Тригонометрические функции острого угла и основное тригонометрическое тождество
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывести основное тригонометрическое тождество и научить применять эти знания при решении геометрических задач.
- Образовательная задача: Познакомить с определениями sin, cos, tg, научить находить их значения по сторонам треугольника и доказать тождество sin²α + cos²α = 1.
- Развивающая задача: Развивать навыки абстрактного мышления, умение анализировать зависимости между величинами и устанавливать причинно-следственные связи.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи, настойчивость в поиске решения и интерес к применению геометрии в смежных науках (физика, астрономия).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Понимание значимости математики как универсального языка науки.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели своего обучения и планировать пути их достижения.
- Навыки работы с информацией: извлечение необходимых данных из текста учебника и графических моделей.
- Развитие коммуникативной компетенции через работу в парах.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
- Уметь записывать тригонометрические соотношения для конкретного треугольника.
- Владеть навыком вывода и применения основного тригонометрического тождества.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
Познавательные УУД
- Построение логической цепи рассуждений, доказательство гипотез.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежами прямоугольных треугольников и интерактивной моделью в GeoGebra.
- Распечатать карточки для парной работы (задания на нахождение sin, cos, tg) — 15 экземпляров.
- Проверить наличие мела/маркеров и линеек-треугольников для работы у доски.
- Заложить закладки в учебнике Атанасяна на стр. 155-159.
- Подготовить видеофрагмент (1 мин) о применении тригонометрии в навигации.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня на уроке мы начинаем восхождение на одну из самых красивых вершин геометрии — тригонометрию. Само слово звучит загадочно, не так ли? Проверьте, готовы ли вы к походу: на столах должны быть учебники Атанасяна, тетради, линейки и, конечно, ваше внимание." | Приветствуют учителя, проверяют наличие необходимых принадлежностей, настраиваются на работу. |
2 мин | "Знаете ли вы, как древние мореплаватели находили путь в открытом океане или как астрономы измеряли расстояние до Луны, не покидая Земли? Все эти великие открытия стали возможны благодаря связи между углами и сторонами треугольника. Сегодня мы узнаем 'имена' этих связей. Приём 'Крючок': посмотрите на слайд — перед вами египетская пирамида. Как измерить её высоту, зная только длину тени и угол наклона солнца?" | Слушают учителя, рассматривают слайд с пирамидой, высказывают предположения (например, использовать подобие треугольников). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши догадки верны, но сегодня мы получим инструмент, который позволит делать это гораздо быстрее. Запишите тему урока: 'Определение тригонометрических функций острого угла'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (элементы прямоугольного треугольника, теорема Пифагора), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним нашего старого знакомого — прямоугольный треугольник. Начертите в тетрадях произвольный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Как называются стороны этого треугольника? Поднимите руку, кто может назвать сторону, лежащую против угла C? А как называются стороны AC и BC относительно угла A?" | Чертят треугольник. Отвечают: "Сторона AB — гипотенуза. Сторона BC для угла A является противолежащим катетом, а сторона AC — прилежащим катетом". |
2 мин | "Отлично. А какая теорема связывает длины этих сторон? Запишите её для вашего треугольника на доске и в тетрадях. Приём 'Толстые и тонкие вопросы': зависит ли отношение сторон в прямоугольном треугольнике от его размеров, если углы остаются неизменными?" | Записывают: a² + b² = c². Ученик у доски пишет: AC² + BC² = AB². Рассуждают: "Если углы одинаковые, треугольники подобны, значит, отношения сторон будут равны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Именно этот факт — постоянство отношения сторон для равных углов — и лежит в основе тригонометрии. Переходим к определениям."
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определения синуса, косинуса и тангенса; организовать работу с текстом учебника.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Применим приём 'Инсерт' (чтение с пометками). Откройте учебник на странице 155. Прочитайте определения синуса, косинуса и тангенса. Поставьте на полях карандашом 'V', если информация вам понятна, и '+', если она для вас абсолютно новая. После прочтения попробуйте своими словами сформулировать, что такое синус." | Читают текст параграфа, делают пометки. Один ученик формулирует: "Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе". |
4 мин | "Давайте зафиксируем эти 'имена' отношений в тетрадях в виде формул. Используем наш чертёж. Пусть угол A = α. Запишем: sin α = BC/AB, cos α = AC/AB, tg α = BC/AC. Обратите внимание, от чего зависит значение этих дробей? От длины сторон или от величины угла?" | Записывают определения в тетрадь. Отвечают: "Значения зависят только от величины угла α, так как в подобных треугольниках эти отношения сохраняются". |
3 мин | "Используем ИКТ: посмотрите на экран (демонстрация модели GeoGebra). Я меняю размеры треугольника, растягивая его за вершину, но оставляю угол 30 градусов. Что происходит со значениями синуса и косинуса в таблице на экране?" | Наблюдают за интерактивной моделью. Делают вывод: "Размеры сторон меняются, но их отношение (числовое значение функции) остаётся неизменным". |
Запись в тетрадях
Определения:
1. Синус (sin α) = Противолежащий катет / Гипотенуза
2. Косинус (cos α) = Прилежащий катет / Гипотенуза
3. Тангенс (tg α) = Противолежащий катет / Прилежащий катет
1. Синус (sin α) = Противолежащий катет / Гипотенуза
2. Косинус (cos α) = Прилежащий катет / Гипотенуза
3. Тангенс (tg α) = Противолежащий катет / Прилежащий катет
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы дали имена отношениям сторон. Теперь давайте немного разомнемся, прежде чем узнаем главную тайну их взаимоотношений."
Этап 4. Физкультминутка 'Геометрическая разминка' (2 мин)
Цель этапа: снять физическое и эмоциональное напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте, пожалуйста. Представьте, что вы — лучи угла. Покажите руками острый угол. Теперь прямой угол. Теперь тупой. А теперь представьте, что ваша правая рука — гипотенуза, а левая — катет. Потянитесь 'гипотенузой' вверх, она ведь самая длинная! Сделайте глубокий вдох и на выдохе плавно опустите руки. Садитесь." | Выполняют упражнения, повторяя виды углов и потягиваясь. |
Этап 5. Вывод основного тригонометрического тождества (6 мин)
Цель этапа: доказать зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Математика любит порядок. Давайте попробуем соединить теорему Пифагора и наши новые функции. Возьмём сумму квадратов синуса и косинуса угла α. Запишем выражение: (BC/AB)² + (AC/AB)². Упростите его, используя общую черту дроби и теорему Пифагора. Что получится в числителе?" | Один ученик работает у доски: (BC² + AC²) / AB². Вспоминает: "BC² + AC² — это же AB² по теореме Пифагора! Значит, получается AB²/AB² = 1". |
2 мин | "Блестяще! Мы получили формулу sin²α + cos²α = 1. Это и есть Основное тригонометрическое тождество. Оно позволяет найти косинус, если известен синус, и наоборот. Как вы думаете, почему оно называется 'основным'?" | Записывают формулу в рамку. Предполагают: "Потому что оно связывает две главные функции и работает для любого острого угла". |
Эталон решения
Доказательство:
1. $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$
2. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$
3. Т.к. $a^2 + b^2 = c^2$ (по т. Пифагора), то $\frac{c^2}{c^2} = 1$.
4. ЧТД.
1. $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$
2. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$
3. Т.к. $a^2 + b^2 = c^2$ (по т. Пифагора), то $\frac{c^2}{c^2} = 1$.
4. ЧТД.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Это тождество — фундамент всей тригонометрии. Теперь проверим, как вы научились пользоваться новыми инструментами."
Этап 6. Первичное закрепление и парная работа (10 мин)
Цель этапа: отработка навыка нахождения тригонометрических функций в конкретных задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Работаем по учебнику. Найдите задачу №591 (а). Прочитайте условие. Нам дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Что нужно найти сначала, чтобы вычислить синус и косинус?" | Отвечают: "Нужно найти гипотенузу по теореме Пифагора. Она будет равна 5 (египетский треугольник)". |
6 мин | "Приём 'Подумай — обсуди в паре — поделись'. Я раздаю вам карточки с треугольниками (разные стороны: 5, 12, 13; 8, 15, 17). В парах вычислите sin, cos и tg для обоих острых углов. Распределите роли: один считает для угла A, другой — для угла B. Затем проверьте друг друга." | Работают в парах. Вычисляют отношения сторон, записывают результаты. Обсуждают, почему sin A = cos B. |
2 мин | "Межпредметная связь: в физике, когда вы будете изучать разложение сил на наклонной плоскости в 9 классе, вам постоянно придётся 'проектировать' векторы сил на оси именно через эти функции. Запомните: косинус — это всегда 'прилежащий' к углу катет." | Слушают, делают пометку о важности темы для физики. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, большинство пар справилось. Те, у кого возникли трудности с дробями, обратите внимание на эталон на доске."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подведение итогов, самооценка деятельности, постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте заполним таблицу рефлексии. Также используем приём 'Билет на выход': напишите на листочке один вопрос по теме, который остался для вас неясным, или один факт, который вас сегодня удивил." | Заполняют листы самооценки, пишут 'билеты на выход'. Один ученик говорит: 'Меня удивило, что сумма квадратов синуса и косинуса всегда единица, какой бы угол мы ни взяли'. |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное: выберите тот уровень, который вам по силам. Обратите внимание на творческое задание — оно для тех, кто хочет увидеть геометрию в жизни." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно определены все три функции для заданного угла, без ошибок вычислена гипотенуза, работа выполнена аккуратно.
- "4" — верно определены функции, но допущена одна вычислительная ошибка при нахождении стороны, или перепутаны местами sin и cos.
- "3" — ученик понимает определения, но затрудняется в записи отношений для конкретных буквенных обозначений или допускает более двух ошибок в вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое из определений (sin, cos, tg) было труднее всего запомнить и почему? | Выявление лингвистических или логических трудностей в усвоении терминов. |
Сможешь ли ты доказать основное тождество без подсказки учебника? | Оценка уровня осознанности вывода формулы и логического мышления. |
Где в реальной жизни нам может пригодиться знание угла и одной стороны треугольника? | Проверка понимания практической значимости темы (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
"Ребята, сегодня вы сделали важный шаг. Тригонометрия — это не просто формулы, это мост между геометрией фигур и алгеброй чисел. Если сегодня вам было немного сложно — не переживайте, на следующем уроке мы научимся находить значения для углов 30, 45 и 60 градусов, и всё встанет на свои места. Спасибо за работу, особенно активным сегодня был... (имена). Урок окончен!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | П. 66, № 591 (б, в) | Выучить определения, решить задачи на нахождение sin, cos, tg по готовым катетам. |
Средний (повышающий) | № 592 (а), № 593 | Найти значения функций, если одна из сторон выражена через корень или дана гипотенуза и угол. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Подготовить краткое сообщение или презентацию (3 слайда) 'Тригонометрия в архитектуре моего города'. |
Контрольный вопрос: Чему равен тангенс угла, если его синус равен косинусу? (Ответ обоснуйте дома).