Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами
Цели и задачи
- Цель: научиться сравнивать действительные числа различными методами и выполнять арифметические действия с ними, применяя полученные навыки для решения заданий формата ОГЭ (№6, №7).
- Образовательная задача: систематизировать знания о рациональных и иррациональных числах, отработать алгоритм сравнения чисел через возведение в квадрат и оценку значения корня.
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления, умение анализировать и выбирать наиболее эффективный способ решения задачи.
- Воспитательная задача: способствовать снижению экзаменационной тревожности через отработку типовых заданий и формирование уверенности в своих силах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе собственных ошибок.
- Осознание важности математической грамотности для успешной сдачи ОГЭ и дальнейшего профессионального самоопределения.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения, использовать речевые средства для выражения своих мыслей.
Предметные
- Знать определение действительного числа и структуру множества действительных чисел.
- Уметь сравнивать положительные и отрицательные действительные числа, используя числовую прямую.
- Владеть навыками выполнения арифметических действий с иррациональными числами (вынесение множителя из-под знака корня, приведение подобных слагаемых).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между учебной деятельностью и будущим результатом на экзамене.
- Самооценка на основе критериев успешности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заданиями формата ОГЭ (№6 и №7) — 25 шт.
- Подготовить карточки для приема «Светофор» (красный, желтый, зеленый) для каждого ученика.
- Подготовить презентацию с визуализацией числовой прямой и эталонами ответов.
- Распечатать «Билеты на выход» для этапа рефлексии.
- Проверить работоспособность проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу, актуализировать значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня на уроке мы займемся темой, которая встречается в КИМах ОГЭ минимум дважды — в заданиях №6 и №7. Это 'Сравнение действительных чисел'. Многие считают эти задания легкими, но именно на них часто теряют баллы из-за невнимательности. Готовы ли вы сегодня превратить свои сомнения в твердые баллы?" | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие учебников и тетрадей. |
2 мин | "Посмотрите на слайд. Перед вами два числа: 3,14 и корень из десяти. Какое из них больше? Поднимите руку те, кто может ответить сразу. Вижу, что мнения разделились. К концу урока каждый из вас сможет обосновать ответ за 10 секунд. Запишем тему урока в тетради." | Записывают тему урока: «Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили нашу цель — научиться безошибочно сравнивать числа разной природы. Но прежде чем идти вперед, давайте вспомним наш багаж знаний."
Этап 2. Актуализация знаний. Прием «Верно — неверно» (5 мин)
Цель этапа: повторить классификацию чисел и свойства корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Проведем блиц-опрос 'Верно — неверно'. Я читаю утверждение, а вы, если согласны, поднимаете зеленую карточку, если нет — красную. 1) Любое рациональное число является действительным. 2) Корень из 16 — это иррациональное число. 3) Число Пи — это бесконечная непериодическая дробь. 4) Сумма двух иррациональных чисел всегда иррациональна." | Сигнализируют карточками. Ожидаемые ответы: 1) Да (Зеленый); 2) Нет, это 4 (Красный); 3) Да (Зеленый); 4) Нет, например, корень из 2 и минус корень из 2 в сумме дают 0 (Красный). |
2 мин | "Молодцы. Теперь вспомним основное свойство для сравнения: если числа a и b положительны и a > b, то и квадрат a больше квадрата b. Как нам это поможет при сравнении обычного числа и корня?" | Предполагают: "Нужно возвести оба числа в квадрат, чтобы избавиться от знака корня". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, фундамент заложен. Теперь перейдем к проблеме, которую мы обозначили в начале."
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы сравнения чисел и выполнения действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Вернемся к паре: 3,14 и корень из 10. Применим наш метод возведения в квадрат. Чему равен квадрат 3,14? (считаем в столбик или вспоминаем 31 в квадрате). Это 9,8596. А квадрат корня из 10? Это 10. Какое число больше? Значит, корень из 10 больше. Запишите этот пример в тетрадь как Способ №1 — Метод возведения в квадрат." | Выполняют вычисления в тетрадях: $3,14^2 = 9,8596$; $(\sqrt{10})^2 = 10$. Делают вывод: $10 > 9,8596 \Rightarrow \sqrt{10} > 3,14$. |
7 мин | "А теперь рассмотрим задание №7 из ОГЭ. На координатной прямой отмечена точка А. Известно, что она соответствует одному из четырех чисел: корень из 18, корень из 24, корень из 26 или корень из 33. Точка А находится между числами 5 и 6, ближе к 5. Как нам выбрать верный ответ? Введем Способ №2 — Метод оценки. Представим числа 5 и 6 в виде корней." | Отвечают: "5 — это корень из 25, 6 — это корень из 36". Рассуждают: "Точка А находится чуть правее 5, значит, это число должно быть чуть больше корня из 25. Подходит корень из 26". |
Запись в тетрадях
Алгоритмы сравнения:
1. Сравнение с рациональным числом: возвести оба числа в квадрат.
2. Оценка на прямой: перевести целые границы в квадратные корни.
3. Арифметические действия: $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a \pm 2\sqrt{ab} + b$.
1. Сравнение с рациональным числом: возвести оба числа в квадрат.
2. Оценка на прямой: перевести целые границы в квадратные корни.
3. Арифметические действия: $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a \pm 2\sqrt{ab} + b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вооружились двумя мощными инструментами. Пора проверить их в деле на реальных задачах ОГЭ."
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка алгоритмов на типовых заданиях экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем с рабочими листами. Задание №1: расположите в порядке возрастания числа: 5,5; корень из 31; 2 корня из 7. Подсказка: внесите множитель под знак корня в последнем числе. Кто хочет прокомментировать решение у доски?" | Ученик у доски: "2 корня из 7 — это корень из 28. 5,5 — это корень из 30,25. Теперь сравниваем подкоренные выражения: 28 < 30,25 < 31. Ответ: 2 корня из 7; 5,5; корень из 31". |
4 мин | "Задание №2 (ОГЭ №6): найдите значение выражения $(\sqrt{18} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$. Здесь можно действовать двумя путями: раскрыть скобки или упростить корень из 18. Какой путь вам кажется проще?" | Класс пробует оба способа. Ответ: $(\sqrt{36} - 2) = 6 - 2 = 4$. Или $(3\sqrt{2} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, знание свойств корней экономит время на экзамене. Сейчас проверим, насколько уверенно вы чувствуете себя без моей помощи."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы, развитие навыка самопроверки по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "На обратной стороне рабочего листа — мини-тест из 3 заданий. 1) Сравнить 7 и корень из 48. 2) Найти значение $(\sqrt{5}+2)^2 - 4\sqrt{5}$. 3) Между какими целыми числами заключен корень из 54? Время пошло!" | Самостоятельно решают задачи в тетрадях. Сохраняют концентрацию, как на реальном экзамене. |
3 мин | "Внимание на экран. Сверьте свои ответы с эталоном. Если у вас все верно — поставьте себе 'плюс'. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять, где ошиблись: в алгоритме или в арифметике?" | Сверяются с ответами: 1) $7 > \sqrt{48}$; 2) 9; 3) 7 и 8. Анализируют ошибки, если они есть. |
Эталон решения
1) $7 = \sqrt{49}$, $\sqrt{49} > \sqrt{48}$.
2) $(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} + 2^2 - 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5} + 4 - 4\sqrt{5} = 9$.
3) $49 < 54 < 64 \Rightarrow \sqrt{49} < \sqrt{54} < \sqrt{64} \Rightarrow 7 < \sqrt{54} < 8$.
2) $(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} + 2^2 - 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5} + 4 - 4\sqrt{5} = 9$.
3) $49 < 54 < 64 \Rightarrow \sqrt{49} < \sqrt{54} < \sqrt{64} \Rightarrow 7 < \sqrt{54} < 8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самоконтроль — это 50% успеха на ОГЭ. Теперь подведем итоги нашего занятия."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Заполним 'Билет на выход'. Напишите на листочках: 1) Что сегодня было самым простым? 2) В каком моменте вы испытали затруднение? 3) Оцените свою готовность к заданиям 6 и 7 ОГЭ по шкале от 1 до 5." | Заполняют краткие анкеты-рефлексии, сдают их учителю при выходе. |
4 мин | "Запишем домашнее задание. Оно дифференцированное. Обратите внимание на 'продвинутый' уровень — там задание с параметром, которое может встретиться во второй части." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания самостоятельной работы, продемонстрировано владение обоими методами сравнения, нет вычислительных ошибок.
- «4» — допущена одна негрубая ошибка в вычислениях или одно задание выполнено не полностью при верном ходе рассуждения.
- «3» — верно выполнено только одно задание полностью или два задания с существенными недочетами, но понимание темы присутствует.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой способ сравнения (возведение в квадрат или оценка) кажется вам более надежным? | Выявление субъективных предпочтений и уровня комфорта с методами. |
В чем была главная причина ошибки в тесте (если она была)? | Стимулирование метапознания и анализа причин ошибок (невнимательность vs незнание). |
Сможете ли вы объяснить товарищу, как найти число на прямой между корнями? | Оценка уровня усвоения материала (уровень «Создание/Оценка» по Блуму). |
Завершающее слово учителя
"Ребята, сегодня мы сделали важный шаг к уверенности на экзамене. Действительные числа только кажутся сложными, но если у вас в руках есть четкий алгоритм, они становятся послушными инструментами. Не бойтесь иррациональности — она вполне измерима. На следующем уроке мы углубимся в свойства функций, содержащих корни. Спасибо за работу, до встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №145, №148; РешуОГЭ: 5 заданий из раздела №7. | Отработка навыка сравнения корней и целых чисел. |
Средний (повышающий) | Карточка: сравнить выражения $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$ и $(\sqrt{6}-\sqrt{4})$. | Требует применения свойств неравенств или более тонкой оценки. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти все целые значения $n$, при которых $\sqrt{n}$ находится между 4,5 и 4,6. | Задание на обратное рассуждение и работу с двойными неравенствами. |
Контрольный вопрос: Какое целое число ближе всего к числу $\sqrt{70}$? (Ответ обоснуйте перед уходом).