Действительные числа и их свойства: от теории к практике ОГЭ
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о множестве действительных чисел, научиться представлять их в виде бесконечных десятичных дробей и применять навыки прикидки и оценки в задачах формата ОГЭ.
- Образовательная задача: Сформировать понимание структуры множества действительных чисел (R), научить различать рациональные и иррациональные числа, выполнять округление и оценку результатов вычислений.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через установление взаимно однозначного соответствия между числами и точками координатной прямой.
- Воспитательная задача: Снизить уровень экзаменационной тревожности через отработку типичных заданий ОГЭ (№6, №10) и формирование навыка самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математической грамотности.
- Способность к самооценке своих учебных достижений в контексте подготовки к государственной итоговой аттестации.
- Развитие критического мышления при анализе точности и достоверности полученных результатов.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий, преобразовывать информацию из одной формы в другую (число — точка на прямой).
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции в процессе выполнения вычислений, умение оценивать вероятность ошибки.
- Коммуникативные: умение аргументированно представлять свою точку зрения, вести диалог в процессе поиска решения.
Предметные
- Знать определения рациональных, иррациональных и действительных чисел.
- Уметь представлять любое действительное число в виде бесконечной десятичной дроби.
- Владеть навыками сравнения действительных чисел и определения их положения на координатной прямой.
- Уметь выполнять округление чисел с заданной точностью и осуществлять прикидку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению, волевая саморегуляция в ситуациях затруднения.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (рациональность/иррациональность), построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, умение точно выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа самостоятельной работы (задания открытого банка ОГЭ, №10) — 25 шт.
- Подготовить презентацию с визуализацией координатной прямой и «увеличением» участков между целыми числами.
- Подготовить плакат или слайд со схемой классификации числовых множеств (N, Z, Q, I, R).
- Проверить наличие на столах справочных материалов (таблица квадратов), которые разрешены на ОГЭ.
- Заготовить на доске таблицу для приёма «З-Х-У» (Знаю — Хочу узнать — Узнал).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу, актуализировать значимость темы для успешной сдачи ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня на уроке мы не просто изучаем теорию чисел, мы работаем над тем, чтобы каждый из вас чувствовал себя уверенно на экзамене. Знаете ли вы, что ошибки в вычислениях и неправильное понимание иррациональных чисел — это одна из самых частых причин потери баллов в первой части ОГЭ?» | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие тетрадей и письменных принадлежностей. |
2 мин | «Посмотрите на экран. Здесь записаны три числа: $0.5$, $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{2}$. Какое из них лишнее? Почему? Сегодня мы разберемся, как эти разные «личности» уживаются на одной числовой прямой и как быстро их оценивать без калькулятора, который на экзамене нам не поможет.» | Высказывают предположения: «Лишнее $\sqrt{2}$, так как корень не извлекается нацело», «Лишнее $0.5$, так как это конечная дробь». Включаются в обсуждение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши догадки верны. Мы имеем дело с разными мирами чисел. Давайте вспомним, что мы уже знаем о них, чтобы построить общую картину».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить классификацию чисел и правила перевода дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте заполним схему числовых множеств. Я называю число, а вы определяете его "прописку": $5$, $-3$, $0.75$, $\frac{2}{7}$. Что общего у всех этих чисел? Как мы называем числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$?» Учитель рисует круги Эйлера на доске. | Отвечают: «5 — натуральное, целое, рациональное», «-3 — целое, рациональное». Формулируют определение: «Это рациональные числа (Q)». |
2 мин | «А теперь вспомним 6-й класс. Как представить $\frac{2}{5}$ в виде десятичной дроби? А $\frac{1}{3}$? Запишите результаты в тетрадь.» | Выполняют деление в столбик. Записывают: $0.4$ и $0.333... = 0.(3)$. Делают вывод о конечных и бесконечных периодических дробях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, рациональные числа — это всегда либо конечные, либо бесконечные периодические дроби. Но что делать с $\sqrt{2}$? Это наш следующий шаг».
Этап 3. Постановка проблемы и выявление причины затруднения (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: зафиксировать невозможность представления иррационального числа в виде периодической дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Попробуйте найти такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Мы знаем, что $1^2 = 1$, а $2^2 = 4$. Значит, это число где-то между 1 и 2. Давайте попробуем $1.4$ и $1.5$.» | Вычисляют: $1.4^2 = 1.96$, $1.5^2 = 2.25$. Видят, что 2 находится между ними. |
2 мин | «Можно ли продолжать этот процесс до бесконечности и получить ровно 2? Появится ли период? В этом и заключается проблема: существуют числа, которые нельзя записать как $\frac{m}{n}$. Как мы их назовем?» | Осознают затруднение. Выдвигают гипотезу: «Это иррациональные числа. У них нет периода, цифры идут бесконечно и хаотично». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Объединение рациональных и иррациональных чисел дает нам множество действительных чисел. Тема нашего урока: Действительные числа».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие действительного числа как бесконечной десятичной дроби и установить связь с координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Любое действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Если она периодическая — число рациональное, если непериодическая — иррациональное. Запишите в тетрадь: $R = Q \cup I$. Приведите примеры иррациональных чисел, кроме корней. Вспомните геометрию.» | Записывают формулу. Вспоминают число $\pi \approx 3.14159...$ Обсуждают, что в нем нет повторяющегося цикла. |
4 мин | Учитель демонстрирует слайд с координатной прямой: «Представьте, что прямая — это плотная нить. Каждой точке на ней соответствует ровно одно действительное число, и наоборот. Это называется взаимно однозначным соответствием. Между любыми двумя рациональными числами всегда найдется иррациональное. Прямая "заполнена" полностью». | Делают зарисовку в тетради. Отмечают примерные положения точек $\sqrt{2} \approx 1.4$, $\sqrt{5} \approx 2.2$. |
4 мин | «Как сравнивать такие числа? Например, что больше: $\sqrt{3}$ или $1.7$? Для этого мы используем возведение в квадрат или перевод в десятичный вид с оценкой. $\sqrt{3} \approx 1.732$, значит $\sqrt{3} > 1.7$. А как сравнить $- \pi$ и $-3.14$?» | Предлагают варианты сравнения. Сравнивают: $-3.1415... < -3.1400...$ (так как по модулю первое больше). Тренируются в сравнении отрицательных чисел. |
Запись в тетрадях
1. $R$ — множество действительных чисел.
2. Рациональные: конечные или бесконечные периодические дроби.
3. Иррациональные: бесконечные непериодические дроби.
4. Сравнение: $a > b$, если $a - b > 0$.
2. Рациональные: конечные или бесконечные периодические дроби.
3. Иррациональные: бесконечные непериодические дроби.
4. Сравнение: $a > b$, если $a - b > 0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы разобрались с теорией. Теперь перейдем к практике, которая ждет вас в бланках ОГЭ».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык определения положения числа на координатной прямой (Задание №10 ОГЭ).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Разберем задание: На координатной прямой отмечена точка А. Известно, что она соответствует одному из четырех чисел: $\sqrt{17}$, $\sqrt{28}$, $0.6$, $4.5$. Точка А находится чуть правее числа 5. Какое это число?» Учитель рисует прямую на доске. | Анализируют: «0.6 и 4.5 не подходят, так как они меньше 5. $\sqrt{17}$ — это чуть больше 4 ($4^2=16$). $\sqrt{28}$ — это чуть больше 5 ($5^2=25$). Значит, ответ — $\sqrt{28}$». |
4 мин | «Используем прием "Толстые и тонкие вопросы". Задайте соседу "тонкий" вопрос по этому заданию (на знание факта) и "толстый" (на объяснение причины).» | Работают в парах. Пример тонкого вопроса: «Чему равен квадрат 5?». Толстый вопрос: «Почему мы сразу отбросили $\sqrt{17}$?» |
Эталон решения
1. Оцениваем границы: $5 = \sqrt{25}$, $6 = \sqrt{36}$.
2. Точка А лежит в интервале $(5; 6)$, значит ее значение под корнем должно быть между 25 и 36.
3. Из предложенных корней подходит только $\sqrt{28}$.
2. Точка А лежит в интервале $(5; 6)$, значит ее значение под корнем должно быть между 25 и 36.
3. Из предложенных корней подходит только $\sqrt{28}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь с оценкой корней. Это ключевой навык для ОГЭ».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить усвоение темы «Округление и прикидка» в условиях, близких к экзаменационным.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Раздает карточки с тремя заданиями: 1) Округлить $3.14159$ до сотых. 2) Найти значение выражения $(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)$. 3) Прикинуть, между какими целыми числами заключено число $\frac{132}{13}$. | Индивидуально решают задачи. Применяют формулу разности квадратов во втором задании: $(\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$. |
2 мин | «Сверьтесь с эталоном на экране. Поставьте себе "+" за каждое верное решение. Если есть ошибка — обведите ее, это ваша зона роста.» | Проверяют работы, проводят самоанализ. Задают вопросы по округлению (правило «пятерки»). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самоконтроль — это 50% успеха на ОГЭ. Идем дальше».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить изученное и оценить уровень понимания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вернемся к нашей таблице "З-Х-У". Что мы сегодня добавили в колонку "Узнал"? Как прикидка помогает нам избежать глупых ошибок в вычислениях?» | Заполняют последнюю колонку: «Узнали разницу между рациональными и иррациональными», «Поняли, как искать корни на прямой». Отвечают: «Прикидка позволяет сразу увидеть, что ответ не может быть 100, если мы умножаем 9 на 11». |
2 мин | «Оцените свою работу на уроке с помощью метода "Светофор". Зеленый — тема понятна, готов к ОГЭ. Желтый — есть сомнения в иррациональных числах. Красный — нужно еще раз разобрать теорию.» | Поднимают цветные карточки или рисуют кружок соответствующего цвета на полях тетради. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания самостоятельной работы, приведено обоснование при сравнении чисел, нет ошибок в округлении.
- «4» — допущена одна негрубая ошибка в вычислениях или округлении, но ход решения в заданиях на координатную прямую верный.
- «3» — верно выполнено только 1-2 задания, есть путаница между рациональными и иррациональными числами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое задание из формата ОГЭ сегодня показалось самым простым? | Выявление уровня уверенности в типичных задачах. |
В чем разница между $0.(3)$ и $\sqrt{3}$ с точки зрения записи цифрами? | Проверка понимания периодичности рациональных чисел. |
Где в реальной жизни нам может понадобиться навык прикидки? | Осознание практической значимости темы (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы навели порядок в мире чисел. Помните, что действительные числа — это не просто абстракция, а инструмент. На экзамене не бойтесь корней: они такие же точки на прямой, как и привычные вам двойки и тройки. Главное — уметь их "приручить" через оценку и возведение в квадрат. На следующем уроке мы углубимся в свойства корней, что поможет нам решать еще более сложные задачи. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 215, 218; РешуОГЭ: 5 заданий типа №10. | Отработка навыка сравнения и расположения чисел на прямой. |
Средний (повышающий) | № 225 (доказать иррациональность суммы). | Развитие навыков логического доказательства от противного. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследование: найти 5 интересных фактов о числе $\pi$ или золотом сечении. | Подготовка мини-сообщения о связи математики и искусства/природы. |
Контрольный вопрос: «Как быстро проверить, правильно ли вы извлекли корень при прикидке?» (Ответ: возвести полученное целое число в квадрат и сравнить с подкоренным выражением).