Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут сформулировать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке и применить его для решения задач уровня ЕГЭ.
- Образовательная задача: изучить теоретическую базу (теорема Вейерштрасса) и вывести пошаговый алгоритм исследования функции.
- Развивающая задача: развивать навыки аналитического мышления через сопоставление графического образа и аналитического решения.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к подготовке к итоговой аттестации и навыки самоконтроля.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в будущей профессии.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в ситуациях стресса (подготовка к ЕГЭ).
- Критичность мышления, умение распознавать логические ошибки в рассуждениях.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Навык использования знаково-символических средств для создания моделей исследуемых объектов.
- Способность классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
Предметные
- Знание алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Умение находить производные элементарных функций и решать уравнения вида f'(x)=0.
- Владение навыком нахождения экстремумов и значений функции в граничных точках области определения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом (успешная сдача профильного экзамена).
- Нравственно-этическая ориентация: развитие навыков сотрудничества в парах при обсуждении гипотез.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими чертежами функций в GeoGebra или Desmos.
- Распечатать карточки для этапа актуализации (задание на сопоставление графиков и производных) — 15 экземпляров (на парту).
- Подготовить раздаточный материал «Алгоритм-шпаргалка» для вклеивания в тетрадь.
- Выписать на доске функции для проблемной ситуации: f(x) = x^3 - 3x на отрезке [-1, 3].
- Проверить работу проектора и ноутбука.
- Подготовить сборники заданий ЕГЭ (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на серьезную аналитическую работу, связать тему с практическими задачами оптимизации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Мы продолжаем погружение в мир математического анализа. Сегодняшняя тема — одна из самых практико-ориентированных. В экономике, технике, логистике постоянно ищут 'самое выгодное', 'самое быстрое', 'наименее затратное'. Все это — задачи на поиск наибольшего и наименьшего значений. Проверьте, готовы ли ваши рабочие инструменты: тетради, ручки и, главное, критическое мышление." | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие необходимых принадлежностей. |
2 мин | "Представьте, что вы — инженеры, проектирующие желоб. Вам нужно найти такие размеры, чтобы пропускная способность была максимальной при фиксированном расходе материала. Или вы — трейдеры, которым нужно закрыть сделку в точке максимальной прибыли на интервале времени. Как математика помогает нам не гадать, а точно вычислять эти точки? Именно этим мы займемся сегодня." | Слушают учителя, осознают значимость темы для будущей профессиональной деятельности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы решать такие сложные задачи, нам нужно сначала освоить строгий математический аппарат. Начнем с повторения того, что уже знаем."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки нахождения производной и критических точек функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "На ваших партах лежат карточки №1. В левом столбце — функции, в правом — их производные, но они перемешаны. Соедините их линиями. Работаем в парах. Время — 2 минуты." | Работают в парах, соотносят функции с их производными. Проговаривают правила дифференцирования. |
2 мин | "Давайте проверим. Какова производная функции f(x) = x^3 - 12x + 5? Где эта функция может иметь экстремумы? Вспомните необходимое условие экстремума." | Отвечают: "f'(x) = 3x^2 - 12. Экстремумы могут быть в точках, где производная равна нулю: 3x^2 = 12, x = ±2". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как искать точки, в которых функция достигает локальных максимумов и минимумов. Но всегда ли наибольшее значение функции совпадает с ее максимумом? Давайте проверим."
Этап 3. Постановка проблемы (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, демонстрирующую недостаточность знаний о локальных экстремумах для поиска глобальных значений на отрезке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на доску. Дана функция f(x) = x^3 - 3x на отрезке [-1, 3]. Мы только что нашли критические точки: x = 1 и x = -1. В точке x = -1 функция имеет максимум, равный 2. Можно ли утверждать, что 2 — это самое большое значение, которое функция принимает на всем отрезке [-1, 3]? Вычислите значение функции в точке x = 3." | Вычисляют: f(3) = 3^3 - 3*3 = 27 - 9 = 18. Удивляются: "Нет, 18 гораздо больше, чем локальный максимум 2". |
2 мин | "В чем же дело? Почему локальный максимум нас подвел? Посмотрите на график (выводит на экран). Что мы видим на концах отрезка?" | Анализируют график: "Функция на конце отрезка уходит выше, чем в точке локального максимума. Значит, нужно проверять не только критические точки, но и концы отрезка!" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно! Мы столкнулись с необходимостью учитывать границы. Сформулируем же общую цель: создать универсальный алгоритм, который никогда не даст нам ошибиться."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте вместе составим пошаговый план. Используем прием 'Снежный ком'. Что мы сделали первым делом в нашем примере? Что вторым? Куда мы смотрели потом? И как выбрали итог?" | Предлагают шаги: 1. Найти производную. 2. Найти критические точки. 3. Отсеять те, что не лежат в отрезке. 4. Посчитать значения в оставшихся точках и на концах. 5. Выбрать самое большое и самое маленькое. |
4 мин | "Блестяще. Это и есть наш алгоритм. Но есть важный нюанс: функция должна быть непрерывна на этом отрезке. Это гарантирует теорема Вейерштрасса. Давайте оформим это в тетрадях в виде красивой схемы. Обратите внимание на шаг 3: если критическая точка лежит вне отрезка, мы ее игнорируем. Почему?" | Записывают алгоритм в тетради. Отвечают: "Потому что нас интересует только поведение функции на конкретном 'куске' числовой оси, остальное для данной задачи неважно". |
3 мин | "Рассмотрим особый случай. Если на отрезке только одна критическая точка и это точка максимума, будет ли значение в ней наибольшим? (Показывает график параболы ветвями вниз)." | Рассуждают: "Да, если функция только росла до этой точки, а потом только убывала, то это и будет самое высокое значение на любом отрезке, содержащем эту точку". |
Запись в тетрадях
Алгоритм нахождения y_max/y_min на [a; b]:
1. Найти f'(x).
2. Найти критические точки (f'(x)=0 или не существует).
3. Выбрать точки, принадлежащие [a; b].
4. Вычислить значения f(x) в выбранных точках и в точках a и b.
5. Выбрать среди полученных чисел наибольшее и наименьшее.
1. Найти f'(x).
2. Найти критические точки (f'(x)=0 или не существует).
3. Выбрать точки, принадлежащие [a; b].
4. Вычислить значения f(x) в выбранных точках и в точках a и b.
5. Выбрать среди полученных чисел наибольшее и наименьшее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Инструмент готов. Пора испытать его в деле. Переходим к практике."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на типовом примере с комментированием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Решим задачу: найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 на отрезке [-1, 2]. Один человек работает у доски с комментариями, остальные — в тетрадях. Помните: каждый шаг алгоритма должен быть озвучен." | Ученик у доски: "1. f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. 2. 3x^2 - 12x + 9 = 0 -> x^2 - 4x + 3 = 0 -> x1=1, x2=3. 3. Точка 3 не принадлежит [-1, 2], берем только x=1. 4. Считаем: f(-1)=-14, f(1)=6, f(2)=4. 5. Ответ: max=6, min=-14". |
Эталон решения
1. \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
2. \( 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3 \)
3. \( 3 \notin [-1; 2] \), \( 1 \in [-1; 2] \)
4. \( f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + 2 = -1 - 6 - 9 + 2 = -14 \)
\( f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \)
\( f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4 \)
5. \( Баиб. = 6, Баим. = -14 \).
2. \( 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3 \)
3. \( 3 \notin [-1; 2] \), \( 1 \in [-1; 2] \)
4. \( f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + 2 = -1 - 6 - 9 + 2 = -14 \)
\( f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \)
\( f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4 \)
5. \( Баиб. = 6, Баим. = -14 \).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает безотказно. Теперь проверим, сможете ли вы применить его самостоятельно в формате экзамена."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: закрепить навык в индивидуальной работе, провести первичную диагностику усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Перед вами два варианта заданий из открытого банка ФИПИ (задание 11 профильного ЕГЭ). Выберите один и решите его. Вариант А — базовый, Вариант Б — чуть сложнее (с дробными степенями). Время пошло." | Самостоятельно решают выбранный вариант. Используют алгоритм, записанный в тетради. |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там эталонные ответы. Оцените свою работу по критериям: все шаги верны — '5', ошибка в вычислениях, но алгоритм верный — '4', неверно найдена производная — нужно еще потренироваться." | Сверяют свои решения с ответами на экране, проводят самооценку, фиксируют ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности с вычислениями — не переживайте, это вопрос практики. Главное, что вы поняли логику процесса."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить уровень достижения целей урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вернемся к началу урока. Мы хотели создать алгоритм. Мы его создали? В чем главная ловушка при поиске наибольшего значения на отрезке? Что вы сегодня узнали такого, чего не знали вчера?" | Отвечают на вопросы: "Главная ловушка — забыть про концы отрезка", "Узнали, что локальный максимум не всегда является глобальным наибольшим значением". |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное. Обратите внимание на творческое задание для тех, кто планирует сдавать профиль на 80+." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — алгоритм применен полностью верно, производная найдена без ошибок, вычисления значений функции в точках корректны, ответ записан верно.
- "4" — алгоритм соблюден, но допущена одна вычислительная ошибка (арифметическая), не повлиявшая на понимание хода решения.
- "3" — верно найдена производная и критические точки, но не проверены значения на концах отрезка или допущены грубые ошибки в подстановке значений в исходную функцию.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма показался вам самым трудоемким? | Выявление дефицитов в вычислительных навыках или дифференцировании. |
Почему нельзя ограничиваться только нахождением производной? | Проверка понимания разницы между локальными и глобальными экстремумами. |
Где в вашей будущей профессии может пригодиться этот метод? | Оценка осознанности обучения и связи с профессиональным самоопределением. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили фундамент для решения целого класса оптимизационных задач. Математика здесь выступает не как набор скучных цифр, а как мощный фонарь, подсвечивающий самый выгодный путь в тумане неопределенности. На следующем уроке мы перейдем к текстовым задачам, где вам придется самим составлять функции для исследования. Подготовьтесь — будет интересно и очень жизненно. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 945, 947 (а, б) | Отработка стандартного алгоритма на полиномах. |
Средний (повышающий) | Задания из ЕГЭ №11 (5 штук) | Задачи с тригонометрическими и логарифмическими функциями на отрезке. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская задача | Найти размеры цилиндра максимального объема, вписанного в шар радиуса R. |
Контрольный вопрос перед уходом: Если производная функции на всем отрезке положительна, в какой точке будет наибольшее значение?
