Определение и свойства логарифмов: открытие нового способа вычислений
Цели и задачи
- Цель: сформировать понятие логарифма числа, изучить его основные свойства и научиться применять их для вычисления значений выражений.
- Образовательная задача: ввести определение логарифма, рассмотреть основное логарифмическое тождество и свойства логарифма (логарифм произведения, частного, степени).
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления, умение анализировать, сравнивать и обобщать математические факты.
- Воспитательная задача: способствовать формированию ответственного отношения к обучению через осознание практической значимости темы для будущей профессиональной деятельности (подготовка к ЕГЭ).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории.
- Критическое мышление при анализе получаемой информации.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в условиях решения сложных задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение выявлять причинно-следственные связи при переходе от показательной функции к логарифмической.
- Регулятивные: способность самостоятельно ставить цели и планировать пути их достижения.
- Коммуникативные: умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в ходе фронтальной дискуссии.
Предметные
- Знать определение логарифма, условия существования логарифма (основание и аргумент).
- Уметь переходить от логарифмической записи к показательной и обратно.
- Владеть навыками применения свойств логарифмов для преобразования и вычисления числовых выражений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение в учебной деятельности.
- Формирование научного мировоззрения.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Самоконтроль правильности вычислений по эталону.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте определения.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Интеграция в группу сверстников при обсуждении гипотез.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки с заданиями трех уровней сложности (по количеству учеников).
- Подготовить презентацию с визуализацией шкалы pH и шкалы Рихтера (межпредметные связи).
- Заготовить на доске таблицу для заполнения свойств логарифмов.
- Подготовить демонстрационный плакат с основным логарифмическим тождеством.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологический настрой учащихся, создание ситуации интереса через межпредметную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Сегодня мы начинаем тему, которая является одной из фундаментальных в алгебре. Но прежде чем мы перейдем к формулам, ответьте: что общего между кислотностью почвы в химии, силой землетрясения в географии и громкостью звука в физике?" | Слушают учителя, настраиваются на работу. Выдвигают предположения: "Все это измеряется приборами", "Это природные явления". |
2 мин | "Верно, но с точки зрения математики все эти величины объединяет логарифмическая шкала. Без логарифмов химик не рассчитает pH раствора, а сейсмолог не определит магнитуду толчков. Сегодня мы станем исследователями и сами 'откроем' это понятие. Откройте тетради, запишите дату." | Записывают дату в тетради, проявляют интерес к практическому применению темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы понять, как работают эти шкалы, нам нужно научиться 'укрощать' логарифмы. Начнем с того, что нам уже знакомо."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторение свойств степеней и создание проблемной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на доску. Решим устно несколько уравнений: 2 в степени x равно 4; 3 в степени x равно 27; 5 в степени x равно 1/5. Какие ответы получились?" Учитель записывает ответы на доске. | Отвечают с места: "x=2", "x=3", "x=-1". |
2 мин | "А теперь решите уравнение: 2 в степени x равно 5. Можем ли мы подобрать целое или дробное число? В чем сложность?" Учитель фиксирует затруднение. | Пытаются подобрать корень: "2 в квадрате 4, 2 в кубе 8. Значит, x где-то между 2 и 3". Осознают невозможность точной записи известными средствами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Нам не хватает символа, чтобы обозначить это число точно. Именно для таких случаев математики придумали логарифм. Тема урока: Логарифмы."
Этап 3. Открытие нового знания: определение и тождество (10 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: введение определения логарифма через сократовский диалог и запись основного тождества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Запишем это в виде формулы. При этом важно помнить про ограничения: основание a должно быть больше нуля и не равно единице, а число b — только положительным. Как вы думаете, почему b не может быть отрицательным, если мы возводим положительное a в степень?" | Записывают определение: log_a(b) = x <=> a^x = b. Отвечают: "Потому что положительное число в любой степени даст положительный результат". |
5 мин | "Верно. Теперь вернемся к нашему уравнению 2 в степени x равно 5. Как теперь мы запишем корень x? Подставьте определение в уравнение a в степени x равно b. Что получится? Это и есть основное логарифмическое тождество." | Записывают x = log_2(5). Выводят и записывают в рамку: a^(log_a(b)) = b. |
Запись в тетрадях
Определение: logab = x, если ax = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
Основное логарифмическое тождество: alogab = b.
Основное логарифмическое тождество: alogab = b.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть инструмент для записи любого показателя степени. Но логарифмы, как и степени, обладают особыми свойствами, которые упрощают жизнь."
Этап 4. Исследование свойств логарифмов (10 мин)
Цель этапа: самостоятельное открытие свойств логарифмов на основе свойств степеней через фронтальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Вспомните свойства степеней. Что происходит с показателями при умножении степеней с одинаковыми основаниями? А теперь посмотрите на выражение: log_2(4 * 8). Посчитайте его значение по частям и целиком. Что вы заметили?" Учитель подводит к свойству суммы. | Считают: "log_2(32) = 5. А log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 5. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов!". |
5 мин | "Блестяще! По аналогии, как вы думаете, чему будет равен логарифм частного? И что произойдет с показателем степени внутри логарифма? Давайте запишем эти свойства в таблицу." Учитель диктует формулы, проверяя понимание. | Формулируют свойства для частного (разность) и для степени (вынос показателя вперед). Заполняют таблицу свойств в тетрадях. |
Запись в тетрадях
- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
- log_a(x^p) = p * log_a(x)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Эти свойства — наши главные правила игры. Пора проверить их в деле на задачах разного уровня."
Этап 5. Практикум: решение задач разной сложности (10 мин)
Цель этапа: первичное закрепление материала через дифференцированные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "У вас на столах карточки. Уровень А — базовый (на определение), Уровень B — средний (на свойства), Уровень C — для тех, кто не боится трудностей и готовится к профильному ЕГЭ. Выберите свой уровень и приступайте. У вас 7 минут." | Выбирают карточки и приступают к самостоятельному решению. |
8 мин | Учитель проходит по рядам, консультирует. Затем выводит ответы на экран. "Ребята, проверьте свои результаты по эталону. Если есть ошибки — не страшно, мы их сейчас разберем." | Сверяют решения с эталоном на экране. Задают вопросы по сложным моментам. |
Эталон решения (Уровень B)
Вычислить: log618 + log62.
Решение: log6(18 * 2) = log636 = 2.
Ответ: 2.
Решение: log6(18 * 2) = log636 = 2.
Ответ: 2.
- Уровень А — базовый: Вычислите: log₂8.
- Уровень А — базовый: Вычислите: log₃(1/9).
- Уровень А — базовый: Найдите x: log₅x = 3.
- Уровень B — средний: Вычислите: log₂8 + log₂4.
- Уровень B — средний: Упростите: log₃27 − log₃3.
- Уровень B — средний: Вычислите: 2log₅25 + log₅5.
- Уровень C — продвинутый: Упростите: log₂12 + log₂6 − log₂9.
- Уровень C — продвинутый: Вычислите: log₃18 − log₃2 + log₃9.
- Уровень C — продвинутый: Решите уравнение: log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство из вас успешно справились с базой и перешли к свойствам. Это отличный темп для первого урока по теме."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к началу. Зачем нам все-таки нужны логарифмы в реальной жизни? Поднимите руки, кто сегодня почувствовал себя первооткрывателем?" Учитель проводит опрос. | Отвечают: "Чтобы решать сложные уравнения", "Чтобы описывать процессы в химии и физике". Оценивают свою работу. |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням сложности. Выберите тот, который вам сегодня покорился, или попробуйте шагнуть выше." | Записывают задание, выбирают уровень сложности. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня (B или C), нет ошибок в применении свойств.
- "4" — выполнен уровень A и большая часть уровня B, допущены мелкие вычислительные ошибки при верном ходе рассуждений.
- "3" — выполнен только уровень A (определение логарифма), свойства применены с грубыми ошибками.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство логарифма показалось самым логичным, а какое — странным? | Выявление интуитивного понимания связи степеней и логарифмов. |
Где в решении задач уровня B возник 'затык'? | Диагностика типичных ошибок в преобразованиях. |
Сможете ли вы объяснить младшему брату, что такое логарифм, без учебника? | Проверка глубины усвоения понятия на уровне синтеза. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг в изучении высшей математики. Логарифмы — это не просто значки в тетради, это язык, на котором говорит природа, от раковины наутилуса до далеких галактик. Если сегодня что-то осталось непонятным — не переживайте, на следующем уроке мы отшлифуем навыки на логарифмических уравнениях. Вы сегодня отлично потрудились, спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | 10 примеров на вычисление логарифмов по определению (целые и дробные основания). | Закрепление понятия логарифма и навыка устного счета. |
Средний (повышающий) | 5 выражений на комбинирование свойств суммы, разности и степени логарифмов. | Отработка навыка упрощения сложных алгебраических выражений. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти и кратко описать в тетради один пример применения логарифмов в музыке или биологии. | Развитие функциональной грамотности и межпредметных связей. |
Контрольный вопрос: Чему равен логарифм единицы по любому допустимому основанию и почему?
