Тригонометрические функции, их свойства и графики
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут самостоятельно построить графики функций y = sin x и y = cos x на основе единичной окружности, сформулировать их основные свойства (периодичность, четность, монотонность) и применить эти знания для решения задач формата ЕГЭ (задание №11).
- Образовательная задача: изучить алгоритм переноса значений с тригонометрического круга на координатную плоскость и выявить периодическую природу функций.
- Развивающая задача: развивать навыки аналитического мышления через сопоставление аналитической записи функции и её визуального образа.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к обучению через осознание практической значимости тригонометрии в физике и технике.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к профильному ЕГЭ).
- Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
- Развитие логического мышления и критического отношения к получаемой информации.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства для построения моделей.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров в сотрудничестве.
Предметные
- Владение понятиями: синусоида, косинусоида, период, амплитуда.
- Умение строить графики функций y = sin x, y = cos x и описывать их свойства.
- Умение распознавать графики тригонометрических функций при изменении коэффициентов (сжатие, растяжение, сдвиг).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения.
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заготовками координатных плоскостей и тригонометрических кругов (по 1 на ученика).
- Подготовить динамическую модель в GeoGebra «Развертка окружности в синусоиду».
- Подготовить карточки для групповой работы (3 варианта: синус, косинус, тангенс).
- Проверить работу проектора и наличие цветных маркеров для доски.
- Выписать на доску номера задач из открытого банка ЕГЭ для этапа закрепления.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой и продемонстрировать связь темы с реальностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, коллеги! Сегодня мы переходим к одной из самых красивых тем алгебры. Посмотрите на экран (слайд с изображением кардиограммы, звуковой волны и приливов). Что объединяет эти процессы? Правильно, периодичность. Сегодня мы научимся строить математический портрет таких процессов». | Ученики приветствуют учителя, включаются в диалог, высказывают предположения о периодичности природных явлений. |
2 мин | «В ЕГЭ по математике профильного уровня графики тригонометрических функций встречаются в задании №11. Это ваши гарантированные баллы, если вы поймете логику их построения, а не просто зазубрите картинки. Готовы совершить открытие?» | Ученики настраиваются на работу, открывают тетради, записывают дату и тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что тригонометрия — это не просто формулы, а язык, на котором говорит природа. Чтобы его понять, нам нужно вспомнить наш главный инструмент — круг».
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить значения синуса и косинуса для построения точек графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним тригонометрический круг. Я называю угол, вы — значение синуса этого угла. Пи, Пи на два, Пи на шесть, ноль. Теперь косинус: Пи на три, Пи, три Пи на два». Учитель фиксирует ключевые точки на доске в виде таблицы. | Ученики быстро отвечают с места: «0, 1, 1/2, 0» для синуса и «1/2, -1, 0» для косинуса. Работают с опорой на ментальную карту круга. |
2 мин | «Как мы определяли синус и косинус на круге? Что такое ордината точки, а что — абсцисса?» Учитель рисует круг и проводит линии к осям. | Отвечают: «Синус — это ордината (y) точки на единичной окружности, косинус — абсцисса (x)». Уточняют связь угла поворота с координатами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, значения мы помним. Но круг — это замкнутая линия, а функция должна «идти» вдоль оси Ox. Как нам развернуть круг в прямую линию?»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать задачу построения графика на плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Представьте, что мы катим колесо (единичную окружность) вдоль оси Ox. На колесе закреплен маркер в точке (1, 0). Какой след он оставит на плоскости, если мы будем следить за его высотой (синусом)?» Учитель демонстрирует начало анимации в GeoGebra. | Ученики выдвигают гипотезы: «Это будет волнистая линия», «Она будет повторяться», «Выше единицы она не поднимется». |
2 мин | «Сформулируйте цель нашего исследования. Что мы должны получить к концу урока?» Учитель записывает на доске: «Построить...», «Описать...». | Формулируют: «Построить графики синуса и косинуса, узнать их свойства, научиться отличать их друг от друга». Записывают цель в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель ясна. Теперь мы превращаемся в исследователей. У каждой группы будет своя лаборатория».
Этап 4. Открытие нового знания: Исследовательская лаборатория (12 мин)
Цель этапа: самостоятельное построение графика по точкам и описание свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека. Раздает рабочие листы. «Группы 1 и 3 исследуют функцию y = sin x. Группы 2 и 4 — функцию y = cos x. Используйте значения углов от -Пи до 2Пи с шагом Пи на шесть. Отмечайте точки на координатной плоскости». | Ученики распределяют роли в группах: «координатор», «вычислитель», «чертежник», «аналитик». |
8 мин | Учитель обходит группы, помогает переносить значения. «Обратите внимание, чему равно Пи в клетках? Если 1 единица — это 2 клетки, то Пи — это примерно 6,28 клеток. Удобнее взять Пи за 6 клеток, тогда Пи на шесть — это 1 клетка». | Ученики заполняют таблицы значений, строят точки на миллиметровой бумаге, соединяют их плавной линией. Начинают замечать периодичность. |
2 мин | «Посмотрите на свои графики. Выйдите за пределы 2Пи. Что произойдет дальше? Почему?» Учитель провоцирует обсуждение свойства периодичности. | Обсуждают: «Значения начнут повторяться, потому что мы пойдем на второй круг». Делают вывод о периоде T = 2Пи. |
Запись в тетрадях
- График функции y = sin x называется синусоидой.
- Свойства y = sin x: 1) D(f) = R; 2) E(f) = [-1; 1]; 3) Периодическая (T = 2Пи); 4) Нечетная (симметрия относительно начала координат).
- Свойства y = cos x: 1) D(f) = R; 2) E(f) = [-1; 1]; 3) Периодическая (T = 2Пи); 4) Четная (симметрия относительно оси Oy).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили графики-волны. Теперь давайте научимся читать их свойства без подсказок, используя только визуальный образ».
Этап 5. Первичное закрепление и сопоставление (7 мин)
Цель этапа: научиться различать графики и понимать влияние коэффициентов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Прием «Снежный ком». Учитель выводит на экран два графика: y = sin x и y = cos x. «Найдите 3 отличия и 3 сходства. Обсудите в паре, затем в четверке». | Ученики сравнивают: «Сходства: область значений, форма волны, период. Отличия: синус проходит через (0,0), косинус — через (0,1); симметрия разная». |
3 мин | «А теперь задача на внимательность. Если я запишу y = 2 sin x, что изменится в графике? А если y = sin(2x)?» Учитель демонстрирует изменения в GeoGebra. | Ученики анализируют: «В первом случае волна станет выше (растяжение по оси y), во втором — чаще (сжатие по оси x)». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились видеть структуру функции. Пришло время проверить себя на реальных задачах ЕГЭ».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: отработка навыка определения коэффициентов функции по графику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает карточки с заданием №11 ЕГЭ: «На рисунке изображен график функции f(x) = a sin x + b. Найдите a и b». Дает 4 минуты на решение. | Ученики самостоятельно анализируют график, находят амплитуду (a) и сдвиг (b), записывают решение. |
2 мин | Учитель открывает эталон решения на доске. «Проверьте себя. Кто нашел ошибку — поднимите руку, разберемся почему». | Сверяют свои ответы с эталоном, проводят самокоррекцию. Задают вопросы по алгоритму поиска коэффициентов. |
Эталон решения
Для функции f(x) = a sin x + b: 1) b — это средняя линия графика (сдвиг по вертикали). Если центр волны на y=2, то b=2. 2) a — это расстояние от средней линии до пика (амплитуда). Если пик на y=5 при b=2, то a = 5-2 = 3. Итого: f(x) = 3 sin x + 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности, обратите внимание на определение средней линии графика».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Прием «Билет на выход». «Напишите на стикере один факт о графике косинуса, который вы сегодня узнали, и один вопрос, который остался непонятным. Приклейте на дверь при выходе». | Пишут тезисы: «Косинус — четная функция», «Период всегда 2Пи», «Не понял, как сжимать график в 3 раза». Приклеивают стикеры. |
1 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Спасибо за урок, вы сегодня отлично поработали с графиками!» | Записывают задание в дневники, прощаются. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — График построен аккуратно, все 8 ключевых точек отмечены верно, свойства описаны без ошибок, задача ЕГЭ решена правильно.
- «4» — График построен верно, но допущены мелкие неточности в оформлении или одна ошибка в описании свойств.
- «3» — График имеет верную форму, но нарушен масштаб или неверно определены более 2 свойств, задача ЕГЭ решена с подсказкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство функции помогает нам строить её бесконечно долго? | Проверка понимания периодичности. |
В чем главное визуальное отличие синуса от косинуса для вас? | Выявление индивидуальных опорных сигналов памяти. |
Где в физике мы встретим эти графики в 11 классе? | Межпредметные связи (тема «Колебания»). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами проделали путь от точки на круге до бесконечной гармонической волны. Вы увидели, что математика — это не хаос, а строгий порядок и красота. На следующем уроке мы научимся «двигать» эти волны влево и вправо, изучая фазовый сдвиг. Это будет еще один шаг к успешной сдаче ЕГЭ. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 15.1-15.5 (четные) | Построение базовых графиков и перечисление свойств в тетради. |
Средний (повышающий) | Карточка «Трансформации» | Построить графики y = 2sin(x) и y = sin(x) + 1 в одной системе координат. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследование тангенса | Построить график y = tg x, используя линию тангенсов, и объяснить, почему у него есть «разрывы». |
Контрольный вопрос: «Как изменится период функции y = sin(kx), если k увеличится в 2 раза?»