Треугольники, векторы и координаты

Слайд 1. Геометрия: Треугольники, векторы и координаты

Курс 10 класса: от классических теорем до векторной алгебры

Слайд 2. Актуализация: Вспомним базу

Слайд 3. Фундамент: Теорема Пифагора

Для любого прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2+b^2=c^2$

Это основа для нахождения расстояний в декартовой системе координат и длин векторов.

Слайд 4. Классические формулы площади

Через основание и высоту: $S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$

Через две стороны и угол между ними: $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

Радиус вписанной окружности: $S=p\cdot r$, где $p$ — полупериметр

Радиус описанной окружности: $S=\frac{abc}{4R}$

Слайд 5. Формула Герона: когда известны только стороны

Позволяет найти площадь треугольника, зная длины всех трёх его сторон $a$, $b$ и $c$, без вычисления углов.

$p=\frac{a+b+c}{2}$ (полупериметр)

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Слайд 6. Векторы: Направление и величина

Слайд 7. Что такое вектор?

Вектор — это направленный отрезок. Он характеризуется не только числовым значением (длиной), но и направлением в пространстве.

Обозначение: $\vec{a}$ или $\overrightarrow{AB}$, где $A$ — начало, $B$ — конец.

Слайд 8. Сложение векторов

Правило треугольника: совмещаем начало второго с концом первого.

Правило параллелограмма: откладываем от одной точки и строим диагональ.

Результат: $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$

Слайд 9. Вычитание и умножение на число

Вычитание $\vec{a}-\vec{b}$ — это сложение с противоположным вектором: $\vec{a}+(-\vec{b})$.

Умножение на число $k$: меняет длину в $|k|$ раз. Если $k<0$, направление меняется на противоположное.

Слайд 10. Координаты вектора

Если точка $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$, то координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ вычисляются как разность координат конца и начала:

$\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$

Длина вектора $\vec{a}\{x;y\}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Слайд 11. Операции в координатах

Слайд 12. Свойства скалярного произведения

Слайд 13. $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha$

— Определение скалярного произведения через длины и угол

Слайд 14. Угол между векторами

$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

Это сумма произведений соответствующих координат.

$\cos \alpha =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

Слайд 15. Решение произвольных треугольников

Слайд 16. Теорема косинусов: 'Обобщенный Пифагор'

Слайд 17. Практическая задача

Стороны $a=5$, $b=8$, угол между ними $\gamma =60^{\circ }$.

Третью сторону $c$ треугольника.

$c^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-40=49$

$c=\sqrt{49}=7$. Задача решена!

Слайд 18. Эволюция тригонометрии и векторов

Античность

XVII век

XIX век

Зарождение основ геометрии треугольника (Евклид, Пифагор).

Декарт вводит систему координат, связывая алгебру и геометрию.

Формирование векторного исчисления в современном виде (Грассман, Гамильтон).

Слайд 19. Итоги урока

Треугольники можно решать через метрические соотношения и векторы.

Векторы позволяют переходить от чертежей к числам и обратно.

Скалярное произведение — мощный инструмент поиска углов.

Теорема косинусов работает для любых треугольников, не только прямоугольных.

Слайд 20. Спасибо за внимание! Готовы к практике?