Применение производной для определения точек экстремума функции
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно находить точки экстремума функции, используя алгоритм исследования знака производной, и применять эти знания для решения задач, аналогичных заданиям профильного ЕГЭ.
- Образовательные задачи: изучить достаточное условие существования экстремума функции; сформировать умение определять характер точек экстремума (максимум/минимум) по знаку производной.
- Развивающие задачи: развивать навыки аналитического мышления через установление причинно-следственных связей между свойствами производной и поведением функции.
- Воспитательные задачи: формировать ответственное отношение к подготовке к итоговой аттестации и уверенность в собственных силах при решении сложных математических задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математических методов.
- Критичность мышления, умение отличать гипотезу от доказанного факта.
- Навыки самоорганизации и управления временем в условиях подготовки к экзаменам.
Метапредметные
- Умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства для решения учебных задач.
- Навыки смыслового чтения графической информации (чтение графиков функций и производных).
- Способность самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
Предметные
- Знание определений точек максимума и минимума, экстремумов функции.
- Владение достаточным условием экстремума функции.
- Умение применять алгоритм нахождения точек экстремума для различных классов функций (многочлены, дробно-рациональные).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития математической науки.
- Развитие логического мышления и воли при решении нестандартных задач.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще предстоит освоить.
- Самоконтроль процесса выполнения алгоритма и коррекция действий в случае обнаружения ошибок.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (точки смены знака производной).
- Построение логической цепи рассуждений при переходе от знака производной к виду экстремума.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Аргументация своего мнения и координация его с позициями партнеров в совместной деятельности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить раздаточный материал: карточки с графиками функций и их производных для этапа актуализации (15 комплектов).
- Распечатать опорные схемы «Алгоритм нахождения точек экстремума» для каждого ученика.
- Подготовить презентацию с динамическими моделями графиков, иллюстрирующими смену знака производной в точках максимума и минимума.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и системы тестирования (если используется).
- Сформировать подборку задач из открытого банка ЕГЭ по теме «Исследование функций с помощью производной».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: эмоциональный настрой на работу, актуализация профессиональной значимости темы для будущих специалистов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, коллеги! Именно так я обращаюсь к вам сегодня, ведь в 11 классе вы уже не просто ученики, а будущие инженеры, экономисты и аналитики. Посмотрите на экран. Здесь представлен график курса акций крупной компании за год. Скажите, в какие моменты инвестор должен был принять решение о продаже, а в какие — о покупке?» | Смотрят на график, отвечают: «Продавать нужно на пике, в самой высокой точке, а покупать — когда цена упала до минимума». |
2 мин | «Верно. В математике эти "пики" и "впадины" называются точками экстремума. Мы уже знаем, как производная помогает найти промежутки роста и убывания. Но как точно, без построения сложного графика, "поймать" тот самый момент разворота? Сегодня мы превратим наши знания о производной в мощный инструмент поиска этих критических точек. Запишите тему урока: "Применение производной для определения точек экстремума".» | Записывают тему урока в тетради, осознают практическую значимость темы для экономики и техники. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что поиск максимумов и минимумов — это не просто абстрактная задача, а ключ к оптимизации любых процессов. Но чтобы двигаться вперед, нам нужно вспомнить наш фундамент».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторение связи между знаком производной и монотонностью функции, выявление границы знания и незнания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним теорему Лагранжа и ее следствия. Я буду называть утверждение, а вы — поднимать зеленую карточку, если оно верно, и красную, если нет. 1. Если производная функции положительна на интервале, то функция на нем убывает. 2. Если функция возрастает, то ее производная на этом интервале неотрицательна. 3. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.» | Поднимают карточки. Исправляют ошибку в первом утверждении: «Если производная положительна, функция возрастает». Подтверждают остальные пункты. |
2 мин | «Отлично. А теперь посмотрите на график производной функции $f(x)$ на экране. В точке $x=2$ производная равна нулю. Является ли эта точка точкой максимума или минимума самой функции? Можем ли мы это утверждать только по факту равенства производной нулю?» | Задумываются. Высказывают предположения: «Наверное, да», «Не обязательно, может быть точка перегиба». Фиксируют затруднение: недостаточно знать, что производная равна нулю, нужно что-то еще. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы знаем, что в "подозрительных" точках производная равна нулю. Но как отличить вершину горы от дна впадины? Это и станет нашей целью».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: формулировка цели урока и плана действий учащимися.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Какую задачу мы перед собой поставим? Сформулируйте цель нашего исследования. Что нам нужно узнать о поведении производной в окрестности критической точки?» | Формулируют цель: «Найти признак, по которому можно определить, является ли критическая точка точкой максимума или минимума». Предлагают план: 1. Посмотреть на графики. 2. Проследить за сменой знака производной. 3. Сформулировать правило. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План принят. Начинаем наше исследование с анализа визуальных данных».
Этап 4. Реализация проекта / Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: выведение достаточного условия экстремума функции через анализ графических моделей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Работаем в парах. У вас на столах карточки с двумя графиками. На левом — функция достигает максимума, на правом — минимума. Ниже изображены графики их производных. Проанализируйте, как ведет себя производная при переходе через критическую точку слева направо. Заполните пропуски в карточке: "В точке максимума знак производной меняется с ... на ..."» | Анализируют графики. Обсуждают в парах. Записывают: «В точке максимума знак меняется с "+" на "-", так как функция сначала росла, а потом стала убывать. В точке минимума — с "-" на "+"». |
4 мин | «Давайте проверим ваши выводы. Посмотрите на анимацию на доске. Точка движется по графику. Касательная меняет наклон. В какой момент она становится горизонтальной? Что происходит с угловым коэффициентом сразу после прохождения пика?» | Наблюдают за анимацией. Отвечают: «В самой верхней точке касательная горизонтальна, $f'(x)=0$. Сразу после пика она наклонена вниз, значит производная стала отрицательной». |
3 мин | «Сформулируем теорему (достаточное условие экстремума). Если функция непрерывна в точке $x_0$, а ее производная меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку, то $x_0$ — это точка максимума. Если с минуса на плюс — точка минимума. Как нам это запомнить проще? Рисуем стрелочки: вверх-вниз — гора (макс), вниз-вверх — яма (мин).» | Записывают теорему в тетрадь. Рисуют схематичные изображения «горы» и «ямы» со знаками производной. |
Запись в тетрадях
- Достаточное условие экстремума:
- 1) $f'(x)$ меняет знак с $+$ на $-$ в точке $x_0 \Rightarrow x_0$ — точка максимума ($x_{max}$).
- 2) $f'(x)$ меняет знак с $-$ на $+$ в точке $x_0 \Rightarrow x_0$ — точка минимума ($x_{min}$).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли закон, по которому живет любая гладкая функция. Теперь превратим этот закон в четкий алгоритм действий».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма на типовом примере с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Разберем пример: найти точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$. Работаем по цепочке. Первый шаг — область определения. Второй — производная. Кто готов продиктовать производную?» Учитель записывает решение на доске, акцентируя внимание на оформлении интервалов знаков производной. | Ученик 1: «$D(f) = \mathbb{R}$, функция непрерывна». Ученик 2: «$f'(x) = 3x^2 - 6x$». Ученик 3: «Приравняем к нулю: $3x(x - 2) = 0$, корни $x=0$ и $x=2$». Ученик 4: «Рисуем ось, отмечаем точки, проверяем знаки: плюс, минус, плюс. В нуле знак с $+$ на $-$, значит $x=0$ — точка максимума. В двойке с $-$ на $+$, значит $x=2$ — точка минимума». |
Эталон решения
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$
1) $f'(x) = 3x^2 - 6x$
2) $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$
3) Расстановка знаков $f'(x)$ на интервалах:
$(-\infty; 0): f'(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$ (+)
$(0; 2): f'(1) = 3 - 6 = -3 < 0$ (-)
$(2; +\infty): f'(3) = 27 - 18 = 9 > 0$ (+)
4) Ответ: $x_{max} = 0, x_{min} = 2$.
1) $f'(x) = 3x^2 - 6x$
2) $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$
3) Расстановка знаков $f'(x)$ на интервалах:
$(-\infty; 0): f'(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$ (+)
$(0; 2): f'(1) = 3 - 6 = -3 < 0$ (-)
$(2; +\infty): f'(3) = 27 - 18 = 9 > 0$ (+)
4) Ответ: $x_{max} = 0, x_{min} = 2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает безотказно. Теперь проверьте себя в условиях, максимально приближенных к экзаменационным».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Перед вами два варианта заданий. Первое — классическое нахождение точек экстремума. Второе — работа с графиком производной (задание из ЕГЭ). Выберите уровень сложности сами. Время на выполнение — 8 минут. Помните: в ЕГЭ важно не перепутать точку экстремума (это $x$) со значением экстремума (это $y$).» | Выбирают уровень, самостоятельно решают задачи в тетрадях. Внимательно читают условия: «найти точку максимума» или «найти количество точек экстремума». |
2 мин | «Время вышло. Откройте эталон на слайде. Проверьте свои ответы. Если всё верно — поставьте себе "+" на полях. Если есть ошибка — обведите ее и попробуйте понять, на каком этапе алгоритма произошел сбой.» | Сверяют ответы с экраном. Проводят самоанализ. Задают вопросы, если не совпали знаки на интервалах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство из вас справились. Те, у кого возникли трудности со знаками, обратите внимание на метод интервалов — он наш главный союзник».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание метода преодоления затруднений и оценка собственной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к графику акций. Теперь вы можете математически обосновать советы инвестору? В каких точках производная меняет знак с плюса на минус? Запишите домашнее задание. Оно дифференцировано: есть обязательная часть для отработки навыка и творческая — для тех, кто хочет заглянуть чуть глубже.» | Отвечают на вопросы, анализируют свою работу. Записывают домашнее задание. Заполняют краткие анкеты рефлексии. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены производные всех предложенных функций, правильно определены знаки на интервалах, верно классифицированы все точки экстремума, работа оформлена аккуратно.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка в нахождении производной или корней уравнения, но алгоритм исследования знаков соблюден верно.
- «3» — верно определен алгоритм, найдены критические точки, но допущены ошибки в определении знаков производной или классификации точек (путаница максимума и минимума).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме поиска экстремумов показался вам самым сложным? | Выявление индивидуальных затруднений в вычислительных или логических операциях. |
Как изменится ваше решение, если в условии попросят найти не точку максимума, а максимум функции? | Проверка понимания различия между аргументом и значением функции (критично для ЕГЭ). |
Сможете ли вы объяснить товарищу правило смены знаков, не используя учебник? | Оценка уровня интериоризации (усвоения) нового знания. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в освоении математического анализа. Вы увидели, как абстрактная производная становится инструментом для поиска оптимальных решений. Помните, что в жизни, как и в математике, точки экстремума — это моменты перемен. Главное — уметь правильно определить их направление. На следующем уроке мы научимся находить самые большие и самые маленькие значения функций на отрезках. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Решить 5 задач на нахождение точек экстремума для многочленов 3-й и 4-й степени. Схема: производная -> нули -> знаки -> ответ. | Закрепление механического навыка выполнения алгоритма и базовых правил дифференцирования. |
Средний | Исследовать на экстремумы 3 дробно-рациональные функции. Обратить внимание на точки, где производная не существует. | Развитие навыка работы с ОДЗ и понимание того, что критические точки — это не только нули производной. |
Продвинутый | Подобрать из открытых источников задачу с прикладным содержанием (экономика или физика), где требуется найти точку экстремума. | Формирование функциональной грамотности и связи математики с реальной жизнью. |
Контрольные вопросы: 1. Чем отличается критическая точка от точки экстремума? 2. Может ли точка максимума находиться левее точки минимума? 3. Что происходит с функцией, если производная в точке равна нулю, но знак при переходе не меняет?
