Сравнение действительных чисел: методы и практика в формате ОГЭ
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение сравнивать действительные числа различными методами (через разность, возведение в квадрат, десятичные приближения) и применять эти навыки при решении заданий ОГЭ.
- Образовательная задача: изучить алгоритмы сравнения иррациональных и рациональных чисел.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление и навыки самоконтроля при выполнении тестовых заданий.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед экзаменом через отработку типовых заданий №7 ОГЭ.
- Межпредметная задача: показать применение сравнения величин в физике и географии.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ГИА).
- Развитие критического мышления через анализ собственных ошибок.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в стрессовых ситуациях (ситуация успеха на уроке).
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективный способ решения задачи в зависимости от конкретных условий.
- Регулятивные: владение навыками самопроверки и коррекции своей деятельности по эталону.
- Коммуникативные: умение аргументировать свой выбор метода сравнения в диалоге с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение действительного числа и способы его представления.
- Уметь сравнивать числа с помощью координатной прямой.
- Уметь сравнивать иррациональные числа вида √a и b.
- Владеть навыком оценки значения квадратного корня с точностью до десятых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Оценка качества и уровня усвоения материала.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Учет разных мнений в группе.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки «Мини-тест ОГЭ (Задание 7)» — 25 шт.
- Подготовить презентацию со слайдами: «Методы сравнения», «Координатная прямая», «Физические константы».
- Выписать на доске ключевые квадраты чисел от 11 до 20 для быстрой справки.
- Подготовить цветные маркеры для выделения интервалов на координатной прямой.
- Проверить работу проектора и наличие демонстрационных таблиц квадратов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, обозначить практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас важная тема. Посмотрите на слайд. Перед вами задание №7 из демоверсии ОГЭ этого года. Казалось бы, просто сравнить числа на прямой, но именно здесь многие теряют баллы из-за невнимательности к иррациональным числам. Сегодня мы станем экспертами в сравнении любых действительных чисел." | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, смотрят на экран, осознают значимость темы для предстоящего экзамена. |
2 мин | "Кто из вас уже пробовал решать 7-е задание? Какие числа там вызывают больше всего вопросов? Правильно, те, что под корнем. Наша задача сегодня — разработать универсальную 'отмычку' для таких задач. Запишите тему урока: 'Сравнение действительных чисел'." | Отвечают на вопросы: "Числа с корнями сложнее всего", "Трудно понять, где именно точка на прямой". Записывают тему в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили нашу цель — баллы в кармане за 7-е задание. Начнем с того, что мы уже знаем."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые правила сравнения рациональных чисел и понятие модуля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Приём 'Верю — не верю'. Если утверждение верно — кивок головы, если нет — мотаем головой. 1. Любое положительное число больше нуля? 2. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль больше? 3. Число 0 больше любого отрицательного? 4. Любое рациональное число является действительным?" | Участвуют в блиц-опросе, выполняя движения. После каждого вопроса один ученик комментирует: "Второе неверно, так как у отрицательных чисел больше то, чей модуль МЕНЬШЕ". |
2 мин | "Молодцы. Теперь посмотрите на доску. Записаны числа: -5.2, -5.02, 0, 1/3, 0.3. Расставьте их в порядке возрастания в тетради за 60 секунд. Время пошло!" | Выполняют задание в тетрадях. Один ученик записывает ответ на доске: -5.2; -5.02; 0; 0.3; 1/3. Сверяются с эталоном. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "С рациональными числами мы разобрались. А что делать, если в ряду появится число √30?"
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, требующую нового способа действия.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Проблема: сравните числа 5.4 и √29. Как это сделать быстро и без калькулятора? Какие есть идеи? Можно ли точно сказать, какое число больше, просто глядя на них?" | Выдвигают гипотезы: "Надо извлечь корень", "Надо 5.4 возвести в квадрат", "Можно найти примерное значение корня". Сталкиваются с тем, что √29 не извлекается нацело. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, у нас есть несколько идей, но нет четкого алгоритма. Давайте его составим."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (2 мин)
Цель этапа: сформулировать план действий по изучению новых методов сравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Нам нужно изучить три основных метода: 1. Метод оценки (между какими целыми числами). 2. Метод возведения в квадрат. 3. Метод разности. Какой метод, по-вашему, будет самым надежным для ОГЭ?" | Обсуждают и предлагают: "Возведение в квадрат кажется самым точным". Записывают названия методов в тетрадь как план работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Приступим к реализации нашего плана. Метод №1 — оценка."
Этап 5. Реализация проекта (открытие нового знания) (12 мин)
Цель этапа: изучить алгоритмы сравнения через практические примеры и межпредметные связи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Метод 1: Оценка через ближайшие квадраты. √29. Ближайшие точные квадраты — 25 и 36. Значит, √25 < √29 < √36, т.е. 5 < √29 < 6. Но нам нужно сравнить с 5.4. Значит, нужно уточнить: 5.3^2 = 28.09, 5.4^2 = 29.16. Какой вывод?" | Считают в тетрадях: 5.4^2 = 29.16. Делают вывод: так как 29.16 > 29, то 5.4 > √29. Записывают алгоритм оценки. |
4 мин | "Метод 2: Возведение в квадрат. Если a > 0 и b > 0, то a > b равносильно a^2 > b^2. Сравним 3√2 и 2√3. Возведем оба в квадрат: (3√2)^2 = 9*2 = 18; (2√3)^2 = 4*3 = 12. 18 > 12, значит 3√2 > 2√3. Этот метод идеален для заданий с множителем перед корнем." | Записывают правило возведения в квадрат. Решают пример вместе с учителем, проговаривая шаги. |
4 мин | "Межпредметная связь: В физике часто нужно сравнивать величины. Например, плотность алюминия 2.7 г/см3, а плотность некоторого сплава задана формулой √7 г/см3. Что тяжелее при одинаковом объеме? Используем наши методы." | Сравнивают 2.7 и √7. 2.7^2 = 7.29. 7.29 > 7. Отвечают: "Алюминий плотнее сплава". Осознают прикладной характер темы. |
Запись в тетрадях
- Алгоритм сравнения √a и b (b > 0):
- 1. Представить b как √b^2.
- 2. Сравнить подкоренные выражения.
- 3. Либо возвести обе части в квадрат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вооружились методами. Теперь проверим их в деле на типовых задачах."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение методов на разнообразных примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем по цепочке. Задание на доске: Сравните: а) √10 и 3.1; б) 2√5 и √21; в) -√7 и -2.5. Кто желает прокомментировать первый пример?" | Ученик 1: "√10 и 3.1. 3.1 в квадрате это 9.61. 10 > 9.61, значит √10 > 3.1". Ученик 2: "2√5 это √20. √20 < √21". Ученик 3: "Для отрицательных: √7 > √6.25(2.5^2), значит -√7 < -2.5". |
3 мин | "Приём 'Снежный ком'. В парах придумайте свой пример на сравнение корня и десятичной дроби, обменяйтесь с соседней парой и решите его." | Работают в парах, составляют задания, обмениваются, решают и проверяют друг друга. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь. Пришло время финального испытания — мини-теста в формате ОГЭ."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала в условиях, приближенных к экзамену.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Раздает карточки с 3 заданиями (аналоги №7 ОГЭ). "У вас 5 минут. Работаем индивидуально. Помните про аккуратность с отрицательными числами на прямой." | Самостоятельно решают задачи на карточках. Фиксируют ответы в бланках-черновиках. |
2 мин | Выводит правильные ответы и критерии на экран. "Возьмите зеленые ручки, проверьте свои работы. Если все верно — поставьте '+'. Если есть ошибка — обведите ее и напишите рядом правильный метод." | Проводят самопроверку, анализируют ошибки. Поднимают руки те, кто выполнил всё верно. |
Эталон решения (пример задачи из теста)
Задача: Между какими целыми числами заключено число √54?
Решение: 49 < 54 < 64. Следовательно, √49 < √54 < √64. Отсюда 7 < √54 < 8. Ответ: между 7 и 8.
Решение: 49 < 54 < 64. Следовательно, √49 < √54 < √64. Отсюда 7 < √54 < 8. Ответ: между 7 и 8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Тест показал, что большинство из вас готовы к этому заданию на экзамене. Остались детали."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести самооценку и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Наш урок подходит к концу. Вспомните, какую цель мы ставили? Добились ли мы ее? Какой метод сравнения вам показался самым удобным?" | Отвечают: "Научиться сравнивать числа для ОГЭ", "Да, теперь √ не страшен", "Мне удобнее возводить в квадрат". |
2 мин | Формулирует ДЗ. "Домашнее задание будет дифференцированным. Выберите свой уровень сложности. Также на платформе 'Решу ОГЭ' я открыл тренировочную работу по теме №7." | Записывают ДЗ в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно выполнены все задания мини-теста, продемонстрировано владение разными методами сравнения.
- "4" — Допущена одна вычислительная ошибка, но алгоритм сравнения выбран верно.
- "3" — Верно выполнено более половины заданий, есть трудности в сравнении отрицательных иррациональных чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме сравнения был самым трудным? | Выявление пробелов в технике вычислений (квадраты чисел). |
Где в реальной жизни нам может пригодиться сравнение величин, заданных неточно? | Осознание практической значимости (погрешности измерений). |
Насколько увереннее вы чувствуете себя перед заданием №7 ОГЭ? | Эмоциональная рефлексия, снижение стресса. |
Завершающее слово учителя
"Ребята, сегодня вы сделали еще один уверенный шаг к успешной сдаче ОГЭ. Мы увидели, что действительные числа — это не просто абстракция, а инструмент, который работает и в физике, и в географии, и на экзамене. Главное — не бояться корней и всегда проверять себя возведением в квадрат. На следующем уроке мы перейдем к свойствам числовых неравенств, которые станут логическим продолжением сегодняшней темы. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №215, №218 | Сравнение простых иррациональных чисел и дробей. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ: Задания №7 (10 вариантов) | Отработка навыка на реальных экзаменационных задачах. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Составить шпаргалку-памятку 'Топ-5 ловушек при сравнении чисел в ОГЭ'. |
Контрольный вопрос перед выходом: "Что больше: 2√3 или 3√2? Почему?"