Квадратный трехчлен и его корни. Разложение на множители
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение находить корни квадратного трехчлена и раскладывать его на линейные множители по формуле a(x-x1)(x-x2).
- Образовательная задача: Вывести алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители и отработать его на примерах уровня ОГЭ.
- Развивающая задача: Развивать навыки самоконтроля через использование ИКТ-инструментов и сопоставление результатов с эталоном.
- Воспитательная задача: Снизить уровень экзаменационной тревожности через демонстрацию применимости темы в заданиях второй части ОГЭ.
- Межпредметная задача: Показать связь квадратного трехчлена с физическими процессами (траектория движения тела).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров при работе в парах.
Предметные
- Знать определение квадратного трехчлена и его корней.
- Уметь раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители.
- Уметь применять разложение для сокращения рациональных дробей (задание №20 ОГЭ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к обучению и познанию.
Регулятивные УУД
- Внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действия в случае расхождения эталона и реального действия.
Познавательные УУД
- Преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в группе — устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 экз.
- Подготовить презентацию со слайдами: задание №20 ОГЭ, алгоритм разложения, физическая задача.
- Проверить работу проектора и доступ к онлайн-сервису Desmos или GeoGebra для демонстрации графиков.
- Подготовить QR-коды для быстрой самопроверки ответов через смартфоны.
- Выписать на доску ключевые формулы: дискриминант и корни квадратного уравнения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочую атмосферу, актуализировать утилитарную значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем тему, которая является 'золотым ключиком' ко многим заданиям ОГЭ. Посмотрите на экран. Перед вами пример из второй части экзамена — сокращение дроби. Кто видит, что мешает нам просто сократить иксы?" | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Смотрят на слайд с заданием: \( \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \). |
2 мин | "Правильно, в числителе у нас сумма, а сокращать можно только множители. Наша задача сегодня — научиться превращать такие выражения, как \( x^2 - 5x + 6 \), в произведение. Это выражение называется квадратным трехчленом. Запишем тему урока." | Отвечают: "В числителе стоит выражение с квадратом, это не произведение". Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы научиться раскладывать на множители, нам нужно вспомнить базу — корни квадратного уравнения."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить нахождение корней квадратного уравнения через дискриминант и теорему Виета.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "На доске выписаны три выражения. Найдите их корни любым удобным способом. Применяем приём 'Спринт': у вас 2 минуты. \( x^2 - 7x + 10 = 0 \), \( x^2 + 3x - 4 = 0 \), \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)." | Решают уравнения в тетрадях. Кто-то использует теорему Виета для первых двух, кто-то — дискриминант. |
2 мин | "Сверяем ответы. Для первого уравнения: 2 и 5. Для второго: 1 и -4. Для третьего: 2 и 0,5. Поднимите руки, у кого все три верно? Отлично. Эти числа мы будем называть корнями квадратного трехчлена." | Проверяют свои решения, поднимают руки. Исправляют ошибки, если они есть. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Корни найдены. Теперь переходим к 'открытию' — как эти корни помогут нам разложить выражение на множители."
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу разложения квадратного трехчлена на множители через проблемную ситуацию.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте проведем эксперимент. Возьмем наше первое выражение \( x^2 - 7x + 10 \). Его корни 2 и 5. Попробуйте перемножить две скобки: \( (x - 2)(x - 5) \). Что получится? Используйте распределительный закон." | Выполняют умножение: \( x \cdot x - 5x - 2x + 10 = x^2 - 7x + 10 \). С удивлением обнаруживают, что получилось исходное выражение. |
4 мин | "Работает ли это для третьего уравнения \( 2x^2 - 5x + 2 \)? Его корни 2 и 0,5. Проверьте: \( (x - 2)(x - 0,5) \). Получилось? Нет? Чего-то не хватает? Посмотрите на коэффициент 'a'." | Умножают: \( x^2 - 2,5x + 1 \). Замечают, что результат в 2 раза меньше исходного. Предлагают: "Нужно домножить на 2!" |
2 мин | "Верно! Мы только что вывели формулу: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \). Запишем её в рамку. Это наш главный инструмент на сегодня." | Записывают формулу в тетрадь, выделяют её цветом. |
Запись в тетрадях
Теорема: Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \), то \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула есть. Теперь проверим, как она работает в 'боевых' условиях ОГЭ."
Этап 4. Первичное закрепление и ИКТ (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на типовых задачах, используя ИКТ для визуализации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Разложим на множители \( 3x^2 - 10x + 3 \). Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Идем по шагам: 1) Приравнять к нулю. 2) Найти корни. 3) Подставить в формулу." | Ученик у доски находит \( D = 100 - 36 = 64 \), корни 3 и 1/3. Записывает: \( 3(x - 3)(x - 1/3) \). По совету учителя вносит 3 во вторую скобку: \( (x - 3)(3x - 1) \). |
4 мин | "А теперь внимание на экран. Я открываю GeoGebra. Посмотрите на график функции \( y = 3x^2 - 10x + 3 \). Где парабола пересекает ось X? В точках 3 и 0,333... Видите связь? График подтверждает наши вычисления." | Наблюдают за интерактивным графиком. Осознают геометрический смысл корней трехчлена. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм понятен. Теперь — самостоятельная практика."
Этап 5. Практикум: Самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная отработка навыка с дифференциацией по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Раздаю карточки. Уровень 'А' — базовый (просто разложить), уровень 'Б' — сократить дробь (как в ОГЭ), уровень 'В' — найти параметр. Выбирайте свой уровень. Таймер на 8 минут." | Выбирают задания и решают их. Учитель проходит по рядам, консультирует слабых учеников. |
2 мин | "Время вышло. На обороте доски записаны ответы. Сверьтесь. Если есть ошибка — обведите её в кружок, мы разберем её позже." | Самопроверка по эталону. Фиксируют свои успехи и затруднения. |
Эталон решения (уровень Б)
Сократить дробь: \( \frac{2x^2 + 5x - 3}{x + 3} \).
1) Корни числителя: \( D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 \); \( x_1 = 0,5 \), \( x_2 = -3 \).
2) Разложение: \( 2(x - 0,5)(x + 3) = (2x - 1)(x + 3) \).
3) Сокращение: \( \frac{(2x - 1)(x + 3)}{x + 3} = 2x - 1 \).
1) Корни числителя: \( D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 \); \( x_1 = 0,5 \), \( x_2 = -3 \).
2) Разложение: \( 2(x - 0,5)(x + 3) = (2x - 1)(x + 3) \).
3) Сокращение: \( \frac{(2x - 1)(x + 3)}{x + 3} = 2x - 1 \).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось с уровнем Б. Это значит, что 2 балла на ОГЭ у вас почти в кармане!"
Этап 6. Межпредметные связи и обобщение (6 мин)
Цель этапа: показать применение математической модели в физике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Ребята, на уроках физики вы изучали движение тела, брошенного вверх. Высота полета описывается формулой \( h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \). Посмотрите, это же квадратный трехчлен относительно времени 't'! Если мы разложим его на множители, мы сразу увидим, в какие моменты времени мяч будет на земле (высота 0)." | Анализируют формулу. Узнают в ней знакомую структуру \( at^2 + bt + c \). Обсуждают, что корни — это моменты взлета и падения. |
2 мин | "Математика дает нам язык для описания мира. Квадратный трехчлен — это не просто строчка из учебника, это траектория прыжка, форма арки моста и даже расчет прибыли предприятия." | Слушают учителя, делают краткие пометки о связи с физикой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить уровень усвоения материала и поставить задачи на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Обратите внимание на задание из сборника ОГЭ — оно обязательно для всех." | Записывают задание в дневники. |
2 мин | "Проведем рефлексию 'Светофор'. Зеленый — я умею раскладывать трехчлен и могу объяснить другому. Желтый — я понял формулу, но иногда ошибаюсь в корнях. Красный — мне нужна помощь." | Поднимают цветные карточки (или сигнальные листы). Большинство — зеленые и желтые. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно выполнены все задания уровня Б или одно задание уровня В. Нет ошибок в вычислении дискриминанта и применении формулы.
- "4" — Верно выполнены задания уровня А и допущена одна негрубая ошибка в уровне Б (например, арифметическая при сохранении верного алгоритма).
- "3" — Выполнены задания уровня А, но есть затруднения с разложением трехчленов, где коэффициент 'a' отличен от 1.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую главную ошибку можно допустить при использовании формулы разложения? | Выявление типичной ошибки — забывание коэффициента 'a' перед скобками. |
Где в заданиях ОГЭ нам пригодится сегодняшний навык? | Осознание практической значимости темы для итоговой аттестации. |
Какой этап решения был для тебя самым сложным: поиск корней или подстановка в формулу? | Диагностика индивидуальных затруднений (алгебраические навыки vs понимание новой темы). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг в подготовке к экзаменам. Вы увидели, что страшные выражения из второй части ОГЭ легко 'рассыпаются' на простые множители, если знать формулу. Не бойтесь ошибаться в расчетах сейчас — главное, что вы поняли принцип. На следующем уроке мы научимся строить графики этих выражений и увидим их красоту в движении. Всем спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 76 (а, в, д), № 77 (а, б). | Отработка прямого применения формулы разложения. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ (Ященко): Варианты 1-5, задание №20. | Сокращение рациональных дробей с использованием разложения. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача на карточке: 'При каких значениях k трехчлен \( x^2 + kx + 9 \) разлагается на два одинаковых множителя?' | Исследование связи между дискриминантом и видом разложения. |
Контрольный вопрос: Как изменится разложение трехчлена, если его дискриминант равен нулю?