Множество действительных чисел; действительные числа как бесконечные десятичные дроби
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут классифицировать числа по множествам (N, Z, Q, I, R) и представлять любое действительное число в виде бесконечной десятичной дроби.
- Образовательная задача: Систематизировать знания о числовых множествах, ввести понятие иррационального и действительного числа.
- Развивающая задача: Развивать навыки смыслового чтения при работе с учебником и умение сравнивать числа в разных форматах записи.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ через решение практико-ориентированных задач.
- Методическая задача: Использовать элементы игры и парную работу для повышения учебной мотивации.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Критичность мышления при анализе числовой информации.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать аналогии, переходить от одной формы записи числа к другой.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать её с позицией партнёра.
Предметные
- Знать определения рационального, иррационального и действительного числа.
- Уметь представлять рациональные числа в виде бесконечных периодических дробей, а иррациональные — в виде бесконечных непериодических.
- Владеть навыком сопоставления чисел и точек на координатной прямой (в контексте заданий ОГЭ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности саморазвития и самообразования.
- Развитие логического мышления и математической интуиции.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование цели урока.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Извлечение необходимой информации из текста учебника.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Учет разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве.
- Адекватное использование речевых средств для решения различных коммуникативных задач.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с заданиями №7 из открытого банка ОГЭ.
- Распечатать карточки для игры «Числовое лото» (по 1 на пару, 15 шт.).
- Подготовить таблицу-схему «Числовые множества» для вывешивания на доску.
- Обеспечить наличие учебников «Алгебра 9 класс» (авт. Макарычев Ю.Н. и др.) на каждой парте.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность через связь с ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем исследовать мир чисел. Перед вами на слайде — типичное задание №7 из демоверсии ОГЭ этого года. Нужно определить, между какими целыми числами заключено число √27. Как вы думаете, достаточно ли нам знаний только о целых или рациональных числах, чтобы уверенно решать такие задачи?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников и тетрадей. Смотрят на слайд, включаются в диалог. Отвечают: «Нужно знать, чему примерно равен корень», «Этого числа нет в таблице квадратов как целого». |
2 мин | «Верно. Чтобы успешно сдать экзамен и понимать структуру математики, нам нужно навести порядок в нашей голове и разобраться, чем отличаются рациональные числа от иррациональных и как они вместе образуют множество действительных чисел. Это и будет темой нашего урока. Откройте тетради, запишите дату и тему: "Множество действительных чисел"». | Записывают дату и тему урока в тетради. Настраиваются на рабочий лад. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обозначили важную цель — научиться работать с любыми числами, которые могут встретиться в КИМ ОГЭ. Начнем с того, что нам уже хорошо знакомо».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить сведения о натуральных, целых и рациональных числах, выявить пробелы в понимании записи чисел в виде дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте проведем блиц-опрос. Я называю число, а вы — к какому множеству оно относится (N, Z или Q). Число 5? Число -12? Число 0,3? Число 1/3?». Учитель фиксирует ответы на доске в виде кругов Эйлера. «А теперь попробуйте представить число 1/3 в виде десятичной дроби. Что у вас получится?» | Отвечают с места: «5 — натуральное, целое, рациональное»; «-12 — целое, рациональное»; «0,3 — рациональное». Выполняют деление 1 на 3 в тетрадях: «Получается 0,333... бесконечно». |
2 мин | «Мы получили бесконечную периодическую дробь. А теперь посмотрите на число √2. Можно ли его представить в виде такой же периодической дроби? Попробуйте найти его значение хотя бы до третьего знака». Учитель наблюдает за попытками учеников. | Пытаются подобрать число, квадрат которого равен 2. Сталкиваются с затруднением: «1,4 — мало, 1,5 — много», «1,41... знаки не повторяются закономерно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что не все числа ведут себя одинаково при попытке записать их десятичной дробью. В этом и кроется главный секрет действительных чисел».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание. Игра «Верю — не верю» (4 мин)
Цель этапа: сформулировать основной вопрос урока через игровой элемент.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Сыграем в игру. Я читаю утверждение, а вы поднимаете руку, если верите мне. 1) Любое целое число является рациональным. 2) Любую обыкновенную дробь можно перевести в бесконечную периодическую десятичную дробь. 3) Существуют числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n. 4) Число π (пи) — это рациональное число». Учитель фиксирует мнения на доске. | Поднимают руки, выражая согласие или несогласие. Возникает дискуссия по 2-му и 4-му пунктам. Ученики осознают, что не знают точного определения иррациональности числа π. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мнения разделились. Чтобы разрешить наши споры, обратимся к самому надежному источнику — нашему учебнику».
Этап 4. Открытие нового знания. Работа с учебником (10 мин)
Цель этапа: изучить теоретический материал о структуре множества действительных чисел и способах их представления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на странице 102. Прочитайте первый и второй абзацы. Найдите ответ на вопрос: как можно представить любое рациональное число? Запишите в тетрадь общую формулу рационального числа и пример периодической дроби». Учитель проходит по рядам, проверяя записи. | Читают текст учебника. Записывают: «Рациональное число — это число вида m/n, где m — целое, n — натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби». Приводят пример: 1/6 = 0,1(6). |
5 мин | «Теперь обратите внимание на определение иррационального числа. Чем оно отличается от рационального? Посмотрите на схему на странице 104. Из каких двух множеств состоит множество действительных чисел R? Нарисуйте эту схему в тетради». Учитель выводит на экран слайд с итоговой классификацией. | Находят определение: «Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь». Зарисовывают схему: R = Q (рациональные) + I (иррациональные). Записывают примеры: √3, π, -√5. |
Запись в тетрадях
R (Действительные числа) = Q (Рациональные) ∪ I (Иррациональные).
Q: 5; -2; 0,5; 1/3 = 0,333... (периодические).
I: √2 ≈ 1,414...; π ≈ 3,1415... (непериодические).
Q: 5; -2; 0,5; 1/3 = 0,333... (периодические).
I: √2 ≈ 1,414...; π ≈ 3,1415... (непериодические).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы знаем теорию. Настало время проверить её на практике и научиться отличать "своих" от "чужих" в мире чисел».
Этап 5. Первичное закрепление. Парная работа «Числовое лото» (8 мин)
Цель этапа: закрепить навык классификации чисел через интерактивное взаимодействие в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Сейчас вы будете работать в парах. У вас на столах лежат карточки с числами и игровое поле с двумя колонками: "Рациональные" и "Иррациональные". Ваша задача — как можно быстрее распределить все карточки. Если сомневаетесь — обсуждайте с соседом!» | Слушают инструктаж, распределяют роли в паре (кто раскладывает, кто проверяет по учебнику). |
5 мин | Учитель наблюдает за процессом, дает подсказки. На карточках: 0; -√9; √7; 1,2(3); π/2; 5/11; √0,16. «Обратите внимание на √9 и √0,16. Будьте осторожны!» | Обсуждают: «√9 — это же 3, значит оно рациональное!», «А √7 не извлекается нацело — это иррациональное». Раскладывают карточки по колонкам. |
2 мин | «Проверим результаты. Сверьтесь с эталоном на слайде. Поднимите руку те, кто не допустил ни одной ошибки». Учитель комментирует сложные случаи (например, π/2). | Сверяют свои поля с экраном. Анализируют ошибки. Те, кто ошибся в √0,16, исправляют: «Это 0,4, значит рациональное». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично справились! Работа в паре помогла вам увидеть нюансы, которые легко пропустить в одиночку».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через решение задач разной сложности в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Пришло время индивидуальной проверки. Выберите уровень сложности сами. Уровень А (базовый) — №263, 265 из учебника. Уровень Б (средний) — задание на слайде: расположите числа в порядке возрастания: 2,6; √7; 2,(6). Уровень С (продвинутый) — докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное». | Выбирают уровень. Большинство приступает к уровням А и Б. Решают задачи в тетрадях. Ученики уровня Б переводят √7 ≈ 2,64... и сравнивают: 2,6 < √7 < 2,(6). |
2 мин | Учитель открывает ответы на закрытой части доски. «Проверьте себя. Поставьте себе плюс за каждое верно решенное задание». | Проводят самопроверку, фиксируют результаты в листах самооценки. |
Эталон решения (Уровень Б)
1) 2,6 = 2,600...
2) √7 ≈ 2,645... (так как 2,64² = 6,9696, а 2,65² = 7,0225)
3) 2,(6) = 2,666...
Сравнение: 2,600 < 2,645 < 2,666. Ответ: 2,6; √7; 2,(6).
2) √7 ≈ 2,645... (так как 2,64² = 6,9696, а 2,65² = 7,0225)
3) 2,(6) = 2,666...
Сравнение: 2,600 < 2,645 < 2,666. Ответ: 2,6; √7; 2,(6).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что вы уже готовы щелкать задачи из ОГЭ как орешки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить свою деятельность и получить инструкции по выполнению домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к нашему вопросу из начала урока про √27. Теперь вы знаете, что это иррациональное число. Как его оценить?». Учитель раздает листы рефлексии. | Отвечают: «√25 < √27 < √36, значит число между 5 и 6». Заполняют листы рефлексии. |
3 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя выбор уровней. «Обратите внимание на творческое задание — оно поможет вам лучше запомнить структуру множеств». | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или С), в парной работе проявлена активность, нет ошибок в классификации чисел.
- «4» — Допущены 1-2 негрубые ошибки в вычислениях или классификации (например, неверно извлечен корень из десятичной дроби), но ход решения верный.
- «3» — Ученик справляется только с базовым уровнем А, допускает ошибки в определении иррациональных чисел, требует помощи учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое числовое множество оказалось для вас самым «запутанным»? | Выявление зон затруднения в классификации (обычно иррациональные числа). |
Сможете ли вы теперь без калькулятора отличить рациональное число от иррационального? | Оценка осознанности усвоения признака (периодичность дроби). |
Что в парной работе помогло вам выполнить задание быстрее? | Анализ навыков коммуникации и распределения обязанностей. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы проделали большую работу: от простых натуральных чисел до бесконечных непериодических дробей. Мы увидели, что математика — это не только строгие правила, но и стройная система, где каждому числу есть свое место. Помните, что на ОГЭ именно внимание к деталям (период это или нет) приносит заветные баллы. На следующем уроке мы научимся сравнивать эти числа более сложными способами. Спасибо за урок, вы отлично потрудились!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №267, №272 | Закрепление навыка перевода дробей и классификации чисел. |
Средний (повышающий) | №275, №278 | Задания на сравнение иррациональных выражений и нахождение приближенных значений. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Составить ментальную карту (Mind Map) «Числовые множества» с примерами из жизни или истории математики. |
Контрольный вопрос перед уходом: «Является ли число 0,1010010001... (где количество нулей растет) рациональным? Почему?»