Линейные неравенства и линейное программирование

Слайд 1. Линейные неравенства и линейное программирование

10 класс, геометрия

Построение области решений и поиск оптимального плана

Слайд 2. Практическая задача: ограниченные ресурсы

Задача

Предприятие выпускает изделия двух видов. Для одного изделия первого вида требуется 2 часа работы станка и 1 кг материала, для изделия второго вида — 1 час работы станка и 2 кг материала. В распоряжении есть 8 часов станка и 8 кг материала. Как определить, сколько изделий каждого вида можно выпустить?

Проверяем себя

$x$ — число изделий первого вида, $y$ — число изделий второго вида; ограничения связаны со временем работы станка и количеством материала.

Слайд 3. Построение прямой по уравнению

Задача

Для прямой $2x+y=4$ назовите две точки, достаточные для построения.

Решение по шагам

При $x=0$ получаем точку $(0;4)$.

При $y=0$ получаем точку $(2;0)$.

Для построения прямой достаточно двух различных точек.

Слайд 4. Выбор полуплоскости и проверка точки

Задача

Для неравенства $2x+y\le 4$ определите, какую полуплоскость выбрать, проверив точку $(0;0)$.

Проверяем себя

$0\le 4$ — верно. Выбираем полуплоскость, содержащую точку $(0;0)$, и заштриховываем её.

Слайд 5. Значение линейной функции и экстремум

Вычислите $F=3x+2y$ в точках $A(1;2)$, $B(3;0)$, $C(0;4)$. Что сравнивают при поиске максимума и минимума?

$F(A)=7$, $F(B)=9$, $F(C)=8$.

Для максимума выбирают наибольшее значение, для минимума — наименьшее.

Слайд 6. Система линейных неравенств

Задача

Рассмотрите систему $x\ge 0$, $y\ge 0$, $2x+y\le 8$, $x+2y\le 8$. Как получить решения всей системы? Можно ли взять область только одного неравенства?

Проверяем себя

Решения системы — общая часть всех областей.

Точка должна удовлетворять каждому неравенству одновременно.

Слайд 7. Где искать максимум прибыли, если допустимых точек бесконечно много?

— Нужно ли проверять каждую точку? Цель урока: научиться строить область решений системы и понять, почему достаточно исследовать вершины получившегося многоугольника.

Слайд 8. Алгоритм решения задачи линейного программирования

1. Ввести переменные и перевести условие задачи в систему ограничений.

2. Построить границы неравенств и выбрать нужные полуплоскости.

3. Определить область допустимых решений и её вершины.

4. Вычислить целевую функцию в вершинах и выбрать экстремальное значение.

Слайд 9. Домашнее задание и контрольные вопросы

Базовый уровень: решить 2 системы линейных неравенств с двумя переменными графическим способом; построить границы, выбрать полуплоскости, заштриховать пересечение и указать вершины области.

Повышающий уровень: решить 2 задачи линейного программирования с практическим контекстом; ввести переменные, составить не менее трёх ограничений и целевую функцию, найти экстремум и записать ответ с единицами измерения.

Дополнительный уровень: исследовать задачу с целочисленными переменными и сравнить непрерывный оптимум с ближайшими целочисленными допустимыми планами.

Контрольные вопросы

Как построить границу $2x-y\le 6$?

Как определить полуплоскость?

Что называют областью допустимых решений?

Почему проверяют вершины?

Чем отличается непрерывная модель от целочисленной?

Слайд 10. Итоги урока

Линейное неравенство задаёт полуплоскость, а система — их общую часть.

Область допустимых решений помогает исследовать практическую задачу с ограниченными ресурсами.

При поиске экстремума целевой функции проверяют вершины многоугольника.

Рефлексия

Что задаёт неравенство?

Где возникло затруднение?

Что изменится в целочисленной модели?