Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут обосновать принцип взаимно однозначного соответствия между числами и точками, а также научатся располагать иррациональные и рациональные числа на координатной прямой с точностью, необходимой для решения задания №7 ОГЭ.
- Образовательная задача: Сформировать понимание структуры множества действительных чисел (R) как объединения рациональных (Q) и иррациональных (I) чисел.
- Развивающая задача: Развивать навыки сравнения действительных чисел и оценки их положения между целыми числами.
- Воспитательная задача: Формировать культуру графического построения и аккуратность при работе с измерительными инструментами.
- Профориентационная задача: Продемонстрировать применение координатного метода в смежных дисциплинах (геодезия, навигация).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками (работа в парах).
Предметные
- Знать определение координатной прямой и условия, при которых она задана (начало отсчета, единичный отрезок, направление).
- Уметь соотносить любое действительное число с определенной точкой на прямой.
- Владеть навыком приближенного представления иррациональных чисел для их визуализации на числовой оси.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие логического мышления при анализе структуры числовых множеств.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Смысловое чтение текста учебника и выделение главной мысли о непрерывности прямой.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в парах: слушать партнера, формулировать аргументы, приходить к общему решению.
- Адекватное использование речевых средств для дискуссии.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для парной работы (задания в формате ОГЭ №7) — 15 экземпляров (на каждую парту).
- Подготовить набор крупных карточек с числами (0; 1; -2,5; √2; π; -√5; 3,14) для игры «Живая прямая».
- Проверить наличие мела/маркеров разных цветов для выделения рациональных и иррациональных точек на доске.
- Подготовить презентацию со слайдом-схемой «Иерархия числовых множеств».
- Учебник: Алгебра 9 класс (Макарычев Ю.Н. и др.), открыть на стр. 102.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, создать ситуацию успеха и обозначить практическую значимость темы для экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня на уроке мы с вами совершим удивительное открытие: мы узнаем, как геометрия прямой линии неразрывно связана с миром чисел. Вы часто видите в КИМах ОГЭ задание №7, где нужно найти точку на прямой. Сегодня мы разберемся, почему для любого, даже самого 'дикого' иррационального числа, на прямой всегда найдется свое место, и почему на этой прямой нет 'пустот'." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и чертежных инструментов. |
2 мин | "Посмотрите на доску. Перед вами схема числовых множеств. Мы знаем натуральные, целые, рациональные числа. Но недавно мы познакомились с иррациональными числами, такими как корень из двух или число Пи. Как вы думаете, если мы отметим все рациональные числа на прямой, останутся ли на ней свободные места? Или рациональные числа заполняют её полностью?" | Высказывают предположения: "Наверное, заполняют, их же бесконечно много", "Нет, иррациональные числа тоже должны где-то быть". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши догадки интересны. Чтобы ответить точно, нам нужно понять принцип взаимно однозначного соответствия. Записываем тему урока."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить классификацию чисел и навыки извлечения приближенного квадратного корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Я называю число, а вы говорите, к какому множеству оно относится: рациональное или иррациональное. Число 5? Число -2/3? Число 0,121212...? Число корень из 7? Число 1,010010001...?" Учитель фиксирует ответы на доске в две колонки. | Отвечают с места: "5 — рациональное", "-2/3 — рациональное", "Периодическая дробь — рациональное", "Корень из 7 — иррациональное", "Непериодическая дробь — иррациональное". |
2 мин | "А теперь вспомним, как оценить значение иррационального числа. Между какими целыми числами находится корень из 10? А корень из 24? Это нам критически важно для работы с координатной прямой." | Ученики: "Корень из 10 больше 3, но меньше 4, так как 9 < 10 < 16". "Корень из 24 чуть меньше 5, так как 24 < 25". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, фундамент заложен. Теперь мы готовы заселять нашу прямую числами разных видов."
Этап 3. Изучение нового материала (7 мин)
Цель этапа: ввести понятие взаимно однозначного соответствия и аксиому непрерывности прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Откройте учебник на странице 102. Прочитайте первый абзац. Там сказано, что каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число. И наоборот: каждому действительному числу соответствует точка прямой. В математике это называется 'взаимно однозначное соответствие'. Представьте, что это идеальный брак: у каждой точки есть только одно число-партнер, и у каждого числа — только одна точка. Нет чисел без точек и нет точек без чисел. Это и делает прямую непрерывной." | Читают текст учебника, делают пометки в тетрадях. Рисуют координатную прямую, отмечают точку 0 и единичный отрезок. |
3 мин | "Запишите важное определение: Множество всех действительных чисел называют числовой прямой. Это значит, что если мы 'выколем' хотя бы одну точку, например, ту, где должен стоять корень из двух, прямая перестанет быть непрерывной, в ней появится дырка. Но математика не терпит дырок. Как вы думаете, как мы можем геометрически построить точку для корня из двух?" Учитель кратко напоминает про построение с помощью теоремы Пифагора (диагональ квадрата). | Слушают объяснение, записывают определение в тетрадь. Делают набросок квадрата со стороной 1 и его диагонали, спроецированной на прямую. |
Запись в тетрадях
- Взаимно однозначное соответствие: 1 число <-> 1 точка.
- R (действительные числа) = Q (рациональные) ∪ I (иррациональные).
- Координатная прямая не имеет «пустот» (аксиома непрерывности).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теория ясна, но математика — это прежде всего практика. Давайте попробуем сами стать точками на этой прямой."
Этап 4. Элемент игры: «Живая координатная прямая» (5 мин)
Цель этапа: в игровой форме закрепить навыки сравнения и расположения чисел на прямой, переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Ребята, мне нужно 7 добровольцев. Выходите к доске. Я раздаю вам карточки с числами: 0; 1; -2,5; √2; π; -√5; 3,14. Ваша задача — без слов выстроиться в ряд так, как эти числа располагались бы на координатной прямой слева направо. Остальные — эксперты. Если вы видите ошибку, поднимайте руку." | Добровольцы берут карточки и начинают перемещаться. Ученик с '0' встает в центре, '1' справа от него. Ученик с '√2' должен встать между 1 и 2. Ученик с 'π' (3,1415...) и '3,14' должны решить, кто правее. Класс внимательно следит и корректирует. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Молодцы! Особенно сложный момент был с π и 3,14. Помните, что π ≈ 3,14159..., значит оно чуть-чуть правее, чем 3,14. Садитесь на места."
Этап 5. Практическая работа с учебником и подготовка к ОГЭ (10 мин)
Цель этапа: отработка предметных навыков на конкретных задачах разного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем с учебником. Выполняем №274 (а, в) и №276. В первом задании нужно сравнить числа, во втором — расположить в порядке возрастания. Помните: чтобы сравнить обычную дробь и иррациональное число, лучше перевести всё в десятичный вид или возвести в квадрат (если числа положительные)." | Решают в тетрадях. Один ученик работает у доски (скрыто), затем открывает решение для самопроверки класса. |
5 мин | "А теперь внимание на экран. Типичное задание ОГЭ №7: 'На координатной прямой отмечена точка А. Известно, что она соответствует одному из четырех чисел. Какому?' Числа: 1) √18, 2) √24, 3) √33, 4) √7. Точка А находится между 4 и 5, ближе к 5. Какое выберем?" | Анализируют: 4 = √16, 5 = √25. Точка между ними. Варианты 1 и 2 подходят. Так как ближе к 5, выбираем √24. Ответ: 2. |
Эталон решения №274 (а)
Сравнить $\sqrt{7}$ и $2,6$.
1) $2,6^2 = 6,76$.
2) Так как $7 > 6,76$, то $\sqrt{7} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7} > 2,6$.
1) $2,6^2 = 6,76$.
2) Так как $7 > 6,76$, то $\sqrt{7} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7} > 2,6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что знание примерных значений корней — это наш главный инструмент на экзамене."
Этап 6. Парная работа: Дифференцированный практикум (7 мин)
Цель этапа: развитие коммуникативных навыков и закрепление материала через взаимопомощь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "У вас на партах карточки. В них 3 задания: 'База', 'Профи' и 'ОГЭ-мастер'. Работаем в парах. Вы можете обсуждать решение, спорить, но в тетради у каждого должен быть свой вариант. Если пара выполнит все три задания верно — получит дополнительный балл в журнал." | Обсуждают задания в парах. Сильные ученики объясняют более слабым, как оценивать корни. Записывают решения. Учитель ходит между рядами, консультирует. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Время вышло. Обменяйтесь тетрадями с соседней партой. На слайде — ключи. Проверьте работу товарищей по принципу 'Две звезды и пожелание'."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание результатов деятельности, постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Мы выяснили, что координатная прямая — это не просто линия, а зеркало множества всех действительных чисел. У каждого числа есть свой 'дом' на этой прямой. Запишите домашнее задание. Оно также дифференцировано." | Записывают задание, заполняют листки рефлексии (кратко). |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все 3 задания карточки, нет ошибок в сравнении чисел и расположении точек.
- «4» — Выполнены задания «База» и «Профи», допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях или оценке корня.
- «3» — Выполнено только задание «База», ученик понимает принцип расположения чисел, но ошибается в сравнении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число было сложнее всего 'поселить' на прямой? | Выявление трудностей в оценке иррациональных чисел. |
Остались ли на прямой пустые места, если убрать иррациональные числа? | Проверка понимания концепции непрерывности. |
Где в ОГЭ мне пригодятся сегодняшние знания? | Осознание утилитарной ценности урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили важный кирпичик в понимание бесконечности. Координатная прямая — это мост между абстрактным числом и наглядным образом. Если сегодня вам было трудно сравнивать корни — не переживайте, на следующем уроке мы разберем алгоритмы извлечения квадратного корня более детально. Вы молодцы, работа в парах показала, что вы умеете слушать друг друга. До свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №275, №277 | Сравнение чисел и нахождение приближенного значения. |
Средний (повышающий) | Учебник, №281 | Доказать, что число является иррациональным (работа с определением). |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 5 заданий типа №7 из открытого банка ФИПИ | Подготовка к ОГЭ в реальных условиях. |
Контрольный вопрос: "Может ли точка на координатной прямой не иметь соответствующего ей числа?"