Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции. Композиция функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать способы задания функции, находить обратную функцию для линейной функции и вычислять композицию двух функций не менее чем в трёх практических заданиях.
- Сформировать представление о табличном, графическом, аналитическом и словесном способах задания функции, а также о связи между ними.
- Научиться находить область определения и значения композиции функций в простых случаях и записывать результат в виде формулы.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения, проверять полученный результат и аргументировать выбор.
- Воспитывать ответственное отношение к математической записи, готовность к самостоятельной работе и осознанному выбору уровня сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность функций как математического языка описания зависимостей в естественных науках, экономике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию взаимосвязей между функцией, обратной функцией и композицией функций.
- Принимать ответственность за выбор уровня задания и результат индивидуальной работы.
- Формировать устойчивость к затруднениям при решении задач с несколькими последовательными действиями.
Метапредметные
- Уметь выделять существенную информацию из формулы, таблицы, графика и словесного описания зависимости.
- Планировать последовательность действий при нахождении обратной функции и композиции функций.
- Проверять решение подстановкой и сопоставлением с исходной зависимостью.
- Аргументированно представлять решение в паре и корректно обсуждать альтернативные способы.
- Использовать символическую запись и цифровые средства визуализации по указанию учителя.
Предметные
- Знать основные способы задания функции: словесный, табличный, графический и аналитический.
- Уметь определять значение функции по формуле, таблице и графику, а также составлять формулу по заданному правилу.
- Знать смысл взаимно обратных функций и алгоритм нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции.
- Уметь вычислять композицию $f(g(x))$ и $g(f(x))$ для заданных функций с учётом области допустимых значений.
- Уметь распознавать типичные ошибки: перестановку $f(g(x))$ и $g(f(x))$, потерю ограничений на область определения, неверное выражение переменной.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный дефицит при работе с композициями функций.
- Связывают изучаемые понятия с задачами дальнейшего обучения и профессиональной подготовки.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают значение точной математической записи для проверки рассуждений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе предложенной проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм нахождения обратной функции и композиции функций.
- Осуществляют самопроверку по эталону и выявляют место ошибки.
- Корректируют решение после сравнения с графическим или алгебраическим способом проверки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют способы задания функции по форме представления информации.
- Устанавливают соответствие между формулой, таблицей и графиком.
- Преобразуют выражение $y=f(x)$ для получения формулы обратной функции.
- Строят цепочку преобразований при вычислении $f(g(x))$.
- Анализируют область определения результата как ограничение, возникающее на промежуточном шаге.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы партнёру о последовательности действий в решении.
- Объясняют различие между $f(g(x))$ и $g(f(x))$.
- Согласовывают общий ответ в паре и распределяют роли при проверке.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенный способ решения.
- Используют математическую терминологию при устном представлении результата.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную запись с четырьмя представлениями одной функции: словесным описанием, таблицей, графиком и формулой.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу обучающихся в классе.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею определять способ задания функции», «Я нахожу обратную функцию», «Я вычисляю композицию».
- Подготовить отдельный эталон решения для самостоятельной работы и закрыть его до момента самопроверки.
- Вывести на доску или слайд обозначения $f(g(x))$ и $g(f(x))$, а также памятку алгоритма нахождения обратной функции.
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и мини-листы для приёма «Билет на выход».
- Подготовить графики функций $y=2x+3$ и $y=(x-3)/2$ для обсуждения симметрии относительно прямой $y=x$.
- Обеспечить при наличии оборудования проектор или интерактивную доску; цифровой графический сервис использовать только для быстрой проверки построений.
- Разместить на партах карточки базового уровня; карточки повышенного и продвинутого уровня выдавать по выбору ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и обозначить практическую проблему, для решения которой нужны новые понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране цепочку преобразований: «Температура по шкале Цельсия переводится в градусы Фаренгейта, а затем результат используется в другой формуле. Ребята, как записать такую последовательность действий одной математической конструкцией? Сегодня нам важно не запомнить обозначение, а понять, почему порядок действий имеет значение». | Записывают дату, готовят тетради, рассматривают цепочку преобразований и предполагают: «Нужно подставить одну функцию в другую». |
2 мин | Учитель демонстрирует таблицу и график зависимости $y=2x+3$: «Перед вами одна и та же зависимость, представленная по-разному. Как понять, что таблица, график и формула описывают один объект? И можно ли восстановить исходное значение по результату?» Учитель фиксирует вопросы на доске. | Сравнивают значения в таблице с формулой, формулируют проблему: «Нужно установить соответствие между способами задания, восстановить аргумент и описать последовательное применение функций». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы будем исследовать функцию с разных сторон: научимся переходить между её представлениями, восстанавливать аргумент через обратную функцию и объединять две зависимости в композицию. Начнём с того, что уже умеем.»
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции и области определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Индивидуально за 30 секунд ответьте, что называют функцией и какие величины в записи $y=f(x)$ являются аргументом и значением функции. Затем обсудите ответ с соседом и выберите точную формулировку». После обсуждения учитель просит две пары представить ответы. | Сначала записывают определение, затем обсуждают его в парах и формулируют: «Функция каждому допустимому значению аргумента ставит в соответствие единственное значение»; «$x$ — аргумент, $y$ — значение функции». |
3 мин | Учитель выводит задания: «Для функции $f(x)=3x-2$ найдите $f(0)$ и $f(4)$. Затем назовите область определения функции $g(x)=1/(x-5)$. Объясните, почему число 5 исключается». Учитель просит одного ученика объяснить второе решение у доски. | Решают: $f(0)=-2$, $f(4)=10$; указывают, что $x\ne5$, поскольку знаменатель не может быть равен нулю. Проверяют ответы подстановкой и формулируют правило. |
Запись в тетрадях
«Функция $y=f(x)$ задаёт соответствие между аргументом $x$ и единственным значением $y$. Область определения — множество допустимых значений аргумента; область значений — множество получаемых значений функции».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как вычислять значения функции и учитывать ограничения формулы. Теперь проверим, в каких формах одна и та же зависимость может быть задана и какая информация теряется или сохраняется при переходе от одной формы к другой.»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает четыре записи: «Расстояние зависит от времени по правилу: за каждый час автомобиль проезжает 60 км; дана таблица значений; изображён график $y=60x$; записана формула $y=60x$. Можно ли назвать все четыре записи заданиями одной функции? Какие преимущества есть у каждой формы?» | Сравнивают записи, отвечают: «Да, они описывают одну зависимость»; называют словесный, табличный, графический и аналитический способы. |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: «Нам предстоит не просто перечислить способы, а научиться использовать их. Какие действия должны появиться в плане урока, чтобы решить исходную проблему с двумя последовательными преобразованиями?» Учитель записывает предложения класса. | Формулируют план: «Распознать способы задания функции; научиться находить обратную функцию; научиться составлять и вычислять композицию; проверить решения по графику или подстановкой». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План определён. Сначала систематизируем способы задания функции, затем сами выведем алгоритм построения обратной функции и после этого применим оба понятия в практических заданиях.»
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы нахождения обратной функции и композиции функций на конкретных примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске $y=2x+3$ и предлагает исследование: «Представим, что известно значение $y$, а найти нужно исходное $x$. Выразите $x$ через $y$, затем поменяйте обозначения переменных. Не переписывайте готовое правило — объясните, что означает каждая операция». Учитель направляет рассуждение вопросами: «Как отменить прибавление 3? Как отменить умножение на 2?» | Выражают переменную: $y-3=2x$, $x=(y-3)/2$. Меняют обозначения и получают $f^{-1}(x)=(x-3)/2$. Объясняют, что обратная функция восстанавливает исходный аргумент. |
3 мин | Учитель показывает графики $y=2x+3$ и $y=(x-3)/2$: «Сравните графики. Как они расположены относительно прямой $y=x$? Проверим композициями: чему равны $f(f^{-1}(x))$ и $f^{-1}(f(x))$?» | Формулируют: «Графики симметричны относительно прямой $y=x$». Вычисляют $f(f^{-1}(x))=2\cdot (x-3)/2+3=x$ и $f^{-1}(f(x))=(2x+3-3)/2=x$. |
3 мин | Учитель переходит к композиции: «Пусть $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$. Найдём $f(g(x))$ и $g(f(x))$. Важно: какая функция применяется первой? Прочитайте запись справа налево и объясните порядок». | Подставляют $g(x)$ в формулу $f$: $f(g(x))=2x^2+1$. Затем подставляют $f(x)$ в формулу $g$: $g(f(x))=(2x+1)^2$. Делают вывод: «В общем случае композиции различны». |
Запись в тетрадях
- Способы задания функции: словесный, табличный, графический, аналитический.
- Для нахождения обратной функции в записи $y=f(x)$ выражают $x$ через $y$, затем меняют обозначения $x$ и $y$; результат обозначают $f^{-1}(x)$.
- Композиция функций: $f(g(x))$ — сначала вычисляется $g(x)$, затем результат подставляется в $f$; $g(f(x))$ — сначала применяется $f$.
- Для взаимно обратных функций выполняются равенства $f(f^{-1}(x))=x$ и $f^{-1}(f(x))=x$ на соответствующих областях определения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы не получили алгоритмы в готовом виде, а вывели их из необходимости восстановить исходное значение и последовательно применить две зависимости. Теперь проверим эти идеи на заданиях разной сложности.»
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание способов задания функций и порядок действий при работе с обратной функцией и композицией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: «Соотнесите описания с видами задания функции. Затем для $f(x)=3x-4$ найдите обратную функцию. На карточке есть место для проверки: подставьте найденную формулу в обе композиции». | В парах распределяют роли «решающий» и «проверяющий», классифицируют примеры, получают $f^{-1}(x)=(x+4)/3$, проверяют обе композиции. |
3 мин | Учитель раздаёт карточки повышенного уровня желающим: «Для $f(x)=\frac{x-1}{2}$ и $g(x)=3x+5$ найдите $f(g(x))$ и $g(f(x))$. Обязательно подпишите, какая функция применяется первой, и сравните ответы». | Решают: $f(g(x))=\frac{3x+4}{2}$; $g(f(x))=\frac{3x-3}{2}+5=\frac{3x+7}{2}$. Формулируют вывод: «Композиция некоммутативна». |
2 мин | Учитель предлагает продвинутую задачу: «Определите, является ли функция $f(x)=x^2$ на всей числовой прямой обратимой. Если нет, предложите ограничение области определения, при котором обратная функция существует». Учитель принимает два аргументированных ответа. | Объясняют, что $f(-2)=f(2)$, поэтому на всей области функция не является взаимно однозначной. Предлагают ограничения $x\ge0$ или $x\le0$; для $x\ge0$ получают $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$. |
Эталон решения
Для $f(x)=3x-4$: $y=3x-4$; $y+4=3x$; $x=(y+4)/3$; после замены обозначений $f^{-1}(x)=(x+4)/3$. Проверка: $f(f^{-1}(x))=3\cdot (x+4)/3-4=x$; $f^{-1}(f(x))=(3x-4+4)/3=x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы увидели, что одна и та же процедура требует разной глубины рассуждения: от распознавания формы до анализа обратимости. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень и покажет, насколько уверенно применяет алгоритм.»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание способов задания функции, обратной функции и композиции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «Выполните обязательное задание базового уровня. Если оно получается уверенно, переходите к повышенному, а затем к продвинутому. Работайте самостоятельно, все преобразования записывайте; итоговая формула без обоснования оценивается ниже». | Выбирают карточку, записывают номер уровня и приступают к индивидуальному решению. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: «Укажите способ задания функции для каждого примера; для $h(x)=5x+1$ найдите $h^{-1}(x)$». Повышенный: «Для $f(x)=x-2$, $g(x)=x^2+1$ найдите $f(g(x))$ и $g(f(x))$». Продвинутый: «Исследуйте, имеет ли функция $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$ обратную на области $x\ne-3$, и выведите её формулу». | Решают индивидуально. Базовый результат: $h^{-1}(x)=(x-1)/5$. Повышенный результат: $f(g(x))=x^2-1$, $g(f(x))=(x-2)^2+1$. Продвинутые ученики выражают $x$ из $y=(2x-1)/(x+3)$ и получают $f^{-1}(x)=-(3x+1)/(x-2)$ при $x\ne2$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Сверьте не только ответ, но и последовательность действий. Отметьте зелёным верное, жёлтым — требующее исправления. Если ошибка найдена, рядом запишите её причину: перепутан порядок, неверно выражена переменная или не учтена область». | Сверяют решения, исправляют ошибки, подписывают причину затруднения и ставят себе отметку по критериям. |
2 мин | Учитель проводит краткую взаимопроверку: «Обсудите с соседом только один спорный шаг. Не переписывайте решение за партнёра: задайте вопрос, который поможет ему самому найти ошибку». | Объясняют партнёру спорный шаг, формулируют вопрос и корректируют запись самостоятельно. |
Эталон решения
Для продвинутого задания: $y=\frac{2x-1}{x+3}$; $y(x+3)=2x-1$; $yx+3y=2x-1$; $x(y-2)=-1-3y$; $x=\frac{-1-3y}{y-2}$. После замены обозначений $f^{-1}(x)=\frac{-1-3x}{x-2}$. Ограничение $x\ne2$ возникает потому, что исходная функция не принимает значение $2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Особенно внимательно проверяйте область определения и порядок композиции: именно здесь чаще всего возникает содержательная, а не вычислительная ошибка.»
Этап 7. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить достижение цели и зафиксировать индивидуальное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите цвет, который описывает ваше состояние: зелёный — могу объяснить способ задания и решить базовую задачу; жёлтый — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в отдельных шагах; красный — нужна помощь. Затем завершите фразы: “Сегодня я понял…”, “Мне нужно повторить…”». | Поднимают карточку выбранного цвета, письменно завершают две фразы, называют конкретное затруднение или успешный шаг. |
2 мин | Учитель раздаёт мини-листы «Билет на выход»: «Ответьте без обсуждения на два вопроса: 1) чем отличаются $f(g(x))$ и $g(f(x))$; 2) найдите обратную функцию к $y=4x-7$. Перед сдачей проверьте себя подстановкой». | Пишут: «В композициях различен порядок применения функций»; получают $f^{-1}(x)=(x+7)/4$, выполняют быструю проверку. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный выполняйте по готовности. В каждом решении записывайте область допустимых значений и хотя бы одну проверку». | Записывают выбранный уровень домашней работы, уточняют критерии и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть функцию в разных формах, восстанавливать исходный аргумент и строить цепочку зависимостей. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства обратных функций и применим композицию к более сложным формулам.»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное задание повышенного уровня, преобразования записаны последовательно, область определения указана, композиции не перепутаны, выполнена проверка подстановкой.
- «4» — верно выполнено обязательное задание и большая часть повышенного либо продвинутого задания; допущена не более одной вычислительной ошибки, алгоритм в целом выбран правильно.
- «3» — верно выполнено базовое задание или его существенная часть, но есть ошибки в выражении переменной, порядке композиции или проверке результата.
- Оценка может быть повышена на один балл при самостоятельном исправлении ошибки с объяснением её причины и корректной аргументацией выбора ограничения области определения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие четыре способа задания функции вы сегодня различали и чем они отличаются? | Проверка осознания ключевого предметного содержания и умения классифицировать представления. |
Какой шаг алгоритма нахождения обратной функции оказался самым важным? | Выявление понимания преобразования $y=f(x)$ и обмена ролями переменных. |
Почему в общем случае $f(g(x))\ne g(f(x))$? | Проверка понимания порядка действий в композиции, а не механического вычисления. |
Что вы исправили в самостоятельной работе после самопроверки? | Диагностика регулятивных УУД и типичных индивидуальных затруднений. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что функция может быть задана словесно, таблицей, графиком или формулой, но математический смысл зависимости при этом сохраняется. Мы научились находить обратную функцию и составлять композицию, внимательно соблюдая порядок действий. Типичная ошибка — автоматически считать $f(g(x))$ и $g(f(x))$ одинаковыми или забывать об ограничениях области определения. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства этих функций и решим более сложные задачи на их применение.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить способ задания функции по четырём предложенным представлениям; найти значения двух функций; найти обратные функции для двух линейных функций вида $y=ax+b$, где $a\ne0$; выполнить одну проверку композициями. | Закрепляет основные термины и алгоритм нахождения обратной функции; при проверке обратить внимание на аккуратное выражение переменной и подстановку результата. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на вычисление $f(g(x))$ и $g(f(x))$ для линейных и квадратичных функций, указать порядок применения и сравнить результаты; дополнительно исследовать область определения одной композиции с дробно-рациональной функцией. | Формирует навык применения композиции и анализа ограничений; при проверке смотреть, не перепутаны ли функции и учтены ли запреты на знаменатель. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$: доказать её обратимость на области определения, вывести формулу обратной функции, указать область её определения и проверить оба тождества композиции. | Развивает исследовательское мышление и умение обосновывать результат; при проверке оценивать полноту доказательства, преобразования и условия существования обратной функции. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Назовите четыре способа задания функции. Как найти обратную функцию из равенства $y=f(x)$? Какая функция применяется первой в записи $f(g(x))$? Почему функция $x^2$ не имеет обратной на всей числовой прямой?»
