Квадратичная функция и её график: алгоритм построения и свойства
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение строить график квадратичной функции y = ax² + bx + c по алгоритму и использовать его для решения задач формата ОГЭ.
- Образовательная задача: Вывести алгоритм нахождения координат вершины параболы и построения графика, закрепить навыки вычисления коэффициентов.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления через установление связей между аналитической формулой и геометрическим образом.
- Воспитательная задача: Снизить уровень тревожности перед экзаменом через отработку типовых заданий и формирование навыка самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к адаптации в стрессовых ситуациях (подготовка к экзаменам).
- Умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в процессе парной работы.
- Осознание математики как универсального языка науки, применимого в физике и технике.
Метапредметные
- Познавательные: умение переводить информацию из одной формы в другую (график → формула → таблица).
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции собственных действий при построении графиков.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулу координат вершины параболы x₀ = -b/(2a).
- Уметь строить график функции y = ax² + bx + c по точкам (вершина, нули функции, пересечение с Oy).
- Уметь определять направление ветвей и положение вершины в зависимости от коэффициентов a, b, c.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование мотивации к обучению и целенаправленной познавательной деятельности.
- Развитие навыков самооценки на основе критериев успешности.
Регулятивные УУД
- Умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя.
- Планирование своего действия в соответствии с поставленной задачей.
Познавательные УУД
- Добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник и информацию, полученную на уроке.
- Преобразование объекта из чувственной формы в модель.
Коммуникативные УУД
- Слушать и понимать речь других.
- Совместно договариваться о правилах поведения и общения в паре и следовать им.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с алгоритмом построения параболы (15 шт. — на каждую парту).
- Подготовить презентацию с заданиями №11 и №22 из открытого банка ФИПИ (ОГЭ).
- Проверить наличие миллиметровой бумаги или тетрадей в клетку у всех учеников.
- Подготовить демонстрационную модель «Движение тела, брошенного под углом к горизонту» (видеофрагмент или анимация).
- Выписать на доску ключевые формулы: x₀ = -b/(2a), y₀ = f(x₀), D = b² - 4ac.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, показать практическую значимость темы через межпредметные связи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем исследовать мир функций. Посмотрите на экран (слайд с фонтаном и траекторией баскетбольного мяча). Физики говорят, что это баллистическая траектория. А как назовем эту линию мы, математики?» | Приветствуют учителя. Смотрят на экран, отвечают хором: «Парабола!» |
2 мин | «Верно. Парабола — это не просто красивая дуга. В архитектуре она держит мосты, в физике описывает движение тел, а в вашем КИМ ОГЭ она встречается минимум в двух заданиях. Сегодня наша задача — научиться строить её так точно, чтобы ни один эксперт не смог придраться. Вы готовы стать мастерами парабол?» | Слушают учителя, настраиваются на серьезную работу. Записывают дату и тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Для того чтобы строить сложные графики, нам нужно вспомнить базу. Переходим к разминке».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства функции y = ax² и влияние коэффициента 'a' на график.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Приём «Верно — Неверно». «Я читаю утверждение, если вы согласны — хлопок, если нет — тишина. 1) У функции y = 2x² ветви направлены вниз. 2) Область определения любой квадратичной функции — все числа. 3) График y = -x² симметричен относительно оси Oy. 4) Если |a| > 1, парабола растягивается вдоль оси ординат». | Участвуют в игре. 1) Тишина. 2) Хлопок. 3) Хлопок. 4) Хлопок. Обсуждают ошибки, если они возникли. |
2 мин | «Вспомните, как мы строили график y = x² + 2. Куда он сдвигался? А y = (x-3)²? А что делать, если функция выглядит так: y = x² - 4x + 3? Можем ли мы сразу сказать, где её вершина?» | Отвечают: «Вверх на 2 единицы», «Вправо на 3 единицы». Задумываются над последним вопросом, признают затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы столкнулись с проблемой: старые методы сдвига графиков здесь работают плохо. Нам нужен универсальный алгоритм».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Проблематизация и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и составить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Итак, какова тема нашего сегодняшнего урока, если мы хотим научиться строить любую параболу? Сформулируйте цель по SMART. Что мы должны уметь к концу 45-й минуты?» | Формулируют: «Тема: Квадратичная функция и её график. Цель: научиться строить график функции y = ax² + bx + c и находить координаты вершины». |
2 мин | «Давайте составим план. Что нам нужно знать первым делом? Что вторым? Как мы поймем, где парабола пересекает оси? Запишем пункты нашего будущего алгоритма на доске». | Предлагают пункты: 1. Направление ветвей. 2. Вершина. 3. Точки пересечения с осями X и Y. 4. Таблица дополнительных точек. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План готов. Приступаем к реализации проекта выхода из затруднения».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу вершины параболы и отработать алгоритм в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Ребята, математики уже доказали, что абсцисса вершины вычисляется по формуле x₀ = -b/(2a). Давайте запишем её в рамку. Как найти y₀, если мы знаем x₀? Правильно, подставить в уравнение функции. Давайте вместе найдем вершину для нашей функции y = x² - 4x + 3. Чему равны коэффициенты a и b?» | Записывают формулу. Отвечают: «a = 1, b = -4». Считают: x₀ = -(-4)/(2*1) = 2. Подставляют: y₀ = 2² - 4*2 + 3 = -1. Вершина (2; -1). |
7 мин | «Теперь работа в парах. У вас на столах рабочие листы. Задание: заполните таблицу алгоритма для функции y = -x² + 6x - 5. Обсудите с соседом: куда направлены ветви? Как найти точки пересечения с осью Ox? (Подсказка: y=0)» | Работают в парах. Один считает вершину, другой — дискриминант и корни. Заполняют таблицу: ветви вниз, вершина (3; 4), пересечение с Ox в точках (1;0) и (5;0), с Oy в (0;-5). |
Запись в тетрадях
- Алгоритм построения параболы:
- 1. Определить направление ветвей (знак a).
- 2. Найти координаты вершины (x₀; y₀): x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀).
- 3. Провести ось симметрии x = x₀.
- 4. Найти точки пересечения с осями координат.
- 5. Отметить дополнительные точки (симметричные).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм у нас в руках. Теперь проверим его в условиях, максимально приближенных к боевым — к ОГЭ».
Этап 5. Первичное закрепление. Подготовка к ОГЭ (7 мин)
Цель этапа: научиться сопоставлять графики и коэффициенты (Задание №11 ОГЭ).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Посмотрите на экран. Задание №11: даны три графика и три формулы. Как, не строя графики полностью, быстро найти соответствие? На что смотрим в первую очередь? Как влияет коэффициент c на график?» | Отвечают: «Сначала на ветви (коэффициент a), потом на точку пересечения с осью Y (коэффициент c)». Анализируют предложенные варианты, выбирают ответы. |
3 мин | «А теперь задача посложнее. Если a > 0 и D < 0, как будет располагаться парабола относительно оси Ox? Будут ли у неё точки пересечения?» | Рассуждают: «Ветви вверх, корней нет, значит парабола висит над осью Ox». Рисуют схематичный набросок в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь с анализом. Пришло время самостоятельного творчества».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения алгоритма построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Перед вами карточка с заданием: построить график функции y = x² - 2x - 3. Время пошло. Используйте алгоритм. Кто закончит — поднимите руку, я дам эталон для проверки». | Индивидуально строят график в тетрадях. Находят вершину (1; -4), точки (-1; 0), (3; 0), (0; -3). |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон решения. «Сверьте свои графики. Обратите внимание на плавность линии и наличие оси симметрии. Оцените себя по критериям на доске». | Сверяют свои работы с эталоном. Исправляют ошибки карандашом, выставляют себе предварительный балл. |
Эталон решения
Функция: y = x² - 2x - 3.
1. a = 1 > 0, ветви вверх.
2. x₀ = -(-2)/2 = 1; y₀ = 1² - 2*1 - 3 = -4. Вершина (1; -4).
3. Нули функции: x² - 2x - 3 = 0. По т. Виета x₁ = 3, x₂ = -1.
4. Пересечение с Oy: (0; -3).
5. Дополнительная точка (симметричная (0;-3)): (2; -3).
1. a = 1 > 0, ветви вверх.
2. x₀ = -(-2)/2 = 1; y₀ = 1² - 2*1 - 3 = -4. Вершина (1; -4).
3. Нули функции: x² - 2x - 3 = 0. По т. Виета x₁ = 3, x₂ = -1.
4. Пересечение с Oy: (0; -3).
5. Дополнительная точка (симметричная (0;-3)): (2; -3).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности с расчетами, обратите внимание на таблицу умножения и знаки при вычитании».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Подведем итоги. Вспомните цель, которую мы ставили. Удалось ли её достичь? Что было самым сложным: формула вершины или расчет точек?» | Высказываются по желанию. Анализируют свои затруднения (например, «путаю знаки в формуле x₀»). |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное. Выберите тот уровень, который вам сейчас по силам, но помните про ОГЭ. Спасибо за урок!» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно определены все элементы алгоритма, график построен точно по точкам, линия плавная, подписаны оси и ключевые точки.
- «4» — Допущена одна вычислительная ошибка (например, в y₀), но алгоритм соблюден, график построен верно относительно ошибочной точки.
- «3» — Верно найдена только вершина и направление ветвей, график построен небрежно или отсутствуют точки пересечения с осями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую «ловушку» в формуле вершины параболы ты сегодня обнаружил? | Осознание типичной ошибки со знаком минус перед коэффициентом b. |
Сможешь ли ты объяснить алгоритм построения другу, который пропустил урок? | Проверка глубины понимания и способности к речевому формулированию знаний. |
Где в реальной жизни ты видел форму параболы, кроме примеров из начала урока? | Развитие кругозора и связи теории с практикой. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в подготовке к экзамену. Квадратичная функция — это база для решения неравенств и сложных задач с параметрами. Если сегодня у вас что-то не получилось — не страшно, мы только учимся. Помните: парабола всегда стремится вверх или вниз, но никогда не стоит на месте. Так и мы с вами — только вперед. До встречи на следующем уроке!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 121 (а, б), № 125. | Построить два графика по алгоритму в тетради. Отработка базового навыка. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ: Задание №11 (варианты 1-10). | Решить блок тестовых заданий на сопоставление графиков и формул. |
Продвинутый (дополнительный) | Задание №22 ОГЭ: построить график функции с модулем y = x² - 4|x| + 3. | Исследовательское задание для тех, кто претендует на оценку «5» на экзамене. |
Контрольный вопрос: «Как изменится положение вершины параболы y = x² + bx + c, если коэффициент c увеличить на 5 единиц?»