Подобие треугольников: от теоремы Фалеса к вершинам геометрии
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут сформулировать три признака подобия треугольников и применить их для нахождения неизвестных элементов фигур в задачах разной сложности.
- Образовательная задача: Выявить связь между теоремой Фалеса, средней линией и признаками подобия треугольников.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления через установление причинно-следственных связей в геометрических моделях.
- Воспитательная задача: Формировать культуру доказательного рассуждения и навыки конструктивного сотрудничества в парах.
- Профориентационная задача: Продемонстрировать применение подобия в картографии, архитектуре и физике (понятие центра масс).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать обобщения, устанавливать аналогии, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций.
Предметные
- Знать определения подобных треугольников и коэффициента подобия.
- Уметь доказывать и применять три признака подобия треугольников.
- Понимать свойство медиан треугольника (точка пересечения — центр масс) как следствие подобия.
- Уметь находить среднюю линию треугольника и использовать её свойства в задачах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие геометрической интуиции.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в учебнике и цифровых ресурсах.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для игры «Геометрическое лото» (15 комплектов — по одному на парту).
- Подготовить интерактивную модель в GeoGebra «Изменение сторон подобных треугольников».
- Проверить работу проектора и наличие интернет-соединения для демонстрации видео-фрагмента о Фалесе.
- Подготовить три листа формата А3 и маркеры для работы групп над «Центром масс».
- Распечатать «Билеты на выход» с задачей-минуткой (30 шт).
- Учебник: Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9», открыть закладки на стр. 138-142.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и «Крючок» (4 мин)
Цель этапа: вызвать интерес к теме через исторический контекст и проблему измерения недоступных объектов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начинаем путешествие, которое началось 2600 лет назад. Представьте: Египет, палящее солнце, и Фалес Милетский, который смог измерить высоту пирамиды Хеопса, просто воткнув палку в песок. Как вы думаете, как он это сделал, не забираясь на вершину?» Учитель выводит на экран изображение пирамиды и её тени. | Слушают, рассматривают изображение. Выдвигают гипотезы: «Он измерил тень», «Он использовал пропорции», «Он дождался времени, когда тень равна росту человека». |
2 мин | «Верно! Фалес использовал идею подобия. Сегодня мы станем такими же детективами и откроем законы, по которым живут все "уменьшенные копии" в геометрии. Запишите тему урока: "Подобные треугольники". Наша цель — вывести правила, по которым мы сможем доказать подобие любой пары треугольников». | Записывают число и тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Но чтобы строить новое, нужно проверить фундамент. Вспомним теорему Фалеса».
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Геометрическое лото» (6 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (пропорциональные отрезки, теорема Фалеса, средняя линия) в игровой форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «У вас на партах конверты. В них — карточки с вопросами и ответами. Ваша задача в парах — сопоставить начало утверждения и его конец. Например: "Средняя линия треугольника..." — "...параллельна стороне и равна её половине". Кто соберет все 6 пар первым — получает бонусный балл к сегодняшней работе». | Работают в парах. Сопоставляют карточки: теорема Фалеса, определение пропорциональных отрезков, свойства параллельных прямых. |
2 мин | Учитель проверяет результаты: «Итак, пара №3 была первой. Давайте сверимся. Прочитайте формулировку теоремы о пропорциональных отрезках». Учитель фиксирует на доске формулу: a/b = c/d. | Озвучивают собранные правила. Сверяют свои результаты с эталоном на слайде. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «База готова. Но теорема Фалеса говорит только о боковых сторонах угла. А что если нам нужно сравнить основания треугольников? Здесь Фалес бессилен, и на сцену выходит Подобие».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую деятельность в ИКТ-среде вывести признаки подобия треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Посмотрите на экран. Перед вами в программе GeoGebra два треугольника. Я меняю углы одного — меняются углы другого. Я растягиваю стороны — треугольник растет. Обратите внимание на отношение сторон. Что вы замечаете?» Учитель демонстрирует, как при равенстве двух углов отношения всех трех пар сторон остаются одинаковыми. | Наблюдают за динамической моделью. Замечают: «Отношения сторон всегда равны одному числу», «Если углы равны, то форма одинаковая, только размер разный». |
7 мин | «Откройте учебник на странице 139. Найдите формулировку первого признака подобия. Прочитайте её про себя. Теперь обсудите в паре: чем признак подобия отличается от признака равенства? Запишите в тетрадь краткие схемы трех признаков: 1) по двум углам, 2) по двум сторонам и углу, 3) по трем сторонам». | Читают учебник, обсуждают различия (в равенстве — стороны равны, в подобии — пропорциональны). Зарисовывают схемы-шпаргалки в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, если:
- 1) ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (по двум углам)
- 2) AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁, ∠A = ∠A₁ (по двум сторонам и углу)
- 3) AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁ (по трем сторонам)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть три мощных инструмента. Давайте проверим их в деле, но сначала — небольшая разминка для мозга и тела».
Этап 4. Физкультминутка «Геометрическая йога» (2 мин)
Цель этапа: физическая разрядка и закрепление понятий через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Покажите руками "Параллельные прямые". Теперь покажите "Пересекающиеся прямые". А теперь самое сложное: покажите руками угол 90 градусов, а теперь — два "Подобных угла" (они должны быть равны!). Потянитесь вверх, как будто вы — вершина равнобедренного треугольника, и плавно опуститесь». | Выполняют упражнения, имитируя геометрические объекты руками и телом. Улыбаются, разминаются. |
Этап 5. Первичное закрепление. Задания разной сложности (8 мин)
Цель этапа: отработка навыка применения признаков подобия на задачах разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «На доске три задачи. Уровень А (базовый) — найти сторону по двум углам. Уровень Б (средний) — доказать подобие через общую вершину. Уровень В (сложный) — задача с практическим содержанием: найти высоту дерева по его тени. Выберите одну задачу, которая вам по силам, и решите её в тетради. Учебник стр. 142, №550 — как подсказка для уровня Б». | Выбирают уровень сложности. Самостоятельно решают. Те, кто выбрал уровень В, обсуждают решение с учителем шепотом. Сверяют ответы с эталоном, который учитель открывает на закрытой части доски через 5 минут. |
Эталон решения (Уровень В)
Пусть $h$ — высота дерева, $s = 6$ м — его тень. Рост человека $H = 1.8$ м, его тень $S = 2$ м. Треугольники подобны по 2 углам (прямой угол и угол падения лучей солнца). Составляем пропорцию: $\frac{h}{H} = \frac{s}{S} \Rightarrow h = \frac{1.8 \cdot 6}{2} = 5.4$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Подобие помогает не только измерять деревья, но и находить баланс. Переходим к физике в геометрии».
Этап 6. Включение в систему знаний. Центр масс (8 мин)
Цель этапа: показать межпредметную связь с физикой и свойство медиан треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Ребята, вы знали, что у любого треугольника есть точка, на которой он может балансировать на кончике иглы? В физике это центр масс, а в геометрии — точка пересечения медиан. Используя подобие треугольников, математики доказали, что медианы делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Посмотрите на чертеж на слайде». | Слушают, делают набросок треугольника с медианами в тетради. Отмечают отрезки в отношении $2x$ и $x$. |
4 мин | Учитель раздает группам по 4 человека картонные треугольники и булавки: «Попробуйте найти точку пересечения медиан на глаз, а потом проверьте её, проведя медианы. Удастся ли вам удержать треугольник на булавке?» | Экспериментируют. Проводят медианы, находят точку пересечения, пытаются сбалансировать фигуру. Убеждаются в верности геометрического правила. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Геометрия — это не просто цифры, это законы равновесия нашего мира. Пора подводить итоги».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить уровень усвоения материала и поставить задачи на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, "Билет на выход". На нем один вопрос: "В каком случае треугольники точно НЕ будут подобны?". И оцените свою работу сегодня: выберите смайлик на полях тетради». Учитель собирает карточки. | Пишут ответ на вопрос (например: «если углы не равны», «если стороны не пропорциональны»). Рисуют смайлик самооценки. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням, выберите тот, который заставит вас немного подумать, но не введет в уныние». | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно решена задача уровня В или две задачи уровня А и Б, дано логическое обоснование признака подобия.
- «4» — Верно решены задачи уровня А и Б, но допущены неточности в оформлении или записи пропорций.
- «3» — Верно решена только задача уровня А, или предпринята попытка решения уровня Б с грубыми ошибками в вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак подобия показался вам самым простым и почему? | Выявление наиболее усвоенного логического алгоритма. |
Где в реальной жизни, кроме измерения деревьев, нам может пригодиться подобие? | Оценка понимания практической значимости темы (масштаб, чертежи). |
Что вызвало затруднение при работе с «центром масс»? | Диагностика проблем с пространственным мышлением или точностью построений. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы отлично поработали в роли исследователей. Мы прошли путь от древних египетских пирамид до современных законов физики. Помните, что подобие — это не только про треугольники, это про умение видеть общее в разном. Если сегодня у вас что-то не получилось с пропорциями — не беда, на следующем уроке мы закрепим это на практике решения сложных задач ОГЭ. Спасибо за урок, свободны!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 143, №552 (а, в), №559 | Отработка первого признака подобия и свойства средней линии. |
Средний (повышающий) | №560, подготовить краткое сообщение «Подобие в архитектуре моего города» | Применение подобия в нестандартных ситуациях и поиск межпредметных связей. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить задачу: «Доказать, что точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1» (письменно) | Самостоятельное доказательство сложной теоремы для развития логики. |
Контрольный вопрос: «Если все стороны одного треугольника в 3 раза больше сторон другого, будут ли эти треугольники подобны? По какому признаку?»