Числовые неравенства и их основные свойства
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понимание определения числового неравенства через разность чисел и научить применять основные свойства неравенств при решении задач формата ОГЭ.
- Образовательная задача: Изучить определение понятий «больше» и «меньше», доказать и закрепить свойства транзитивности, сложения и умножения неравенств на число.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического вывода и обобщения через исследовательскую деятельность с использованием ИКТ.
- Воспитательная задача: Снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку типовых заданий и формирование навыка самоконтроля.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к адаптации в стрессовых ситуациях (подготовка к экзаменам).
- Формирование ответственного отношения к обучению и осознанного выбора дальнейшей образовательной траектории.
- Критичность мышления при анализе математических утверждений.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы на основе сравнения.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров при работе в парах.
Предметные
- Знать определение: число $a$ больше числа $b$, если разность $a - b$ положительна.
- Уметь доказывать простейшие неравенства методом разности.
- Владеть свойствами числовых неравенств при выполнении преобразований (сложение, умножение на положительное и отрицательное число).
- Уметь сравнивать значения выражений при заданных условиях (задания типа №13 ОГЭ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание практической значимости неравенств в реальной жизни (нормативы, ограничения).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит узнать.
Познавательные УУД
- Моделирование: использование координатной прямой для визуализации свойств неравенств.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивный лист в GeoGebra для визуализации перемещения точек на координатной прямой.
- Распечатать карточки для парной работы (задания на основе упражнений №38, 39 из учебника) — 15 экземпляров.
- Подготовить слайд-презентацию с выдержками из спецификации ОГЭ по теме «Неравенства».
- Настроить проектор и ноутбук.
- Выписать на доске ключевые определения из §1 для актуализации.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и показать практическую значимость темы через реальные контексты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы начинаем большую и важную главу — "Неравенства". В жизни мы постоянно сталкиваемся с ограничениями: скорость автомобиля должна быть не меньше 30 км/ч (как на знаке в учебнике, рис. 2), а в нашем классе по нормам должно быть не больше 25 человек. В математике эти фразы превращаются в строгие символы. Сегодня мы не просто повторим знаки ">" и "<", а научимся ими управлять. Почему это важно для вас сейчас? Тема неравенств — это стабильные баллы в ОГЭ. Давайте настроимся на открытие!» | Слушают учителя, настраиваются на работу. Рассматривают рис. 2 в учебнике на стр. 10. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Прежде чем двигаться к новым свойствам, давайте вспомним, как математически доказать, что одно число больше другого».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить определение неравенства через разность и выявить проблему при сравнении выражений с переменными.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Посмотрите на доску. Записано определение: число $a$ считают больше числа $b$, если разность $a - b$ — положительное число. Давайте проверим это на практике. Сравните числа $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$ и $2-\sqrt{3}$. Как нам поступить?» Учитель вызывает ученика к доске для вычисления разности. | Ученик у доски записывает разность: $\frac{2}{2+\sqrt{3}} - (2-\sqrt{3})$. Приводит к общему знаменателю, получает $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$. Делает вывод: так как разность $> 0$, то первое число больше. |
2 мин | «А теперь задача сложнее. Известно, что $a > b$. Как сравнить $-40a$ и $-40b$? Мы можем использовать разность, но есть ли более быстрый способ, основанный на свойствах? В этом и заключается наше сегодняшнее затруднение». | Ученики пытаются предложить варианты, сталкиваются с неуверенностью в том, меняется ли знак неравенства. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, нам нужно выяснить, какие действия можно совершать с обеими частями неравенства, чтобы оно оставалось верным».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую деятельность (приём «Лаборатория») вывести основные свойства числовых неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем в парах. Используем ИКТ: откройте на планшетах приложение GeoGebra (ссылка на доске). Перед вами координатная прямая и неравенство $-3 < 4$. Попробуйте выполнить действия из упражнения №38: прибавьте к обеим частям 5, затем -2. Что происходит с точками на прямой? Сохраняется ли порядок?» | Ученики двигают ползунки в приложении, наблюдают за перемещением точек. Фиксируют: при прибавлении любого числа порядок точек не меняется. Формулируют свойство: если $a > b$, то $a + c > b + c$. |
5 мин | «Теперь самое опасное свойство. Умножьте обе части неравенства $7 > -2$ на число 5. А теперь на число -1. Внимательно следите за направлением знака! Что вы заметили?» | Ученики вычисляют: $7 \cdot 5 = 35$, $-2 \cdot 5 = -10$, $35 > -10$ (знак тот же). Но $7 \cdot (-1) = -7$, $-2 \cdot (-1) = 2$, теперь $-7 < 2$ (знак изменился!). |
3 мин | «Откройте учебник на стр. 12. Найдите Теорему 2.3. Прочитайте её вслух. Это правило — фундамент для решения заданий ОГЭ. Как мы его запомним?» | Читают теорему: «Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство». Записывают схему в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Теорема 2.1: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$ (транзитивность).
- Теорема 2.2: если $a > b$, то $a + c > b + c$.
- Теорема 2.3: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$; если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли правила игры. Теперь давайте применим их, чтобы не попасться в ловушки на экзамене».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка применения свойств на конкретных примерах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Выполним упражнение №44 (пункты 1, 3, 5). Дано: $a > b$. Сравните: 1) $a+9$ и $b+9$; 3) $1,8a$ и $1,8b$; 5) $-40b$ и $-40a$. Комментируйте свои действия, опираясь на теоремы». | Ученики по очереди комментируют: «1) Прибавляем 9 к обеим частям, знак не меняется: $a+9 > b+9$. 3) Умножаем на положительное 1,8, знак не меняется: $1,8a > 1,8b$. 5) Умножаем на -40, знак меняется: $-40a < -40b$, значит $-40b > -40a$». |
4 мин | «Теперь посмотрите на упражнение №36. Известно, что $a > 6$. Верно ли, что $a > 4$? Как это доказать, используя координатную прямую?» | Ученики рисуют прямую, отмечают 4 и 6. «Так как 6 правее 4, а $a$ правее 6, то по свойству транзитивности $a$ точно правее 4. Значит, верно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с базовыми задачами. Готовы к самостоятельной проверке?»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы в формате, близком к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На карточках у вас мини-тест из 4 заданий. Задания взяты из открытого банка ОГЭ.
1. Если $x < y$, то $x - 5 ... y - 5$.
2. Если $a > b$, то $-2a ... -2b$.
3. Сравните $(a-3)(a-2)$ с нулем, если $a > 4$.
4. Расположите в порядке возрастания $a, b, c, 0$, если $a > b, 0 < b, 0 > c$.» | Выполняют работу самостоятельно в тетрадях. |
2 мин | «Внимание на экран! Сверьте свои ответы с эталоном. Если у вас все верно — поставьте себе "+" на полях. Если есть ошибка — обведите её в кружок, сейчас разберем». | Проверяют работы, фиксируют ошибки. Обсуждают задание №3 (метод подстановки пробного числа или анализ знаков множителей). |
Эталон решения (задание №3)
Если $a > 4$, то $a - 3 > 4 - 3 = 1$ (положительно), $a - 2 > 4 - 2 = 2$ (положительно). Произведение двух положительных чисел есть число положительное. Значит, $(a-3)(a-2) > 0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что большинство из вас поняли принцип работы со знаками. Это ваш первый шаг к успешному ОГЭ».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте подведем итоги. У вас на партах лежат "Билеты на выход". Запишите в них:
1. Самое важное правило, которое вы сегодня узнали.
2. В каком случае знак неравенства переворачивается?
3. Оцените свою уверенность в теме от 1 до 5». | Заполняют билеты, сдают учителю при выходе из класса. |
2 мин | «Домашнее задание дифференцировано. Обратите внимание на упражнение №42 — оно поможет вам закрепить логику рассуждений. Всем спасибо за работу!» | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 задания мини-теста, нет ошибок в направлении знаков.
- «4» — верно выполнены 3 задания, допущена одна негрубая ошибка в вычислениях при сохранении верной логики.
- «3» — верно выполнены 2 задания, ученик понимает свойство сложения, но путается в умножении на отрицательное число.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В какой момент решения вы почувствовали наибольшее затруднение? | Выявление этапа, на котором проседает понимание (вычисления или логика свойств). |
Можете ли вы объяснить товарищу, почему при делении на -2 знак меняется? | Проверка осознанности усвоения материала (уровень «Понимание» по Блуму). |
Какое задание из сегодняшних чаще всего встречается в ОГЭ? | Акцентирование внимания на практической значимости и формате экзамена. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы заложили фундамент для всей темы неравенств. Главный вывод дня: отрицательное число — это коварный множитель, требующий разворота знака. Если вы это запомнили, то 50% успеха в этой теме у вас в кармане. На следующем уроке мы научимся складывать и перемножать неравенства друг с другом. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | §1-2, №37, №39 (1-3) | Прочитать теоремы, выполнить сравнение выражений простым сложением/умножением. |
Средний (повышающий) | №42 (1, 3, 5) | Сравнение значений выражений с нулем через анализ знаков множителей. |
Продвинутый (дополнительный) | №43 (6), №8 (1) | Доказательство неравенств методом разности для выражений с квадратами. |
Контрольный вопрос: Если $a < b$, верно ли, что $-a < -b$? Подготовьте краткий ответ с примером к следующему уроку.