую пропорцию можно составить для чертежа с $BC\parallel B_1C_1$? Почему найденный отрезок нужно проверить?»
