Степенная функция с натуральным и целым показателем: свойства, график и применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле степенной функции с натуральным или целым показателем определять область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность и основные свойства, а также строить эскиз графика и выбирать подходящую форму записи числа в практической задаче.
- Установить связь между видом формулы функции и преобразованием её графика, используя свойства степеней с целым показателем.
- Научиться исследовать функцию по алгоритму: область определения, множество значений, нули, знакопостоянство, чётность, монотонность и характерные точки.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их по графику и формулировать математически точные выводы.
- Показать практическую ценность стандартной формы записи действительных чисел при работе с очень большими и очень малыми величинами.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение функциональной грамотности и математического моделирования для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений, записи формул и интерпретации данных.
- Развивают готовность самостоятельно проверять гипотезы и корректировать рассуждение при обнаружении ошибки.
- Осознают ценность сотрудничества и аргументированного обсуждения математических выводов.
Метапредметные
- Умеют выделять существенные признаки степенной функции и преобразовывать информацию из формулы в таблицу и график.
- Планируют исследование функции, распределяют время между этапами и осуществляют самопроверку по критериям.
- Формулируют гипотезы о симметрии и поведении графика, проверяют их вычислениями и графическими представлениями.
- Используют математическую речь для объяснения области определения, множества значений и промежутков знакопостоянства.
- Применяют стандартную форму записи действительных чисел при чтении и сравнении практических данных.
Предметные
- Знать определения функции, области определения, множества значений, нуля функции и промежутка знакопостоянства.
- Уметь задавать функцию формулой, таблицей, графиком и словесным описанием, а также читать основные характеристики по графику.
- Уметь различать взаимно обратные функции на простых примерах и понимать связь их графиков с симметрией относительно прямой $y=x$.
- Знать свойства функций $y=x^n$ при натуральном и целом показателе, включая чётность и поведение на промежутках.
- Уметь записывать действительные числа в стандартной форме $a\cdot10^n$, где $1\leq |a|<10$, и использовать такую запись в практической задаче.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться исследовать функцию по единому алгоритму.
- Проявляют смыслообразование через связь графиков функций с моделированием реальных зависимостей.
- Оценивают собственную готовность к дальнейшему изучению функций и математическому анализу.
- Принимают необходимость точной записи условий и результатов вычислений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и составляют последовательность действий.
- Распределяют время при выполнении задания базового и повышенного уровня.
- Сверяют построенный график с контрольными точками и исправляют несоответствия.
- Оценивают результат по критериям: формула, область определения, свойства, график, вывод.
Познавательные УУД
- Сравнивают графики функций $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=x^{-1}$, выявляя общее и различия.
- Устанавливают причинно-следственную связь между чётностью функции и симметрией её графика.
- Моделируют свойства функции в таблице значений и на координатной плоскости.
- Преобразуют числа из обычной записи в стандартную и обратно.
- Анализируют ошибочные рассуждения и находят место нарушения определения или свойства.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, построитель, докладчик и контролёр.
- Задают уточняющие вопросы о способе задания функции и области допустимых значений.
- Аргументируют выводы ссылкой на формулу, таблицу или график.
- Корректно сопоставляют разные решения и формулируют конструктивное замечание.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с координатной плоскостью, графиками $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^4$ и $y=x^{-1}$ без подписанных названий функций.
- Распечатать карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить лист исследования функции для каждой пары с полями: формула, область определения, множество значений, нули, знакопостоянство, чётность, таблица и эскиз графика.
- Распечатать практические карточки с данными о расстояниях, массах и размерах микрочастиц — по одной на парту.
- Подготовить карточки с утверждениями для приёма «Верно — неверно» — по одной на ученика.
- Вывесить на доске алгоритм исследования функции и памятку записи числа в стандартной форме.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры трёх цветов, линейки и стикеры.
- Заранее начертить на доске координатные оси и оставить место для общей схемы свойств степенных функций.
- Подготовить эталон решения для самопроверки и лист самооценки по четырём критериям.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две записи: 0,00000000032 и $3,2\cdot10^{-10}$. «Ребята, сегодня мы будем работать не только с формулами, но и с данными, которые встречаются в физике, информатике и естественных науках. Какая запись быстрее читается и меньше провоцирует ошибку?» | Сравнивают записи, формулируют ответ: «Стандартная форма короче и удобнее для сравнения порядка величины». |
2 мин | Учитель показывает четыре неназванных графика. «Посмотрите на доску. Все графики получены по степенным формулам, но ведут себя по-разному. Как по графику понять, где функция положительна, есть ли у неё нули, симметрична ли она? Сегодня мы построим общий алгоритм исследования». Учитель объявляет тему и фиксирует её на доске. | Рассматривают графики, высказывают гипотезы: «Симметрия зависит от показателя», «у функции с отрицательным показателем может быть разрыв в нуле», «нули видны по пересечениям с осью абсцисс». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одна запись или один график могут дать много информации. Теперь восстановим знания, которые понадобятся для исследования функций».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, способов её задания, степени и характеристик графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно» и показывает пять утверждений: «Функцию можно задать только формулой»; «Область определения — это все значения $y$»; «Нуль функции соответствует точке пересечения графика с осью $Ox$»; «График чётной функции симметричен относительно оси $Oy$»; «При отрицательном целом показателе ноль может входить в область определения». «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если неверно. Объясняйте не только ответ, но и причину». | Отмечают утверждения карточками, исправляют неверные: «Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесно»; «область определения — значения $x$»; «ноль не входит в область определения функции с отрицательным показателем». |
3 мин | Учитель записывает на доске $2^3$, $2^{-3}$, $10^4$, $10^{-5}$ и спрашивает: «Как меняется значение степени при отрицательном показателе? Какую запись удобно использовать для очень больших и малых чисел?». Затем просит назвать условие чётности и нечётности. | Вычисляют $2^3=8$, $2^{-3}=\frac18$, объясняют правило $a^{-n}=\frac1{a^n}$ при $a\neq0$, называют условия $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили язык, на котором описывается функция: область определения, значения, нули, знак и симметрия. Теперь выясним, как эти характеристики связаны с показателем степени».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить алгоритм исследования степенной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает парам сравнить функции $f(x)=x^2$ и $g(x)=x^3$. «Не вычисляя много значений, предположите, какая функция чётная, какая нечётная, где находятся их нули и как выглядят графики. Какие свойства можно определить по формуле, а какие удобнее увидеть на графике?» | В парах формулируют гипотезы: «$x^2$ — чётная, её график симметричен относительно оси $Oy$; $x^3$ — нечётная, её график симметричен относительно начала координат; у обеих функций ноль равен $0$». |
2 мин | Учитель оформляет ответы в кластер. «Чтобы проверить гипотезы, нам нужен единый алгоритм. Какие пункты должны в него войти?» Учитель дополняет предложения учащихся и записывает план: область определения; множество значений; нули; знакопостоянство; чётность; монотонность; таблица и график. | Предлагают пункты алгоритма, записывают цель: «Научиться исследовать степенную функцию и строить её график по свойствам». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: по одной формуле нужно получить целостное описание функции. Начнём с исследования функций с натуральными показателями».
Этап 4. Открытие нового знания: свойства степенных функций (10 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства функций $y=x^n$ при натуральных и целых показателях через исследование и сравнение графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт листы исследования и делит класс на пары. «Первая пара исследует $y=x^2$, вторая — $y=x^3$, третья — $y=x^4$, четвёртая — $y=x^{-1}$. Для каждой функции вычислите значения при $x=-2,-1,0,1,2$, определите область определения, множество значений, нули и знак. Не ограничивайтесь таблицей: сформулируйте закономерность». | В парах заполняют таблицу значений, отмечают точки, определяют характеристики и готовят краткое объяснение выбранной функции. |
3 мин | Учитель организует «Мозаика»: представители пар образуют экспертные группы по типу функции и сравнивают результаты. «Обратите внимание на знак при отрицательных $x$, допустимость нуля и симметрию. Проверьте выводы друг друга по формулам $f(-x)$ и $f(x)$». | Обсуждают результаты в экспертных группах, проверяют вычисления, формулируют выводы: «При чётном натуральном $n$ функция чётная и неотрицательна; при нечётном натуральном $n$ функция нечётная; для $y=x^{-1}$ ноль исключён из области определения». |
3 мин | Учитель строит на доске общую таблицу. «Для $y=x^n$ при натуральном $n$ область определения — все действительные числа. Если $n$ чётное, множество значений — $[0;+\infty)$, если $n$ нечётное — все действительные числа. Для отрицательного показателя рассмотрим $y=x^{-n}=\frac1{x^n}$: почему появляется ограничение $x\neq0$?» | Заполняют общую таблицу, объясняют: «Деление на ноль невозможно, поэтому $0$ исключается из области определения. Значение функции $0$ также недостижимо». |
Запись в тетрадях
Записать: «Степенная функция: $y=x^n$, где $n$ — целое число. При $n>0$ область определения — $\mathbb{R}$. При чётном $n>0$ функция чётная, $E(y)=[0;+\infty)$. При нечётном $n>0$ функция нечётная, $E(y)=\mathbb{R}$. При $n<0$ функция не определена при $x=0$; $y=x^{-n}=\frac1{x^n}$. Чётность определяется равенством $f(-x)=f(x)$, нечётность — равенством $f(-x)=-f(x)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили, что показатель степени определяет симметрию, знак, множество значений и поведение графика. Теперь проверим эти выводы на конкретных заданиях и научимся читать свойства взаимно обратных функций».
Этап 5. Первичное закрепление и взаимно обратные функции (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм исследования и установить графическую связь взаимно обратных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задание: «Исследуйте функцию $f(x)=x^{-1}$. Назовите область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства и симметрию. Затем сравните её с функцией $g(x)=x$». Учитель показывает на экране графики и напоминает: «Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$». | Записывают: $D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, $E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, нулей нет, функция положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$, нечётная. Формулируют: «Функции $y=x$ и $y=x^{-1}$ не являются взаимно обратными на всей области в обычном смысле без уточнения соответствующих отображений; их графики не являются отражениями друг друга относительно $y=x$». |
3 мин | Учитель уточняет важное различие: «Функция и обратная к ней должны быть взаимно однозначными на выбранных областях. Например, для $f(x)=x^2$ на $[0;+\infty)$ обратной является $g(x)=\sqrt{x}$. Что произойдёт, если не ограничить область определения $x^2$?» | Объясняют: «На всей числовой прямой $x^2$ не является взаимно однозначной, потому что $f(-2)=f(2)$. После ограничения области $[0;+\infty)$ обратная функция существует». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что графический образ нельзя подменять формальным сходством формул. Область определения принципиальна и для функции, и для обратной функции. Перейдём к самостоятельной проверке».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить умение исследовать функцию по алгоритму и применять стандартную форму записи чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выполните обязательное задание: для функции $y=x^4$ укажите область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность и постройте эскиз графика по пяти точкам. Затем решите практическую часть: запишите $0,00000048$ в стандартной форме и сравните с $4,8\cdot10^{-7}$. Выполняйте работу индивидуально, черновые вычисления сохраняйте». | Индивидуально исследуют $y=x^4$, строят график, записывают $0,00000048=4,8\cdot10^{-7}$, сравнивают записи и формулируют вывод о порядке числа. |
4 мин | Учитель выводит эталон на экран и предлагает самопроверку: «Поставьте плюс напротив каждого правильно выполненного пункта. Если обнаружили ошибку, не стирайте её сразу: отметьте место и исправьте рядом». Учитель напоминает критерии: корректность области определения, обоснование чётности, точность графика и записи числа. | Сверяют работу с эталоном, подсчитывают количество выполненных пунктов, исправляют ошибки и отмечают в листе самооценки уровень: «могу самостоятельно», «нужна подсказка», «пока затрудняюсь». |
Эталон решения
Для $y=x^4$: $D(y)=\mathbb{R}$; $E(y)=[0;+\infty)$; нуль функции $x=0$; функция положительна при $x\neq0$ и неотрицательна на всей области определения; $f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$, поэтому функция чётная; график симметричен относительно оси $Oy$. Контрольные точки: $(-2;16)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;16)$. Стандартная форма: $0,00000048=4,8\cdot10^{-7}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что график становится результатом последовательного исследования, а не случайного соединения точек. Осталось зафиксировать, какие свойства вы действительно освоили и что требует дополнительной тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход». «На стикере закончите три фразы: “Если показатель чётный, то…”, “Для отрицательного показателя важно помнить…”, “По графику функции я могу определить…”. Затем поставьте цветной знак: зелёный — могу исследовать функцию сам, жёлтый — нужна одна подсказка, красный — требуется повторить алгоритм». | Заполняют стикер: «чётная функция симметрична относительно оси $Oy$»; «нельзя подставлять $x=0$»; «нули, знак и множество значений». Отмечают уровень самооценки. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и задаёт контрольные вопросы: «Как связаны область определения и допустимые значения аргумента? Почему $x=0$ исключается для отрицательного показателя? Как по формуле проверить чётность функции?» | Фиксируют домашнее задание, устно отвечают: «область определения задаётся допустимостью формулы»; «деление на ноль невозможно»; «нужно вычислить $f(-x)$ и сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты исследования функции $y=x^4$, построен график не менее чем по пяти контрольным точкам, чётность обоснована формулой, стандартная форма числа записана без ошибок.
- «4» — правильно выполнены не менее четырёх пунктов исследования и практическая запись числа, допущена одна неточность в графике или обосновании свойства.
- «3» — определены область определения и множество значений, найден нуль функции, но допущены ошибки в исследовании знакопостоянства, чётности или построении графика.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о влиянии показателя степени на график функции? | Выявление понимания связи формулы, чётности, знака и симметрии графика. |
Какой пункт алгоритма исследования функции оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Почему для функции с отрицательным показателем нельзя брать $x=0$? | Проверка понимания ограничения области определения. |
В какой ситуации стандартная форма записи действительного числа удобнее обычной? | Проверка функциональной грамотности и осознания практической ценности темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы связали формулу степенной функции с её графиком и научились исследовать функцию по понятному алгоритму. Особенно важно помнить, что отрицательный показатель исключает ноль из области определения, а чётность определяется не внешним видом графика, а равенством $f(-x)=f(x)$. Стандартная форма записи помогает быстро сравнивать очень большие и очень малые величины. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем применять эти свойства при решении более сложных задач.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Исследовать две функции: $y=x^3$ и $y=x^{-2}$ по алгоритму урока; для каждой указать область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность и построить эскиз графика. | Закрепляет базовый алгоритм и различие функций с положительным и отрицательным показателем; при проверке обратить внимание на исключение нуля и симметрию. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на запись величин в стандартной форме: массу микрочастицы, расстояние в космосе и размер объекта; сравнить каждую пару чисел и указать порядок величины. | Формирует навык выбора подходящей формы записи и математической интерпретации данных. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $y=x^2$ на области $[0;+\infty)$ и объяснить, почему на этой области она имеет обратную функцию; записать формулу обратной функции и описать связь графиков. | Развивает исследовательское мышление, понимание взаимно обратных функций и роли области определения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют нулём функции? Чем область определения отличается от множества значений? Как определить чётность функции по формуле? Почему график $y=x^{-1}$ не проходит через начало координат? Как записать число $0,0000037$ в стандартной форме?»
