Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно выводить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы и применять его для решения задач уровня ЕГЭ (профильный уровень).
- Образовательные задачи: изучить достаточные условия возрастания и убывания функции; сформулировать определения точек максимума и минимума через знак производной; разработать единый алгоритм исследования.
- Развивающие задачи: развивать навыки аналитического мышления и умение устанавливать причинно-следственные связи между аналитическим выражением и графическим образом.
- Воспитательные задачи: формировать навыки самоконтроля и ответственного отношения к подготовке к итоговой аттестации через решение практико-ориентированных задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к техническим и экономическим специальностям).
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Осознание математики как универсального языка науки, применимого в экономике и физике.
Метапредметные
- Познавательные: умение использовать графические редакторы (ИКТ) для проверки гипотез; владение навыками познавательной рефлексии.
- Коммуникативные: способность аргументированно представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссии.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
Предметные
- Знать теоремы о достаточных условиях монотонности функции.
- Уметь находить критические точки и точки экстремума функции с помощью производной.
- Владеть навыком составления таблицы исследования функции и записи промежутков монотонности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения.
- Развитие логического мышления и воли при решении сложных задач.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений, доказательство.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими моделями функций в GeoGebra или Desmos.
- Распечатать рабочие листы с заданиями для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 экз.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и доступ к сети Интернет.
- Подготовить демонстрационные карточки с графиками функций и их производных для этапа актуализации.
- Сформировать QR-коды для быстрого перехода к интерактивным заданиям.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и постановка проблемы (4 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность, обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: «Здравствуйте, коллеги! Именно так я обращаюсь к вам сегодня, потому что мы будем заниматься настоящим исследованием. Представьте, что вы аналитики в крупной компании. Вам дана функция прибыли P(t). Как узнать, в какой момент времени прибыль перестанет расти и начнет падать, не строя график вручную по тысячам точек? В физике — как найти момент максимального удаления тела? Сегодня мы найдем универсальный инструмент для таких задач». | Ученики слушают, включаются в диалог. Предполагают: «Нужно найти вершину», «Найти точку, где график разворачивается». |
2 мин | Учитель выводит на экран график функции с «плавающей» касательной (в GeoGebra). Учитель: «Посмотрите на касательную. Что происходит с её углом наклона, когда функция растет? А когда убывает? А в самой высокой точке?» | Ученики наблюдают: «Когда растет, угол острый. Когда убывает — тупой. В пике касательная становится горизонтальной». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы верно заметили связь между наклоном касательной и поведением функции. А какой математический объект отвечает за наклон касательной? Правильно, производная. Сформулируем тему урока».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (геометрический смысл производной, правила дифференцирования).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос: «Давайте вспомним: 1) Чему равен тангенс угла наклона касательной? 2) Если производная в точке положительна, что мы можем сказать об угле наклона? 3) Найдите производные функций: f(x)=x^2-4x, g(x)=sin(x), h(x)=1/x». | Ученики отвечают: «Тангенс равен значению производной», «Угол острый», диктуют ответы для производных: f'(x)=2x-4, g'(x)=cos(x), h'(x)=-1/x^2. |
2 мин | Учитель: «На столах у вас карточки с графиками. Поднимите карточку с графиком функции, производная которой в точке x=0 равна нулю». | Ученики анализируют графики, поднимают нужные карточки (параболы с вершиной в нуле, константы). |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «База у нас отличная. Теперь перейдем к самому интересному — открытию общих правил».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую деятельность в ИКТ-среде вывести признаки монотонности и экстремумов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель организует работу с интерактивным тренажером (Desmos): «Ребята, перейдите по QR-коду на ваших листах. Перед вами функция f(x) = 1/3x^3 - x^2 - 3x + 5. Ваша задача: 1) Найти производную. 2) Определить знаки производной на разных интервалах. 3) Сопоставить знаки с графиком самой функции». | Ученики работают с планшетами/ноутбуками. Вычисляют f'(x) = x^2 - 2x - 3. Находят корни: x=-1, x=3. Замечают, что на (-inf; -1) f'(x)>0 и функция растет. |
7 мин | Учитель модерирует обсуждение: «Что происходит в точках, где производная меняет знак? Давайте посмотрим на точку x=-1. Знак меняется с '+' на '-'. Что мы видим на графике? А в точке x=3?». Учитель вводит понятия критических точек и точек экстремума. | Ученики формулируют гипотезы: «Если производная с плюса на минус — это гора (максимум)», «Если с минуса на плюс — яма (минимум)». Записывают в тетради схемы смены знаков. |
Запись в тетрадях
- 1. Если f'(x) > 0 на интервале, то f(x) возрастает.
- 2. Если f'(x) < 0 на интервале, то f(x) убывает.
- 3. Точки экстремума: f'(x)=0 или не существует. При переходе через x_max: f' меняет знак с '+' на '-'. При переходе через x_min: f' меняет знак с '-' на '+'.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы только что вывели мощнейший алгоритм. Осталось упаковать его в удобную форму».
Этап 4. Первичное закрепление и конструирование алгоритма (7 мин)
Цель этапа: структурировать полученные знания и применить их к типовой задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: «Давайте вместе составим чек-лист: что мы должны сделать по порядку, чтобы исследовать любую функцию? Предлагайте шаги». Учитель фиксирует на доске кластер. | Ученики предлагают: «1. Найти область определения. 2. Найти производную. 3. Найти нули производной. 4. Отметить их на прямой. 5. Определить знаки производной. 6. Сделать выводы о функции». |
4 мин | Учитель вызывает ученика к доске решить задачу: «Исследуйте функцию y = x^3 - 3x + 2 на экстремумы». Учитель комментирует: «Следите за оформлением, в ЕГЭ важно четко указывать знаки производной и поведение функции стрелками». | Ученик у доски: y' = 3x^2 - 3. 3(x-1)(x+1)=0. x=1, x=-1. Рисует ось, расставляет знаки (+ - +). Делает вывод: x=-1 — точка максимума, x=1 — точка минимума. |
Эталон решения
y = x^3 - 3x + 2; D(y) = R; y' = 3x^2 - 3; 3(x^2 - 1) = 0 => x = \pm 1. Интервалы: (-inf; -1) y'>0, возр.; (-1; 1) y'<0, убыв.; (1; +inf) y'>0, возр. x_{max} = -1, x_{min} = 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает как часы. Теперь проверьте себя в деле».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: индивидуальная отработка навыка, дифференциация обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздает карточки с тремя уровнями: «Уровень А — базовые многочлены (задание 11 ЕГЭ). Уровень Б — дробно-рациональные функции. Уровень В — функции с параметром или тригонометрией. Выбирайте свой вызов». | Ученики выбирают уровень и решают задачи в тетрадях. Учитель проходит по классу, дает индивидуальные консультации. |
2 мин | Учитель выводит на экран ответы и критерии: «Сверьтесь с эталоном. Если у вас все верно в уровне Б — вы готовы к профильному ЕГЭ на 80+ баллов». | Ученики проводят самопроверку, отмечают ошибки, задают вопросы по сложным моментам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство справилось с базой и средним уровнем. Ошибки в вычислениях — это нормально, главное — вы поняли принцип».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности, оценка уровня освоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель просит заполнить таблицу рефлексии и ответить на вопрос: «Где еще, кроме математики, нам может пригодиться поиск максимума функции?». Приводит пример из экономики (кривая Лаффера). | Ученики заполняют листы, высказываются: «В физике для поиска максимальной высоты подброшенного тела», «В биологии при расчете популяции». |
4 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя специфику каждого уровня. «Обратите внимание на задачу уровня 'Продвинутый' — она потребует от вас знаний из курса обществознания (экономики)». | Ученики записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены производная, критические точки, правильно расставлены знаки на оси, сделан верный вывод о монотонности и экстремумах во всех 3-х задачах выбранного уровня.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка, не повлиявшая на ход исследования, или неверно записаны скобки в интервалах монотонности.
- «3» — верно найден алгоритм (производная и нули), но допущены ошибки в определении знаков производной или логике смены экстремумов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая связь между знаком производной и направлением движения графика? | Проверка понимания фундаментальной связи темы. |
В каком шаге алгоритма я чувствую себя неуверенно? | Выявление индивидуальных затруднений для коррекции. |
Смогу ли я объяснить другу, почему в точке максимума производная меняет знак именно с + на -? | Оценка глубины осознания материала (уровень понимания/анализа). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы не просто выучили формулы, вы открыли метод, который позволяет заглянуть "под капот" любой функции. В анализе данных, в инженерии, в экономике — везде, где нужно найти оптимальное решение, вы будете использовать этот инструмент. Помните: производная — это скорость изменений. И сегодня ваша скорость освоения нового была на максимуме! На следующем уроке мы научимся строить полные графики функций, используя все наши знания. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 925, 927 (а, б) | Исследование простых многочленов на монотонность по алгоритму. |
Средний (повышающий) | Сборник ЕГЭ: Задание 11 (5 задач) | Нахождение точек экстремума функций, содержащих логарифмы и экспоненты. |
Продвинутый (дополнительный) | Кейс «Максимизация выручки» | Составить функцию прибыли предприятия и найти объем выпуска, при котором прибыль максимальна. |