Геометрические места точек. Свойства биссектрисы угла
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут формулировать определение ГМТ, доказывать свойство биссектрисы угла и применять его для решения задач на нахождение расстояний и построение.
- Образовательная задача: Ввести понятие геометрического места точек (ГМТ), изучить и доказать теорему о биссектрисе угла как о ГМТ.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического исследования, логическое мышление через доказательство от противного и умение работать с чертежными инструментами.
- Воспитательная задача: Формировать культуру ведения дискуссии и аккуратность при выполнении геометрических построений.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе гипотез и результатов исследования.
- Умение конструктивно взаимодействовать с учителем и сверстниками в процессе открытия нового знания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы на основе наблюдений.
- Регулятивные: способность самостоятельно ставить цели, планировать пути их достижения и осуществлять самоконтроль.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения и использовать речевые средства для выражения своих мыслей.
Предметные
- Знать определение геометрического места точек (ГМТ).
- Знать и уметь доказывать прямую и обратную теоремы о свойстве биссектрисы угла.
- Уметь находить расстояние от точки до прямой и использовать свойство биссектрисы при решении задач на построение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (внутренняя позиция школьника).
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Планирование последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими чертежами (GeoGebra или аналоги).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 шт.
- Подготовить демонстрационные инструменты: большой циркуль и линейка для доски.
- Проверить наличие у каждого ученика циркуля, линейки и транспортира.
- Заранее выписать на доске номера задач из учебника Атанасяна: № 674, № 676.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к новой теме через практическую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Здравствуйте! Представьте ситуацию: две прямые дороги пересекаются под углом. Нам нужно построить вышку сотовой связи так, чтобы она находилась на одинаковом расстоянии от обеих дорог. Где мы можем ее поставить? Только ли в одной точке? Сегодня мы станем исследователями и найдем ответ на этот вопрос с помощью геометрии." | Слушают учителя, представляют визуальную модель задачи. Выдвигают первые предположения: "Наверное, где-то посередине", "На линии, которая делит угол пополам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши догадки очень близки к истине. Чтобы доказать их математически, нам нужно познакомиться с новым понятием и вспомнить свойства уже известных фигур."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (биссектриса, расстояние от точки до прямой, признаки равенства прямоугольных треугольников).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Давайте вспомним: что такое биссектриса угла? Как мы определяем расстояние от точки до прямой?" Рисует на доске угол и точку вне сторон угла, просит показать расстояние. | Отвечают: "Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам". Один ученик у доски проводит перпендикуляр от точки к стороне угла, поясняя: "Расстояние — это длина перпендикуляра". |
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос: "Какие признаки равенства прямоугольных треугольников вы знаете? Поднимите зеленую карточку, если помните все четыре, и красную, если нужно повторить." | Поднимают карточки самооценки. Кратко перечисляют: по двум катетам, по катету и гипотенузе, по гипотенузе и острому углу, по катету и острому углу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, фундамент заложен. Теперь мы готовы к открытию нового термина — ГМТ."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие ГМТ и доказать свойство биссектрисы угла через исследовательскую деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель: "Запишите определение: Геометрическим местом точек называется множество всех точек, обладающих определенным свойством. Например, окружность — это ГМТ, равноудаленных от центра. А теперь проведем эксперимент. В тетрадях начертите произвольный угол, проведите его биссектрису. Отметьте на ней 3 любые точки и измерьте расстояние от них до сторон угла." | Записывают определение в тетрадь. Выполняют построение, проводят перпендикуляры к сторонам угла, измеряют их длину линейкой. |
8 мин | Учитель: "Что вы заметили? Сформулируйте гипотезу. Давайте докажем её строго. Рассмотрим угол BAC, биссектрису AM и точку L на ней. Проведем перпендикуляры LK и LH к сторонам. Почему треугольники AKL и AHL равны?" Направляет доказательство прямой и обратной теоремы. | Ученики: "Расстояния оказались равными!". Формулируют: "Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла". В тетрадях записывают доказательство: треугольники равны по гипотенузе (общая) и острому углу (так как AM — биссектриса). |
Запись в тетрадях
Теорема: 1) Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. 2) Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.
Вывод: Биссектриса угла есть ГМТ, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон.
Вывод: Биссектриса угла есть ГМТ, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали важное свойство. Теперь биссектриса для нас — не просто луч, а целое множество точек с уникальным свойством."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить полученные знания при решении типовых задач из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель: "Откройте учебник на странице 176, задача № 674. Прочитайте условие. Что нам дано? Как свойство биссектрисы поможет найти искомое расстояние?" Вызывает одного ученика к доске для оформления решения. | Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Ученик у доски: "Так как точка лежит на биссектрисе, расстояние до одной стороны равно расстоянию до другой. Значит, x = 5 см". Обсуждают логику вывода. |
Эталон решения (№ 674)
Дано: $\angle ABC$, $BD$ — биссектриса, $M \in BD$, $MK \perp AB$, $MK = 7$ см. Найти: расстояние от $M$ до $BC$.
Решение: По теореме о свойстве биссектрисы угла, любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Следовательно, расстояние от $M$ до $BC$ равно $MK = 7$ см.
Ответ: 7 см.
Решение: По теореме о свойстве биссектрисы угла, любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Следовательно, расстояние от $M$ до $BC$ равно $MK = 7$ см.
Ответ: 7 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Базовый принцип понятен. Теперь проверим, как вы справитесь с задачами разного уровня сложности самостоятельно."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная отработка навыка, дифференциация обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель раздает карточки: "Перед вами три уровня задач. Уровень А — базовый, Б — требует дополнительного построения, В — логическая задача на ГМТ. Выберите тот уровень, который вам по силам, но я советую попробовать прыгнуть чуть выше головы. На работу 6 минут, затем сверяемся с ответами на слайде." | Выбирают уровень сложности и решают задачи. После сигнала учителя сверяют свои ответы с эталоном на экране, отмечают ошибки, если они есть. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки, кто справился с уровнем Б и В? Молодцы! Ошибки в уровне А — это сигнал, что нужно еще раз перечитать формулировку теоремы."
Этап 6. Включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: показать связь темы с будущими темами (вписанная окружность).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: "А теперь представьте треугольник. Если мы проведем биссектрисы всех трех углов, они пересекутся в одной точке. Как вы думаете, каким свойством будет обладать эта точка относительно всех сторон треугольника?" Демонстрирует анимацию в GeoGebra. | Ученики наблюдают за анимацией, делают вывод: "Эта точка будет равноудалена от всех трех сторон треугольника!". Учитель подтверждает: "Именно в этой точке будет центр вписанной окружности, но об этом подробнее на следующем уроке". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Геометрия — это система, где одно маленькое свойство открывает двери к большим теоремам."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: "Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, 'Билет на выход': ответьте на один вопрос: 'Где в реальной жизни нам может пригодиться знание о ГМТ?' Запишите домашнее задание." | Пишут краткий ответ на вопрос (например: 'в дизайне', 'в навигации', 'при планировке участка'). Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Ученик верно выполнил все построения в исследовательской части, доказал теорему без ошибок, решил задачу уровня В или две задачи уровня Б.
- "4" — Ученик верно выполнил построения, доказал теорему с небольшими подсказками, решил задачи уровня А и Б.
- "3" — Ученик выполнил построения, знает формулировку теоремы, решил только задачу уровня А с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие в определении ГМТ кажется вам самым важным? | Проверка глубины понимания логической структуры определения. |
Что было сложнее: доказать прямую теорему или обратную? | Выявление затруднений в логических цепочках доказательства. |
Сможете ли вы теперь объяснить инженеру, где ставить вышку связи? | Оценка осознания практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили важное открытие. Мы увидели, что за привычной линией — биссектрисой — скрывается строгий математический закон равноудаленности. Этот закон — ключ к пониманию красоты и симметрии в геометрии. На следующем уроке мы используем этот ключ, чтобы научиться вписывать окружности в треугольники. Спасибо за активную работу, вы сегодня были настоящими исследователями!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 73, № 675 | Выучить формулировки и доказательство теоремы, решить задачу на прямое применение свойства. |
Средний (повышающий) | № 678 (а) | Задача на построение ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти и сфотографировать (или нарисовать) примеры использования биссектрисы в архитектуре вашего города. |