Многоугольники. Выпуклые многоугольники
Цели и задачи
- Цель: К концу урока ученики смогут дать определение многоугольника и его элементов, классифицировать их на выпуклые и невыпуклые, а также самостоятельно вывести и применить формулу суммы углов выпуклого n-угольника.
- Образовательная задача: Сформировать понятия: вершина, сторона, диагональ, периметр многоугольника; вывести формулу суммы углов.
- Развивающая задача: Развивать навыки дедуктивного мышления, умение находить закономерности и работать в команде через приём «Think-Pair-Share».
- Воспитательная задача: Показать практическую значимость геометрии в архитектуре и дизайне, поддерживая познавательный интерес подростков.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления через анализ геометрических объектов.
- Осознание эстетической ценности геометрических форм в окружающем мире.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы на основе индукции.
- Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели обучения и планировать пути их достижения.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, аргументировать свою позицию.
Предметные
- Знать определения многоугольника, выпуклого многоугольника, диагонали.
- Уметь распознавать выпуклые и невыпуклые многоугольники на чертежах.
- Владеть навыком вычисления суммы углов произвольного выпуклого n-угольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Нравственно-этическая ориентация в рамках учебного сотрудничества.
- Формирование научного мировоззрения.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль процесса выполнения заданий.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника.
- Моделирование (переход от реальных объектов к геометрическим абстракциям).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Интеграция в группу сверстников и построение продуктивного взаимодействия.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями пчелиных сот, Пентагона, современных архитектурных объектов.
- Распечатать рабочие листы с набором различных многоугольников (выпуклых и невыпуклых) для классификации — 15 экз. (на парту).
- Подготовить набор моделей многоугольников из картона для демонстрации.
- Выписать на доске ключевые понятия: «Ломаная», «Замкнутая», «Звено», «Смежные стороны».
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтересовать учеников через визуальный ряд и проблемный вопрос.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начинаем новую большую главу. Посмотрите на экран. Вы видите пчелиные соты, здание министерства обороны США — Пентагон, и современные витражи. Что общего у этих объектов с точки зрения геометрии? Почему природа и архитекторы выбирают именно такие формы? Сегодня мы не просто изучим эти фигуры, мы научимся понимать их внутреннюю логику. Готовы стать исследователями?» | Ученики рассматривают слайды, отвечают: «Везде есть углы и стороны», «Это фигуры, состоящие из отрезков», «Они замкнутые». Включаются в диалог, настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно, все эти объекты — многоугольники. Но что именно делает фигуру многоугольником? Давайте разберемся.»
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия о ломаных линиях и подвести к определению многоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте вспомним 7 класс. На доске изображены три линии: разомкнутая ломаная, замкнутая ломаная с самопересечением и простая замкнутая ломаная. Какая из них может стать каркасом для многоугольника? Почему? Вспомните определение простой ломаной. Теперь попробуйте сформулировать: что такое многоугольник? Запишите свое определение в тетрадь, а потом сравним с учебником на странице 112.» | Ученики анализируют рисунки на доске. Отвечают: «Простая замкнутая ломаная». Пытаются сформулировать определение: «Фигура, ограниченная замкнутой линией». Открывают учебник, находят определение и сверяют его со своими записями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, многоугольник — это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют общих точек. Но все ли они одинаковы?»
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: столкнуть учеников с необходимостью классификации многоугольников на выпуклые и невыпуклые.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздает рабочие листы с изображениями 6 многоугольников. «Ребята, посмотрите на фигуры №3 и №5. Они странные, правда? Одна как будто "вмята" внутрь. Геометрия делит их на два лагеря. Попробуйте провести прямую через любую сторону фигуры. Что вы заметили? В одном случае вся фигура остается по одну сторону от прямой, в другом — нет. Как бы вы назвали эти группы?» | Ученики берут линейки, проводят прямые через стороны фигур. Обнаруживают различие. Предлагают варианты: «Правильные и неправильные», «Ровные и кривые». Учитель вводит термины: «Выпуклые» и «Невыпуклые». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В школьном курсе геометрии мы будем изучать преимущественно выпуклые многоугольники. А теперь главный вопрос урока: как узнать сумму всех внутренних углов такого многоугольника, не измеряя их транспортиром?»
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую деятельность в парах вывести общую формулу суммы углов многоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Применим приём "Think-Pair-Share". Сначала подумайте сами: мы знаем сумму углов треугольника. Она равна 180 градусам. А если у нас четырехугольник? Пятиугольник? Как свести задачу к уже известной?» | Ученики думают индивидуально, делают наброски в тетрадях. |
5 мин | «Теперь обсудите в парах. Попробуйте разбить ваши многоугольники на треугольники, проводя диагонали из одной вершины. Заполните таблицу в рабочем листе: количество сторон (n) — количество получившихся треугольников — общая сумма углов.» | Работают в парах. Чертят диагонали. Замечают: в 4-угольнике 2 треугольника ($2 \cdot 180 = 360$), в 5-угольнике — 3 треугольника ($3 \cdot 180 = 540$), в 6-угольнике — 4. |
5 мин | «Давайте поделимся результатами. Какую закономерность вы видите между числом сторон $n$ и числом треугольников? Кто готов вывести общую формулу?» Учитель записывает формулу на доске после предложений учеников. | Представители пар выходят к доске. Формулируют вывод: «Количество треугольников всегда на 2 меньше, чем число сторон. Значит, формула будет $(n - 2) \cdot 180^\circ$». Записывают формулу в тетрадь. |
Эталон решения (вывод формулы)
1. Возьмем выпуклый $n$-угольник. 2. Выберем одну вершину и проведем из неё все возможные диагонали. 3. Количество диагоналей будет $(n - 3)$. 4. Эти диагонали разделят многоугольник на $(n - 2)$ треугольника. 5. Сумма углов многоугольника равна сумме углов всех этих треугольников. 6. Итого: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поздравляю, вы только что совершили математическое открытие! Эта формула — ключ к решению множества задач.»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык применения формулы на типовых задачах с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Давайте проверим формулу в деле. Задача 1: Найдите сумму углов выпуклого семиугольника. Задача 2: Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 900 градусов? Если да, то сколько у него сторон? Кто хочет прокомментировать решение у доски?» | Ученики решают в тетрадях. Один ученик у доски комментирует: «Для семиугольника $n=7$. Подставляем в формулу: $(7-2) \cdot 180 = 5 \cdot 180 = 900$ градусов». Второй ученик решает уравнение: $(n-2) \cdot 180 = 900$; $n-2 = 5$; $n=7$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, мы научились работать с формулой в обе стороны: искать сумму по количеству углов и наоборот.»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала и коррекция ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Сейчас небольшая самостоятельная работа. У вас на столах карточки с двумя уровнями сложности. Выберите один и выполните задания.
Уровень А: Сумма углов 12-угольника.
Уровень Б: В выпуклом пятиугольнике все углы равны. Найдите величину одного угла.» | Ученики выбирают уровень и самостоятельно решают задачи. Уровень А: $(12-2) \cdot 180 = 1800^\circ$. Уровень Б: $((5-2) \cdot 180) / 5 = 540 / 5 = 108^\circ$. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран. «Сверьте свои результаты с эталоном. Если у вас все верно, поставьте на полях знак "+". Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять, где ошиблись: в формуле или в вычислениях.» | Проводят самопроверку, фиксируют результаты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство справилось. Тем, у кого возникли трудности с вычислениями, нужно быть внимательнее при умножении на 180.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить свою деятельность и получить инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к началу: почему же пчелы строят соты в форме шестиугольников? (Подсказка: это связано с площадью и периметром, о чем мы поговорим позже, но сегодня мы узнали их углы). Что нового вы сегодня открыли для себя? Что было самым трудным?» | Ученики отвечают: «Узнали формулу суммы углов», «Поняли разницу между выпуклым и невыпуклым многоугольником», «Трудно было выводить формулу, но с треугольниками стало ясно». |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание, акцентируя внимание на творческом пункте. Прощается с классом. | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно определил вид всех многоугольников на рабочем листе, правильно вывел формулу и решил обе задачи самостоятельной работы без ошибок.
- «4» — допущены незначительные вычислительные ошибки в самостоятельной работе, но алгоритм применения формулы и классификация выполнены верно.
- «3» — ученик понимает разницу между выпуклым и невыпуклым многоугольником, но затрудняется в применении формулы суммы углов или допускает грубые ошибки в выводе.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую «скрытую» фигуру мы использовали, чтобы найти сумму углов любого многоугольника? | Проверка осознания метода триангуляции как способа решения сложных задач через простые. |
Где в жизни, кроме архитектуры, ты встречал выпуклые многоугольники? | Связь с жизненным опытом и развитие наблюдательности. |
Оцени свою работу на уроке: я был «исследователем», «слушателем» или «помощником»? | Субъективная оценка уровня вовлеченности и позиции в групповой работе. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы отлично поработали и доказали, что геометрия — это не просто набор сухих правил, а инструмент для понимания мира. Мы узнали, как устроены многоугольники изнутри. На следующем уроке мы познакомимся с их внешними углами и узнаем, есть ли там такая же красивая закономерность. Спасибо за урок, до свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 114, №364, №365 | Закрепление навыка использования формулы суммы углов для конкретных n-угольников. |
Средний (повышающий) | №370 | Задача на нахождение количества сторон многоугольника по известной сумме углов (работа с уравнением). |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание «Геометрия в городе» | Сфотографировать или нарисовать 3 примера выпуклых многоугольников в архитектуре вашего города и рассчитать сумму их углов. |