Графики функций y=k/x, y=√x, y=|x|: от построения к анализу
Цели и задачи
- Цель: Сформировать устойчивый навык распознавания и построения графиков функций y=k/x, y=√x, y=|x|, а также научить применять их свойства для решения практических задач в формате ОГЭ.
- Образовательная задача: Отработать алгоритм построения графиков по точкам и понимание влияния коэффициентов на положение графика.
- Развивающая задача: Развивать навыки визуального анализа графических моделей и умение переходить от аналитической записи функции к её геометрическому образу.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к точности чертежа и аккуратности ведения записей как элементов математической культуры.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математики.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение использовать графический язык для описания зависимостей, устанавливать причинно-следственные связи между формулой и графиком.
- Регулятивные: способность планировать шаги построения графика, оценивать правильность выполнения задания по эталону.
- Коммуникативные: умение аргументировать свой выбор варианта ответа, работая в парах.
Предметные
- Знать свойства и вид графиков функций y=k/x (гипербола), y=√x (ветвь параболы), y=|x| (уголок).
- Уметь строить графики указанных функций и находить значения функции по значению аргумента и наоборот.
- Владеть навыком сопоставления графиков с их формулами (задание №11 ОГЭ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между математическими моделями и реальными процессами (обратная пропорциональность).
- Самоопределение: оценка своих возможностей в решении задач повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит закрепить.
- Коррекция: внесение необходимых дополнений в план действий в случае расхождения эталона и реального результата.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (свойства функций).
- Синтез: составление целого образа графика из отдельных расчетных точек.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера: контроль, коррекция, оценка его действий при работе в парах.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заготовленными координатными плоскостями (по 1 на каждого ученика).
- Подготовить презентацию с заданиями в формате ОГЭ (задание №11) для фронтальной работы.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы трех уровней сложности (А, Б, В).
- Проверить наличие в кабинете чертежных инструментов: линеек, цветных карандашей.
- Открыть учебник (Алгебра 9 кл, авт. Макарычев и др.) на страницах с упражнениями для закрепления (стр. 182-185).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, обозначить практическую значимость темы для экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас урок-практикум. Мы завершаем блок изучения базовых функций. Посмотрите на доску: там выписаны три формулы. Как вы думаете, какая из них чаще всего встречается в КИМ ОГЭ? Правильно, все три. Наша задача сегодня — довести навык их узнавания и построения до автоматизма, чтобы на экзамене вы не тратили на это больше 30 секунд». | Приветствуют учителя, проверяют наличие линеек и карандашей. Смотрят на доску, где записаны функции y=k/x, y=√x, y=|x|. |
2 мин | «Сегодня мы работаем по принципу "минимум слов — максимум дела". У каждого на столе лежит рабочий лист. В конце урока вы сами оцените свою работу. Начнем с разминки "Верю — не верю"». | Слушают установку учителя, открывают рабочие листы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, настрой боевой. Переходим к быстрой проверке ваших теоретических знаний в действии».
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Верю — не верю» (5 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти ключевые свойства функций перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Я читаю утверждение. Если вы согласны — ставите в тетради "+", если нет — "-". 1. График функции y=k/x всегда проходит через начало координат. 2. Область определения функции y=√x — все числа больше или равные нулю. 3. График y=|x| симметричен относительно оси ординат. 4. Если k < 0, то ветви гиперболы лежат во 2 и 4 четвертях. 5. График y=√x — это целая парабола». | Записывают ответы в тетрадь: 1) -, 2) +, 3) +, 4) +, 5) -. |
2 мин | «А теперь посмотрите на экран (Слайд 1). Сверьте свои ответы. Кто ошибся в 1-м пункте? Почему гипербола не может пройти через (0,0)? Правильно, на ноль делить нельзя. Поднимите руки, у кого 5 из 5». | Проводят самопроверку по эталону на экране. Объясняют ошибки. Поднимают руки (сигнализируют о готовности). |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теорию вспомнили. Теперь переходим к чертежам. Помните: график в алгебре — это как почерк в литературе, он должен быть понятным и точным».
Этап 3. Практический блок: Гипербола и ОГЭ (12 мин)
Цель этапа: отработка построения гиперболы и решение задач на соответствие графиков и формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на стр. 182, №798 (а). Нам нужно построить график y=6/x. Один человек идет к доске. Составим таблицу значений. Какие значения x удобно брать для шестерки? Не забывайте про отрицательные числа!» | Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Составляют таблицу: x = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}. Вычисляют y. Строят две ветви гиперболы. |
7 мин | «А теперь задание в формате ОГЭ (Слайд 2). Даны три графика и три формулы: 1) y=2/x, 2) y=-2/x, 3) y=1/(2x). Как быстро отличить их? Используем приём "Точка-детектор". Выберите любую точку на графике и подставьте её в формулу. Обсудите в парах, какой формуле соответствует каждый график». | Работают в парах. Обсуждают коэффициенты. Приходят к выводу: если график прижат к осям, знаменатель больше; если во 2 и 4 четвертях — k отрицательное. Записывают ответ: А-2, Б-1, В-3. |
Эталон решения (№798 а)
Таблица: (x;y): (-6;-1), (-3;-2), (-2;-3), (-1;-6), (1;6), (2;3), (3;2), (6;1). График — гипербола в 1 и 3 четвертях. Оси координат — асимптоты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «С гиперболой разобрались. Главная ловушка ОГЭ — это разница между y=k/x и y=x/k. Не путайте прямую и обратную пропорциональность!»
Этап 4. Практический блок: Корень и Модуль (10 мин)
Цель этапа: закрепление навыков работы с функциями y=√x и y=|x|, сравнение их графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Теперь работаем с функциями y=√x и y=|x|. Постройте их в одной системе координат на рабочем листе. Для y=√x берем x={0, 1, 4, 9}. Для y=|x| берем x={-2, -1, 0, 1, 2}. Используйте разные цвета карандашей». | Самостоятельно строят графики. Для корня рисуют «ветвь», для модуля — «галочку». Отмечают точку пересечения (1;1) и (0;0). |
5 мин | «Посмотрите на свои графики. Решим графически уравнение √x = |x|. Сколько точек пересечения вы видите? Назовите их абсциссы. Это и есть решение уравнения. Теперь проверьте аналитически: подставьте значения в обе части». | Отвечают: «Две точки: x=0 и x=1». Выполняют проверку: √0=|0| (0=0), √1=|1| (1=1). Убеждаются в правильности графического метода. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Графический метод — отличный способ самопроверки на экзамене. Если вы забыли, как решать уравнение, просто набросайте графики обеих частей».
Этап 5. Дифференцированная самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения материала на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Выберите карточку. Уровень А — базовый (построение по точкам и чтение графика). Уровень Б — средний (нахождение коэффициента k по графику). Уровень В — сложный (кусочно-заданные функции, например, построить график, который на одном промежутке — гипербола, на другом — корень). Приступайте, время пошло». | Выбирают уровень. Самостоятельно решают задачи на карточках. Те, кто выбрал уровень В, строят комбинированный график в тетради. |
2 мин | «Положите ручки. Сверьтесь с ответами на обратной стороне карточек. Если всё верно — поставьте себе в рабочий лист "+" за этот этап». | Проводят самопроверку, фиксируют результат в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, многие замахнулись на уровень В. Это радует. Даже если не всё получилось, вы увидели, куда расти».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести самооценку и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш практикум подходит к концу. Заполните таблицу рефлексии в рабочем листе. Какая функция сегодня была для вас самой "капризной"? В чем возникла сложность?» | Заполняют таблицу, отвечают на вопросы учителя. Делятся впечатлениями (например: «сложно было попасть в точки гиперболы при больших x»). |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно тоже разделено по уровням. Обязательно посмотрите задание №11 в сборниках ОГЭ — решите там 3 варианта по нашей теме». | Записывают ДЗ в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — все графики построены верно и аккуратно, правильно выполнены задания на сопоставление (ОГЭ), успешно решена самостоятельная работа уровня Б или В.
- «4» — графики построены верно, но допущены мелкие неточности в оформлении, или допущена 1 ошибка в задании на сопоставление, выполнена СР уровня А без ошибок.
- «3» — графики построены с ошибками в точках, но общий вид (форма) узнаваем; задание на сопоставление выполнено частично.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой график строить легче всего и почему? | Выявление субъективных предпочтений и уровня комфорта с материалом. |
В чем главное отличие графиков y=k/x при k>0 и k<0? | Проверка осознанности понимания свойств функции. |
Какое задание из практикума больше всего похоже на экзаменационное? | Акцентирование внимания на подготовке к ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы не просто рисовали "кривые", мы учились видеть за формулой образ. Это важнейший навык не только для ОГЭ, но и для всей дальнейшей математики. Если сегодня гипербола не сразу поддалась вашей руке — не переживайте, практика в домашнем задании это исправит. На следующем уроке мы переходим к более сложным преобразованиям графиков. Всем спасибо, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №801, №803. | Построение графиков по точкам, нахождение значений по графику. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ (Ященко): вариант 1-5, задание №11. | Отработка навыка сопоставления формул и графиков в тестовом формате. |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка: «Исследование» | Построить в одной системе координат y=4/x и y=x. Найти точки пересечения и сделать вывод о количестве корней уравнения 4/x = x. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Как называется график функции y=k/x?» (Ожидаемый ответ: Гипербола).