Логарифм: определение, свойства и область допустимых значений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать логарифмическую запись, находить значение простейших логарифмов и преобразовывать выражения с использованием определения логарифма и основного логарифмического тождества.
- Сформировать представление о логарифме как показателе степени и установить связь между показательной и логарифмической формами записи.
- Научиться проверять допустимость основания и аргумента логарифма, объяснять условия $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, сравнивать способы решения, аргументировать выбор преобразования и выполнять самопроверку.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи и готовность самостоятельно планировать учебное действие.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение логарифмов для дальнейшего изучения функций, математического анализа, физики и информатики.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию связи между показательной и логарифмической формами записи.
- Принимают необходимость проверять условия существования математического выражения.
- Развивают уверенность в самостоятельном поиске способа решения и конструктивном отношении к ошибке.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно планируют последовательность её решения.
- Извлекают информацию из формул, таблиц и математических записей, преобразуют её из одной формы в другую.
- Сравнивают решения, находят ошибку в рассуждении и обосновывают корректность вывода.
- Осуществляют самоконтроль по эталону и фиксируют затруднения.
- Используют математическую речь для точного объяснения хода рассуждений.
Предметные
- Знать определение логарифма: $\log_a b=c$ тогда и только тогда, когда $a^c=b$.
- Знать условия существования логарифма: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
- Уметь переводить логарифмическую запись в показательную и обратно.
- Уметь вычислять простейшие логарифмы и применять тождество $\log_a a^x=x$.
- Уметь объяснять, почему выражение является или не является логарифмом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения логарифма через связь темы с будущим обучением и практическими моделями.
- Осознают ответственность за запись условий и проверку результата.
- Оценивают собственную готовность работать с абстрактными математическими объектами.
- Проявляют настойчивость при поиске решения непривычной задачи.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после анализа проблемной ситуации.
- Планируют переход от показательной формы к логарифмической.
- Проверяют решение по определению и выявляют несоответствие условиям.
- Корректируют запись после взаимопроверки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки логарифма и отличают их от внешних признаков записи.
- Устанавливают причинно-следственную связь между равенством $a^c=b$ и записью $\log_a b=c$.
- Классифицируют выражения по условиям существования.
- Моделируют математическую зависимость двумя взаимосвязанными способами.
- Формулируют обобщение на основе рассмотренных примеров.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и согласуют общий вариант ответа.
- Задают уточняющие вопросы о выборе основания и аргумента.
- Аргументируют решение полным математическим высказыванием.
- Сравнивают разные способы рассуждения без перехода к оценке личности.
- Формулируют общий вывод и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной ситуацией, определением логарифма, условиями существования и заданиями для самопроверки.
- Записать на доске или вывести на экран опорную схему: $a^c=b\Longleftrightarrow\log_a b=c$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, с заданиями на перевод записей и проверку условий.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я могу определить логарифм», «Я могу перевести запись», «Я проверяю ОДЗ».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и карточки с вопросами для рефлексии.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и индивидуальной работы.
- Освободить небольшой участок класса для короткой физкультминутки; заранее вывести на экран инструкцию безопасных упражнений.
- Подготовить эталон ответов для самостоятельной работы и критерии оценивания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора только как средства проверки, а не как замены рассуждению. Сегодня мы начинаем тему, которая связывает показательную функцию с новым способом записи числа." | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют свободное место для темы. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Интенсивность звука и кислотность растворов часто описываются логарифмическими шкалами. Как узнать показатель степени, если известно основание и результат? Например, какое число $x$ удовлетворяет равенству $10^x=1000$?" Учитель не сообщает новое определение, а фиксирует гипотезы. | Предполагают: "$x=3$"; формулируют: "Нужно найти показатель степени"; записывают проблемный вопрос: «Как обозначить поиск показателя степени?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что иногда неизвестным является не основание и не значение степени, а показатель. Сейчас выясним, как математика обозначает такой поиск и какие условия делают запись корректной."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства степени и подготовить переход к новой форме записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре»: "Вспомните, что означает запись $a^x=b$. Какие числа могут быть основанием степени? Почему основание $1$ неудобно для нахождения показателя? Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." | 30 секунд работают индивидуально, 1 минуту обсуждают в парах, затем формулируют: "$a$ должно быть положительным; при $a=1$ разные показатели дают один результат". |
2 мин | Учитель предлагает устно сопоставить пары записей: $2^3=8$, $5^0=1$, $10^{-2}=0{,}01$. "Назовите основание, показатель и значение степени. Что в каждом случае можно искать, если два элемента уже известны?" | Называют элементы равенства, отвечают: "Можно искать показатель, основание или значение степени"; объясняют, что показатель является неизвестным в новой ситуации. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили структуру степени и условия, при которых она задаёт однозначную зависимость. Теперь зафиксируем затруднение: в привычной записи нет специального обозначения для поиска показателя."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать определение логарифма как способа записи неизвестного показателя степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске равенство $2^x=8$ и спрашивает: "Как кратко обозначить число $x$, не переписывая каждый раз фразу «показатель степени, в который нужно возвести 2, чтобы получить 8»? Предложите математическую запись и объясните смысл её частей." | Предлагают варианты обозначения, приходят к записи $\log_2 8=3$; объясняют, что 2 — основание, 8 — аргумент, 3 — значение логарифма. |
2 мин | Учитель формулирует вместе с классом цель: "Сегодня мы должны не просто запомнить новое слово, а вывести его определение, установить условия существования и научиться проверять запись обратным переходом к степени. Сформулируйте план." | Предлагают план: «вывести определение; записать условия; переводить формы; вычислять простые логарифмы; проверить себя». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы научимся видеть за логарифмом показатель степени и подтверждать ответ обратной записью. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение логарифма и условия существования через исследование примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает цепочку: $2^3=8$, $\log_2 8=3$; $10^{-2}=0{,}01$, $\log_{10}0{,}01=-2$. "Сравните равенства. Что осталось неизменным? Какая запись сообщает, какой показатель нужно найти?" Затем формулирует: "Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени $c$, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$." | Сравнивают пары равенств, выделяют основание, аргумент и показатель; записывают определение и проговаривают его своими словами. |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Может ли основание быть отрицательным? Может ли оно равняться нулю? Что произойдёт при $a=1$? Может ли аргумент быть отрицательным или равным нулю?" Учитель подводит к записи условий: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. | Обосновывают: отрицательное основание не задаёт нужную вещественную степень для всех показателей; при $a=0$ и $a=1$ нарушается однозначность; значение степени положительного основания положительно. Записывают условия. |
3 мин | Учитель предлагает проверить два утверждения: «$\log_{-2}8=-3$» и «$\log_1 7=4$». "Не вычисляйте только по внешнему виду. Сначала проверьте условия существования, затем сделайте вывод." | Находят нарушения: отрицательное основание и основание 1; формулируют: «Оба выражения не являются действительными логарифмами в рамках изучаемого определения». |
Запись в тетрадях
$\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$, где $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Логарифм — показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Основное логарифмическое тождество: $\log_a a^x=x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели определение и не приняли его на веру: проверили, почему нужны все три условия. Теперь применим новое правило в парах и научимся быстро переходить между двумя формами записи."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить перевод между показательной и логарифмической формами и научиться проговаривать основание, аргумент и показатель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет приём «Взаимный эксперт»: "Один ученик переводит записи, второй проверяет по определению, затем поменяйтесь ролями. В каждом ответе называйте основание, аргумент и показатель." | Распределяют роли и читают критерии: правильная форма, соблюдение условий, устное объяснение. |
4 мин | Учитель предлагает задания: перевести в логарифмическую форму $3^4=81$, $5^{-2}=\frac1{25}$, $7^0=1$; перевести в показательную форму $\log_2 16=4$, $\log_9 3=\frac12$. Обходит пары и задаёт вопросы: "Какой элемент стал показателем? Почему в последнем примере показатель равен $\frac12$?" | Записывают: $\log_3 81=4$, $\log_5\frac1{25}=-2$, $\log_7 1=0$; $2^4=16$, $9^{1/2}=3$. Объясняют выбор показателя. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Отметьте две сильные стороны и одно место, которое требует уточнения." | Проверяют решения по определению, записывают два корректных наблюдения и один вопрос, исправляют найденную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парах вы убедились, что перевод формы записи — это не отдельный приём, а одно и то же равенство, прочитанное по-разному. Перед самостоятельной работой сделаем короткую физкультминутку и переключим внимание."
Этап 6. Физкультминутка и перефокусировка внимания (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение после работы с формулами и подготовить внимание к индивидуальной проверке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. На вдохе поднимите руки, на выдохе опустите; выполните два плавных наклона в стороны без рывков. Теперь покажите пальцами основание и показатель: ладонь — основание, поднятый палец — показатель." | Выполняют дыхательное упражнение, два наклона, затем повторяют условный жест и возвращаются к рабочему месту. |
1 мин | Учитель предлагает зрительную гимнастику: "Посмотрите на доску, на окно, на кончик ручки; повторите три раза. Садитесь, положите перед собой лист самостоятельной работы." | Переводят взгляд по заданным точкам, готовят лист и ручку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Рабочее внимание восстановлено. Теперь каждый покажет, умеет ли самостоятельно применять определение и проверять условия существования логарифма."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание определения логарифма и устранить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные варианты: "Выполните задания без подсказок. В первом задании переведите $\log_4 64=3$ в показательную форму. Во втором найдите $\log_3 27$. В третьем укажите, существуют ли выражения $\log_{-5}25$ и $\log_2(-8)$, и объясните ответ. В четвёртом найдите ошибку: $\log_5 25=5$, потому что 5 умножили на 5." | Записывают $4^3=64$, находят $\log_3 27=3$, проверяют условия двух выражений и исправляют ошибку: $\log_5 25=2$, поскольку $5^2=25$. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только ответ, но и ход. За каждый пункт поставьте знак «плюс» или запишите, что именно нужно исправить. Если ошибка связана с перепутанным показателем, вернитесь к равенству $a^c=b$." | Сверяют работу с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют запись и оценивают результат по количеству верных пунктов. |
Эталон решения
1) По определению $\log_4 64=3\Longleftrightarrow4^3=64$. 2) $3^3=27$, поэтому $\log_3 27=3$. 3) $\log_{-5}25$ не существует в изучаемых действительных логарифмах, так как $a=-5\le0$; $\log_2(-8)$ не существует, так как $b=-8\le0$. 4) $\log_5 25=x$ означает $5^x=25=5^2$, следовательно, $x=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный инструмент — не угадывание, а обратный переход к степени. Осталось связать новое понятие с общей системой знаний и сформулировать личный результат урока."
Этап 8. Включение в систему знаний (3 мин)
Цель этапа: обобщить связь логарифма с показательной функцией и выделить алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель строит на доске алгоритм: "Первый шаг — определить основание и аргумент. Второй — проверить $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Третий — перевести запись в равенство степени. Четвёртый — найти показатель и проверить результат. Почему нельзя начинать сразу с вычисления?" | Формулируют: «Без проверки можно работать с несуществующим выражением»; приводят пример $\log_{-2}8$; записывают алгоритм и связывают его с показательной функцией. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы получили не набор разрозненных правил, а алгоритм, который можно применять к любому простейшему логарифму. Завершим урок рефлексией и определим следующий шаг обучения."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать достигнутый результат, зафиксировать затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете по определению вычислить простейший логарифм; жёлтую — если получается с подсказкой; красную — если пока не можете. Это не оценка, а сигнал для планирования следующей работы." | Поднимают карточку, отмечают в листе самооценки умение, которое требует повторения. |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание, а перед выходом ответьте письменно на два вопроса: почему аргумент логарифма должен быть положительным? Как проверить ответ $\log_a b=c$?" | Записывают домашнее задание и отвечают: «Аргумент равен значению степени положительного основания»; «проверить равенством $a^c=b$ и условиями основания и аргумента». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре задания самостоятельной работы, корректно записаны условия существования логарифма, исправлена ошибка с обоснованием через определение.
- «4» — выполнены верно три задания из четырёх, допущена одна неточность в записи или формулировке условия, но основной алгоритм понятен.
- «3» — верно выполнены два задания из четырёх, определение воспроизведено частично, имеются ошибки в проверке основания или аргумента.
- Ниже базового уровня — требуется повторить определение, условия существования и выполнить аналогичные задания с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое логарифм своими словами? | Проверка понимания смысла понятия, а не механического запоминания формулы. |
Какую запись вы используете для проверки значения логарифма? | Выявление осознания связи $\log_a b=c$ и $a^c=b$. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: условия существования, перевод формы или вычисление. |
Какой пример вы сможете решить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка готовности к переносу знания в новую ситуацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы определили логарифм как показатель степени и научились переводить логарифмическую запись в показательную. Особенно важно не перепутать аргумент с основанием и не забыть проверить условия $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Логарифм становится понятным, если каждый результат подтверждать равенством степени. На следующем уроке мы исследуем свойства логарифмов и увидим, как они помогают преобразовывать более сложные выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 простейших заданий на вычисление логарифмов с целыми основаниями и аргументами, предварительно записывая соответствующее равенство степени. | Закрепляет определение; при проверке обратить внимание на правильный показатель и обратную проверку. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на перевод показательной формы в логарифмическую и обратно, включая отрицательный и нулевой показатели; для каждого указать условия существования. | Развивает гибкость записи и умение работать с разными видами показателей. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 исследовательские задачи: подобрать основание и аргумент для заданного значения логарифма и объяснить, почему выбранная запись допустима. | Развивает анализ условий, аргументацию и перенос определения в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что показывает значение логарифма? Какие три условия обязательны для записи $\log_a b$? Как из $\log_a b=c$ получить равенство степени? Почему $\log_1 b$ не рассматривается как обычный действительный логарифм?»
