Многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Четырехугольники
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие выпуклого многоугольника, вывести формулу суммы углов выпуклого n-угольника и научиться применять её при решении практических задач.
- Образовательная задача: Познакомить с определениями многоугольника, его элементов, выпуклого и невыпуклого многоугольника; вывести формулу (n-2)*180°.
- Развивающая задача: Развивать навыки абстрактного мышления через переход от конкретных фигур к общей формуле, формировать умение анализировать и сравнивать свойства фигур.
- Воспитательная задача: Формировать культуру графического труда и ответственное отношение к выбору уровня сложности заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Осознание важности геометрии в архитектуре и дизайне.
Метапредметные
- Умение самостоятельно ставить цели и планировать пути их достижения.
- Навыки смыслового чтения при работе с текстом учебника.
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Способность организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения многоугольника, выпуклого многоугольника, четырехугольника.
- Уметь выводить формулу суммы углов выпуклого многоугольника.
- Уметь вычислять количество сторон или сумму углов по заданным параметрам.
- Владеть навыками построения геометрических фигур и обозначения их элементов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Нравственно-этическая ориентация: оценка усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями архитектурных объектов (соты, Пентагон, витражи).
- Распечатать карточки для практической работы (исследовательские листы) — 15 экземпляров (на парту).
- Подготовить набор чертежных инструментов для демонстрации на доске (линейка, угольник).
- Проверить наличие учебников Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9» у каждого ученика.
- Заранее начертить на скрытой части доски выпуклый и невыпуклый пятиугольники.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через визуальные образы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Посмотрите на экран. Перед вами фотографии: пчелиные соты, здание Пентагона, узоры на футбольном мяче и витражи собора. Что объединяет все эти объекты с точки зрения геометрии?" | Рассматривают изображения, отвечают: "Они состоят из многоугольников", "Везде есть углы и стороны", "Это сложные фигуры". |
2 мин | "Верно. Мы привыкли работать с треугольниками, но мир вокруг нас гораздо сложнее. Сегодня мы станем исследователями и узнаем законы, по которым строятся любые многоугольники. Как вы думаете, можно ли вычислить сумму всех углов фигуры, у которой их, скажем, сто, не используя транспортир?" | Выдвигают гипотезы: "Наверное, есть формула", "Можно разбить на части", "Это невозможно измерить вручную". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы сами выведем этот закон. Запишите тему урока: 'Многоугольники'."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия и выявить границу между знанием и незнанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним: что такое ломаная? Из чего она состоит? Какие бывают ломаные? Посмотрите на доску, здесь изображены несколько фигур. Какие из них являются многоугольниками? Почему?" | Отвечают: "Ломаная состоит из отрезков", "Отрезки называются звеньями". Указывают на фигуры, объясняя, что многоугольник — это простая замкнутая ломаная. |
2 мин | "Хорошо. Сумму углов треугольника мы знаем — это 180 градусов. А чему равна сумма углов четырехугольника? А пятиугольника? Можете ли вы прямо сейчас назвать точное число для любого n-угольника?" | Для четырехугольника отвечают: "360 градусов". Для пятиугольника и n-угольника затрудняются ответить точно. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы знаем сумму углов только для треугольника и интуитивно для четырехугольника. Нам нужен универсальный инструмент."
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (12 мин)
Цель этапа: через практическую деятельность (разбиение на треугольники) вывести формулу суммы углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Применим прием 'Геометрический конструктор'. У вас на столах лежат листы с изображением четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника. Задание: из одной вершины проведите все возможные диагонали. На сколько треугольников разбилась каждая фигура? Заполните таблицу в листе." | Работают в парах. Проводят диагонали, считают треугольники. Фиксируют: 4-угольник — 2 треугольника, 5-угольник — 3, 6-угольник — 4. |
4 мин | "Посмотрите на результаты. Есть ли закономерность между количеством сторон (n) и количеством полученных треугольников? Если в каждом треугольнике 180 градусов, как найти общую сумму углов многоугольника?" | Замечают закономерность: "Треугольников всегда на 2 меньше, чем сторон". Формулируют: "Нужно (n-2) умножить на 180". |
4 мин | "Откройте учебник на странице 113. Найдите определение выпуклого многоугольника. Посмотрите на мои рисунки на доске. Почему один из них мы называем выпуклым, а другой — нет? Прочитайте правило 'лежания по одну сторону от прямой'." | Читают учебник. Один ученик у доски пробует провести прямые через стороны фигур. Делают вывод: в выпуклом вся фигура остается с одной стороны от любой прямой, содержащей его сторону. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Сумма углов выпуклого n-угольника: S = (n - 2) * 180°.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Теория для учеников и чертежи
Теория для учеников
1. Многоугольник
Многоугольник — это простая замкнутая ломаная. Отрезки, из которых она состоит, называются сторонами, их концы — вершинами. Угол многоугольника образован двумя соседними сторонами. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется диагональю.
2. Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если хотя бы одна сторона разделяет многоугольник на части, многоугольник невыпуклый.
3. Сумма углов выпуклого многоугольника
Из одной вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали к несоседним вершинам. Они разбивают многоугольник на n − 2 треугольника. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180°, сумма углов выпуклого n-угольника равна: S = (n − 2) · 180°.
4. Частные случаи
Треугольник: S = (3 − 2) · 180° = 180°.
Четырёхугольник: S = (4 − 2) · 180° = 360°.
Пятиугольник: S = (5 − 2) · 180° = 540°.
Чертежи-схемы
1) Четырёхугольник: из одной вершины проведена 1 диагональ — получились 2 треугольника.
2) Пятиугольник: из одной вершины проведены 2 диагонали — получились 3 треугольника.
3) Шестиугольник: из одной вершины проведены 3 диагонали — получились 4 треугольника.
На чертеже обозначьте вершины буквами A, B, C, D, E, F; диагонали проведите пунктиром.
1. Многоугольник
Многоугольник — это простая замкнутая ломаная. Отрезки, из которых она состоит, называются сторонами, их концы — вершинами. Угол многоугольника образован двумя соседними сторонами. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется диагональю.
2. Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если хотя бы одна сторона разделяет многоугольник на части, многоугольник невыпуклый.
3. Сумма углов выпуклого многоугольника
Из одной вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали к несоседним вершинам. Они разбивают многоугольник на n − 2 треугольника. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180°, сумма углов выпуклого n-угольника равна: S = (n − 2) · 180°.
4. Частные случаи
Треугольник: S = (3 − 2) · 180° = 180°.
Четырёхугольник: S = (4 − 2) · 180° = 360°.
Пятиугольник: S = (5 − 2) · 180° = 540°.
Чертежи-схемы
1) Четырёхугольник: из одной вершины проведена 1 диагональ — получились 2 треугольника.
2) Пятиугольник: из одной вершины проведены 2 диагонали — получились 3 треугольника.
3) Шестиугольник: из одной вершины проведены 3 диагонали — получились 4 треугольника.
На чертеже обозначьте вершины буквами A, B, C, D, E, F; диагонали проведите пунктиром.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула получена. Теперь проверим её в деле."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка применения формулы на стандартных задачах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Работаем с учебником. Решаем №364 (а, б). Нужно найти сумму углов выпуклого семиугольника и десятиугольника. Кто пойдет к доске для первого примера?" | Ученик у доски: "n=7, S = (7-2)*180 = 5*180 = 900 градусов". Класс записывает в тетради. |
4 мин | "А теперь обратная задача. Сумма углов многоугольника равна 1800 градусов. Сколько у него сторон? Как мы будем решать это уравнение?" | Ученики предлагают: "Нужно составить уравнение: (n-2)*180 = 1800". Решают: n-2 = 10, n = 12. Ответ: двенадцатиугольник. |
Эталон решения
Задача: Найти сумму углов 12-угольника.
Решение:
1) n = 12
2) S = (12 - 2) * 180° = 10 * 180° = 1800°
Ответ: 1800°.
Решение:
1) n = 12
2) S = (12 - 2) * 180° = 10 * 180° = 1800°
Ответ: 1800°.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились считать и в ту, и в другую сторону. Пора проверить себя."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Предлагаю вам выбрать уровень сложности задания. Вариант 1 (Базовый): найти сумму углов 15-угольника. Вариант 2 (Продвинутый): существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1000 градусов? Обоснуйте ответ." | Выбирают вариант и решают. Для Варианта 2 делают вывод: "1000 не делится на 180 нацело, значит, такого многоугольника не существует, так как n должно быть целым число". |
2 мин | "Посмотрите на эталон на доске (открывает закрытую часть). Сверьте свои расчеты. Поднимите руку, кто не допустил ни одной ошибки." | Сверяют решения, проводят самооценку, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки — это путь к знанию. Главное, что мы поняли принцип работы формулы."
Этап 6. Включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: рассмотреть частный случай — четырехугольники и подготовить почву для следующих уроков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Самый популярный многоугольник после треугольника — это четырехугольник. Посмотрите на №365. В четырехугольнике три угла равны по 100 градусов. Найдите четвертый угол. Как знание суммы углов помогает нам в быту, например, при укладке плитки или в строительстве?" | Решают: 360 - 300 = 60 градусов. Обсуждают: "Если углы не сойдутся в 360, будут щели", "Паркет должен плотно прилегать". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Четырехугольники — огромная семья (параллелограммы, ромбы, квадраты), которую мы начнем изучать со следующего урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте воспользуемся приемом 'Светофор'. Поднимите зеленую карточку, если вы поняли, как выводится формула и можете её применить. Желтую — если понимаете, но нужно еще потренироваться. Красную — если тема осталась темным лесом." | Поднимают карточки, анализируют свое состояние. |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням сложности. Обратите внимание на творческое задание для желающих." | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Ученик верно вывел формулу, решил все задачи самостоятельной работы без ошибок, обосновал невозможность существования многоугольника в продвинутом задании.
- "4" — Формула записана верно, допущена одна вычислительная ошибка в задачах или есть неточность в определении выпуклого многоугольника.
- "3" — Ученик знает формулу, но затрудняется в её применении к обратным задачам (нахождение n), выполнил только базовый уровень самостоятельной работы с подсказками.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую закономерность мы сегодня 'взломали'? | Проверка осознания выведенной формулы. |
В какой момент урока вы почувствовали себя уверенно? | Выявление эмоционально комфортных этапов обучения. |
Где в жизни вам может встретиться сумма углов многоугольника? | Оценка понимания практической значимости предмета. |
Завершающее слово учителя
"Ребята, сегодня вы проделали путь от простых наблюдений до серьезной математической формулы. Геометрия — это не только сухие цифры, это язык, на котором говорит природа и архитектура. Мы только начали изучать многоугольники, и впереди нас ждут удивительные свойства четырехугольников. Если сегодня что-то не получилось — не расстраивайтесь, на следующем уроке мы закрепим успех. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 39-41, №364 (в, г), №365 | Выучить определения и формулу, решить задачи на прямое применение. |
Средний (повышающий) | №367, №370 | Задачи на логику и нахождение количества сторон через сумму внешних углов (попробовать разобраться самостоятельно). |
Продвинутый (дополнительный) | Проект 'Геометрия в моем городе' | Сфотографировать 3 объекта городской среды, представляющих собой выпуклые многоугольники, и рассчитать сумму их углов. |
Контрольный вопрос: Чему равна сумма углов выпуклого 102-угольника? (Ответьте устно перед выходом из класса).